1、第19讲平行四边形(含多边形)1平行四边形 (1)性质： 平行四边形两组对边分别_相等_； 平行四边形对角相等，邻角_互补_； 平行四边形对角线互相_平分_； 平行四边形是_中心_对称图形 (2)判定方法： 定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别_相等_的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形； 两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形2多边形及其性质(1)多边形：内角和定理：n边形的内角和等于 (n2)180 ；外角和定理：n边形的外角和为 360；对角线：过n边形的一个顶点可引n3条对角线，n边形共有 条对
2、角线(2)正多边形：正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等；正n边形的每一个内角为(n3)，每一个外角为；对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形有_n_条对称轴；当n是奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形.考点1：多边形内角和计算【例题1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600.(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由【解析】：(1)设这个外角的度数是x.由题意，得(52)180(180x)x600.解得x12
3、0.故这个外角的度数是120.(2)存在设这个多边形的边数为n，这个外角的度数是x.由题意，得(n2)180(180x)x600.整理，得x57090n.0x180，即057090n180.解得4n6.又n为正整数，n5或n6.当n6时，x30.故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30.归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180及凸多边形的一个内角是小于平角的角考点2：平行四边形的性质与判定 【例题2】(2017大庆)如图，以BC为底边的等腰ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EGBC，DEAC，延长GE至点F，使得BEBF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)
4、当C45，BD2时，求D，F两点间的距离【解析】(1)证明：ABC是等腰三角形，ABCC.EGBC，DEAC，AEGABCC，四边形CDEG是平行四边形，DEGCAEG.BEBF，FBEFAEG，FDEG，BFDE.又EGBC，即FEBD，四边形BDEF为平行四边形；(2)解：C45，ABCBFEBEF45，BDE，BEF均是等腰直角三角形，BFBEBD.过点F作FMBD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示则BFM是等腰直角三角形FMBMBF1，DM3.在RtDFM中，由勾股定理得DF.即D，F两点间的距离为.考点3： 关于平行四边形的综合探究问题【例题3】(2018四川省眉山市15分
5、) 如图，在四边形ABCD中，ACBD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分ABE； （2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：MFNBDC. 【答案】（1）证明：AB=AC,ABC=ACB,又M为BC中点，AMBC，在RtABM中，ABC+MAB=90,ACBD，在RtCBE中，ACB+EBC=90,MAB=EBC,又MB=MN，AMBC，NBM为等腰直角三角形，MBN=MNB=45,EBC+NBE=45,MAB+ABN=MNB=45,MAB=E
6、BC,NBE=ABN,BN平分ABE.（2）解：四边形DNBC为平行四边形，设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，在ABN和DBN中， ABNDBN中（SAS），AN=DN=2a，在RtABM中，BD=1，AB=AC=BD，AB=1，AM2+BM2=AB2 ， （2a+a）2+a2=1，解得：a= .BC=2a= .（3）解证明：MB=MN，M为BC中点，MN=MB= BC，又F是AB的中点，AB=AC=BD，在RtABM中，MF=AF=BF= AB= BD，MAB=FMN,由（1）知MAB=EBC,FMN=EBC,又 ,MFNBDC. 一、选择题：1. （2018浙江宁波4分）已知正多
7、边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（）A6B7C8D9【答案】D【解答】解：正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，则这个正多边形的边数是：36040=9故选：D2. 在平行四边形ABCD中，B=60，那么下列各式中，不能成立的是（）AD=60BA=120CC+D=180DC+A=180【答案】D【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，A=C，B=D，而B=60，A=C=120，D=60所以D是错误的故选D3. （2018宁波）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE若ABC=60，BAC=80，则1的度数为（）A50B40C30D20【答
8、案】B【解答】解：ABC=60，BAC=80，BCA=1806080=40，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，EO是DBC的中位线，EOBC，1=ACB=40故选：B4. （2018浙江省台州4分）如图，在ABCD中，AB=2，BC=3以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）AB1CD【答案】B【解答】解：由题意可知CF是BCD的平分线，BCE=DCE四边形ABCD是平行四边形，ABCD，DCE=E，BCE=AEC，BE=BC=3，AB=2，AE=BEA
9、B=1，故选：B5. （2018陕西3分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，ADAB，E.F分别是AB边上的点，且EFAB；G、H分别是BC边上的点，且GHBC；若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是（ ）.A2S13S2. B2S1S2. C S13S2. D3S12S2.【答案】A【详解】过点O分别作OMBC，垂足为M，作ONAB，垂足为N，点O是平行四边形ABCD的对称中心，S平行四边形ABCD=AB2ON， S平行四边形ABCD=BC2OM，ABON=BCOM，S1=EFON，S2=GHOM，EFAB，GHBC，S1=ABON，S2=BCOM，2S13
10、S2，故答案为：2S13S2.故选A.二、填空题：6. （2018湖南省衡阳3分）如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是【答案】16【解答】解：ABCD是平行四边形，OA=OC，OMAC，AM=MCCDM的周长=AD+CD=8，平行四边形ABCD的周长是28=16故答案为167. （2018十堰）如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则OCD的周长为 【答案】14【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，OCD的周长=5+4+5
11、=14，故答案为148. （2018株洲市3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BDCD，过点A作AMBD于点M，过点D作DNAB于点N，且DN，在DB的延长线上取一点P，满足ABDMAPPAB，则AP_.【答案】6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AMBD，DNAB，即可得到DN=AM=3，依据ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，即可得到APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6详解：BD=CD，AB=CD，BD=BA，又AMBD，DNAB，DN=AM=3，又ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，P=PAM，APM是等腰直角三角形，A
12、P=AM=6，故答案为：69. （2018无锡）如图，已知XOY=60，点A在边OX上，OA=2过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC，点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交OY于点E设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 【答案】2a+2b5【解答】解：过P作PHOY交于点H，PDOY，PEOX，四边形EODP是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP中，EPH=30，EH=EP=a，a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=
13、1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，2a+2b5三、解答题：10. 已知n边形的内角和(n2)180.(1)甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；(2)若n边形变为(nx)边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x.【解析】：(1)甲对，乙不对理由：360，(n2)180360.解得n4.630，(n2)180630.解得n.n为整数，不能取630.甲对，乙不对(2)依题意，得(n2)180360(nx2)180.解得x2.11. (2017河北模拟)看图回答问题：
14、(1)内角和为2 018，佳佳为什么说不可能？(2)音音求的是几边形的内角和？【解析】：(1)n边形的内角和是(n2)180，内角和一定是180的倍数2 0181801138，内角和为2 018不可能(2)设漏加的内角为x，依题意，得(n2)1802 018x，x180n2 378.90x180，90180n2 378180.解得13n14，且n为整数多边形的边数是14.故音音求的是十四边形的内角和12. 如图，在ABCD中，E，F在对角线AC上(1)若BE，DF分别是ABO，CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BE，DF分别是ABO，CDO的角平分线，四边形BEDF还是平
15、行四边形吗？若BE，DF分别是ABO，CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；(2)BE，DF分别是ABO，CDO的角平分线和高线时，可得到BOEDOF，仍有OEOF，则有四边形BEDF是平行四边形【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.BE，DF分别是ABO，CDO的中线，OEOF.四边形BEDF是平行四边形(2)四边形ABCD是平行四边形，OBOD，ABCD.ABOCDO.BE，DF分别是ABO，CDO的角平分线，OBEODF.又BOEDOF，BOEDOF(ASA)OEOF.四边形BE
16、DF是平行四边形同理可证得BE，DF分别是ABO，CDO的高线时，仍有四边形BEDF是平行四边形13. 正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90得到线段ME，在直线AB上取点F，使AFAM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：ADFABM；(2)如图2，当点M在线段AD上时，求证：四边形DFEM是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？并求出这个面积的最大值图1图2【解析】：(1)证明：四边形ABCD是正方形，DAFBAM90，ADAB.在A
17、DF和ABM中，ADFABM(SAS)(2)证明：延长BM交DF于K.ADFABM，DFBM，ABMADF.EMBM，EMDF.ABMAMB90，AMBDMK，ADFDMK90.BKD90.EMB90，EMBBKF90.EMDF.四边形EFDM是平行四边形(3)设DMx，则AMAF5x，SEFDMDMAFx(5x)(x)2.10，x时，EFDM的面积最大，最大面积为，即当AMAD时，EFDM的面积最大，最大面积为.14. 正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90得到线段ME，在直线AB上取点F，使AFAM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.
18、(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：ADFABM；(2)如图2，当点M在线段AD上时，求证：四边形DFEM是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？并求出这个面积的最大值图1图2解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，DAFBAM90，ADAB.在ADF和ABM中，ADFABM(SAS)(2)证明：延长BM交DF于K.ADFABM，DFBM，ABMADF.EMBM，EMDF.ABMAMB90，AMBDMK，ADFDMK90.BKD90.EMB90，EMBBKF90.EMDF.四边形EFDM是平行四边形(3)设DMx，则AMAF5x，SEFDMDMAFx(5x)(x)2.10，x时，EFDM的面积最大，最大面积为，即当AMAD时，EFDM的面积最大，最大面积为.
