1、第16讲全等三角形【考点梳理】全等三角形 (1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三角形对应线段(中线，高)相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等 (2)判定： 两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； 两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA )； 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 【高频考点】考点1： 全等三角形的性质应用【例题1】（2018咸宁）已知：AOB求作：AOB，使AOB=AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，
2、分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径间弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB根据以上作图步骤，请你证明AOB=AOB【分析】由基本作图得到OD=OC=OD=OC，CD=CD，则根据“SSS“可证明OCDOCD，然后利用全等三角形的性质可得到AOB=AOB【解答】证明：由作法得OD=OC=OD=OC，CD=CD，在OCD和OCD中，OCDOCD，COD=COD，即AOB=AOB考点2： 全等三角形的判定【例题2】(1)如图1，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC
3、的中点，若AE是BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图2，在四边形ABCD中，ABDC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论【解析】：(1)ADDCAB.证明：延长AE交DC的延长线于点F.E是BC的中点，CEBE.ABDC，BAEF.AEBFEC，AEBFEC，ABFC.AE是BAD的平分线，BAEEAD.ABCD，BAEF.EADF.ADDF.ADDFDCCFDCAB.(2)ABACCF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.E是BC的中点，CEBE.ABDC，BAEG.
4、AEBGEC，AEBGEC.ABGC.AE是BAF的平分线，BAGFAG.ABCD，BAGG.FAGG.FAFG.ABCGAFCF.考点3： 全等三角形的综合应用【例题3】如图，AB50，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设BPN.(1)求证：APMBPN；(2)当MN2BN时，求的度数；(3)若BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围【解析】：(1)证明：P为AB中点，APBP.在APM和BPN中，APMBPN(ASA)(2)由(1)的结论可知：PMPN，2PNMN.又MN2BN，PNBN.B50.(3)4090.【
5、自我检测】一、选择题：1. 如图，ACFBDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（）AAFBEBACF=DBECAB=CDDCFDE【答案】B【解答】解：ACFBDE，A=EBD，AFBE，A正确，不符合题意；ACF=BDE，B错误，符合题意；AC=BD，AB=CD，C正确，不符合题意；D=FCA，CFDE，D正确，不符合题意；故选：B2. （2018成都）如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能判定ABCDCB的是（）AA=DBACB=DBCCAC=DBDAB=DC【答案】C【解答】解：A、A=D，ABC=DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出ABCDCB，故本选项错
6、误；B、ABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合ASA，即能推出ABCDCB，故本选项错误；C、ABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，故本选项正确；D、AB=DC，ABC=DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误；故选：C3. 下列命题：两个周长相等的三角形是全等三角形；两个周长相等的直角三角形是全等三角形；两个周长相等的等腰三角形是全等三角形；两个周长相等的等边三角形是全等三角形其中，真命题有()A1个 B2个 C3个 D4个【答案】D【解析】:A.周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定相
7、等,假命题;B.周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等, 对应边也不一定相等,假命题;C.周长相等的等腰三角形对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题;D.两个周长相等的等边三角形的对应角一定相等,都是60,对应边也一定相等,真命题.故选D.4. （2018台湾分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE的度数为何？（）A115B120C125D130【答案】C【解答】解：正三角形ACD，AC=AD，ACD=ADC=CAD=60，AB=DE，BC=AE，ABCAED，B=E=115，ACB=EAD，BAC=ADE，ACB+BAC=BAC+D
8、AE=180115=65，BAE=BAC+DAE+CAD=65+60=125，故选：C5. （2019山东青岛3分）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D50【答案】A【解答】解：BD是ABC的角平分线，AEBD，ABDEBD，AFBEFB，BFBF，ABFEBF（ASA），AFEF，ABBE，ADDE，ABC35，C50，BAC180ABCC95，在DAB与DEB中，ABDEAD（SSS），BEDBAD95，ADE360959535145，CDE180ADE35，故选：A二、填空题：6. 如图，OC是AOB的平分线，点P
9、在OC上，PDOA于D点，PD=6，则P到OB的距离为 cm【答案】6【解答】解：如图，过点P作PEOB，OC是AOB的平分线，点P在OC上，且PDOA，PEOB，PE=PD，又PD=6cm，PE=PD=6cm故填67. （2019山东威海3分）如图，在四边形ABCD中，ABDC，过点C作CEBC，交AD于点E，连接BE，BECDEC，若AB6，则CD3【答案】3【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，CEBC，BCEFCE90，BECDEC，CECE，EBCEFC（ASA），BCCF，ABDC，ADDF，DC=3故答案为：38. （2018金华）如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，
10、请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 【答案】AC=BC【解答】解：添加AC=BC，ABC的两条高AD，BE，ADC=BEC=90，DAC+C=90，EBC+C=90，EBC=DAC，在ADC和BEC中，ADCBEC（AAS），故答案为：AC=BC9. （2017山东滨州）如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为 。【答案】3【解答】
11、解：如图作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90，EPF+AOB=180，MPN+AOB=180，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正确，SPEM=SPNF，S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故为3个。三、解答题：10. (2018陕西)如图，ABCD，E，F分别为AB，CD上的点，且ECBF，连接AD，分
12、别与EC，BF相交于点G，H.若ABCD，求证：AGDH.证明：ABCD，ECBF，四边形BFCE是平行四边形，AD.BECBFC，BECF，AEGDFH.ABCD，AEDF.AEGDFH(ASA)，AGDH.11. （2019湖南益阳8分）已知，如图，ABAE，ABDE，ECB70，D110，求证：ABCEAD【分析】由ECB70得ACB110，再由ABDE，证得CABE，再结合已知条件ABAE，可利用AAS证得ABCEAD【解答】证明：由ECB70得ACB110又D110ACBDABDECABE在ABC和EAD中ABCEAD（AAS）12. （2018湖北荆州）（8.00分）如图，对折矩形
13、纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G求证：（1）AFGAFP；（2）APG为等边三角形【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到2=3，由折叠的性质及等量代换得到PAG为60，根据AP=AG且有一个角为60即可得证【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，DCMNAB，F为PG的中点，即PF=GF，由折叠可
14、得：PFA=D=90，1=2，在AFP和AFG中，AFPAFG（SAS）；（2）AFPAFG，AP=AG，AFPG，2=3，1=2，1=2=3=30，2+3=60，即PAG=60，APG为等边三角形13. 如图，ABC中，ABAC，BAC40，将ABC绕点A按逆时针方向旋转100，得到ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：ABDACE；(2)求ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形【解析】：(1)证明：由旋转性质，得BACDAE40，BADCAE100，又ABAC，ABACADAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)(2)CAE100，ACAE，ACE(180CAE)(1
15、80100)40.(3)证明：BADCAE100，ABACADAE，ABDADBACEAEC40.BAEBADDAE140，BFE360BAEABDAEC140.BAEBFE.四边形ABFE是平行四边形ABAE，四边形ABFE是菱形14. 如图1所示，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角ADF，连接CF.(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合)，线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明；(2)当点D在线段BC的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由【点拨】可证
16、明ACFABD，再利用全等三角形的性质，可得CFBD，CFBD.【解答】解：(1)CFBD，且CFBD.证明：FADCAB90，FACDAB.在ACF和ABD中，ACFABD(SAS)CFBD，FCADBA.FCDFCAACDDBAACD90，即FCCB.综上，CFBD，且CFBD.(2)(1)的结论仍然成立CABDAF90，CABCADDAFCAD，即CAFBAD.在ACF和ABD中，ACFABD(SAS)CFBD，ACFB.ABAC，BAC90，BACB45.BCFACFACB454590，即CFBD.综上，CFBD，且CFBD.15. （2019河北省9分）如图，ABC和ADE中，ABA
17、D6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值【解答】解：（1）在ABC和ADE中，（如图1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当ADBC时，APAB3最小，即PD633为PD的最大值（3）如图2，设BAP，则APC+30，ABACBAC90，PCA60，PAC90，I为APC的内心AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA）180（90+60）+105090，105+105150，即105AIC150，m105，n150
