1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数满足，则的值为 答案： 解析：由条件知，故，所以。2019A二、（本题满分 40 分）设整数满足 记，求的最小值并确定使成立的数组的个数解析：由条件知 由于及（）均为非负整数，故有且于是 10 分由、得，结合及，可知 20 分 另一方面，令，（），此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而的最小值30 分 以下考虑的取等条件此时，且中的不等式均取等， 即，（）。因此，且对每个（），中至少有两项等于易验证知这也是取等的充分条件 对每个（），设中等于 的项数为，则为正整数，且，即 ，该方程的正整数解的组数为，且每组
2、解唯一对应一个使取等的数组，故使成立的数组有个40 分2019B 10. （本题满分20分）设均大于，满足，求的最大值。解析：设，由，可知。由条件及换底公式得，即，由此令（），则，得。所以，当且仅当，即时取得等号，相应的，所以的最大值为。2018A 5、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 答案：解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，在上递增，又，所以不等式等价于，又所以，即不等式的解集为2018A，B 9、（本题满分16分）已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。解析：不妨设，由于在上递减，在上递增，在
3、上递减，且，结合图像知：，且。由得，即，此时，又，由得，所以。2018B 7、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 答案：解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，在上递增，又，所以不等式等价于，又，即不等式的解集为.2017A1、设是定义在上函数，对任意的实数有，又当时，则的值为 答案： 解析：由条件知，即，故，即函数的周期为，所以2017B 3、设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为 答案：解析：由条件知，两式相加消去，可知：，即.2016A 3、正实数，均不等于，若，则的值为 答案：解析：令，则，条件化为，由此可得，
4、因此2016A 10、（本题满分20分）已知是上的奇函数，且对任意，均有。求的值。解析：设=1，2，3，），则在中取，注意到，及为奇函数可知5分即，从而10分因此20分2015A1、设、为两不相等的实数，若二次函数满足，则的值为 答案：解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以2015A 9、（本题满分16分）若实数满足，求的最小值。解析：将分别记为，则由条件知，故8分因此，结合平均值不等式可得，12分当，即时，的最小值为（此时相应的值为，符合要求） 由于，故的最小值16分2016B 4、已知,均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 答案：解析
5、：由条件知 由图像的对称性，可得结合知， 由、解得从而另解：因为， 所以 因为的图像关于直线对称，所以 又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，从而 将、代入，再移项，得 在式中令，得 由、解得于是2014A1、若正数、满足，则的值为 答案：解析：设，则，从而。2015B1、已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围为 答案： 解析：，所以，解得：2015B 2、已知为偶函数，且，则的值为 答案： 解析：由己知得，即=20152014A 3、若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 答案： 解析：在上，单调递增，等价于，即。在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是2014B1、若函数
6、的图像是由依次连接点，的折线，则 答案： 解析：可求得直线与函数图像的交点为，即，根据反函数的性质知。2014B 8、设，是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积为 答案： 解析：显然的图像与轴围成一个半圆，我们用表示与轴围成的图形。直线是半圆的对称轴，它将分成左右两个部分。我们知道：（），这个式子的几何意义如下图所示：根据祖暅原理的二维形式，的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们要求的面积是。2014B二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数（）与其反函数的图像恰有三个不同的交点. 求实数的取值范围，并证明你的结论。解析：由题意可得其反函数，记与其反
7、函数的交点坐标为，则，两式子相减得，得或，若，显然两个函数的图像都在第一象限，所以，联立和，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故当时，联立和，得交点；联立和，得交点或，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故解得，即所求的范围为。2013A 5、设为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 答案：解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，故所求最大值为。2013A 7、若实数满足，则实数的取值范围为 答案：解析：令，显然，且，即为，亦为（，），以为坐标作图如图示，在平面内，的轨迹为如图所示的实线部分含原点，因此，即。2013A 11、（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，
8、使得对任意的实数均有。解析：已知即可变为：先寻找所满足的必要条件。式中，令，的对任意的都有，由于，故可以取到任意大的正值，因此必有，即。式中，令，得，即对任意实数，有记，即 要恒成立，则，即，下面证明对满足的任意实数对及任意实数，总有成立，令恒成立，事实上，在成立时，有，又，可得综上所述，满足条件的为。2013B 2、设为虚数单位，则 答案：解析：因为2013B 5、在区间中，方程的解的个数为 答案：解析：因为当时，方程无解；当时，做出及的图像即可得到。2013B 6、定义在实数上的函数的最小值是 答案：解析：因为，知，又当时，所以所求最小值为。2013B 7、设为实数，函数满足：对任意，则的
9、最大值为 答案：解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，故所求最大值为。2012A 3、设，则的最大值为 答案：解析：不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故2012A 6、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 答案：解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012A 9、（本题满分16分）已知函数，.若对任意,都有，求实数的取值范围；若，且存在,使得，求实数的取值范围；解析：令，则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为因为，所以的对称轴，有在上递增，所以
10、的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2012B 4、若关于的不等式组，（）的整数解有且只有一个，则的取值范围为 答案：解析：由解得或，所以不等式组的唯一整数解只可能为或。记函数，由于对称轴，所以整数解只能是，因此有，解得，故所求范围为。2012B 7、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 答案：解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012B 9、（本题满分16分）已知函数，.若对任意,都有，求实数的取值范围；若，且存在,使得，求实数的取值范围；解析：令，
11、则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为因为，所以的对称轴，有在上递增，所以的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2011A 2、函数的值域为 答案： 解析：提示：设，且，则设，则，且，所以 2011A 3、设为正实数，则 答案： 解析：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，故2011A 9、（本题满分16分）已知函数，实数（）满足，.求实数的值。解析：因为，所以，所以或，又因为，所以，所以又由有意义知，从而，于是所以从而又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ， 2011B 3、若正实数满足，则 .答案： 解析
12、：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，故2011B 9、（本题满分16分）已知实数满足：，.求实数的取值范围.解析：令，由得，代入得由方程有实根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，综上可得，即，所以实数的取值范围为。2011B三、（本题满分50分）设实数，且满足，求的最大值.解析：由已知等式可得，令，则，则式等价于易知.令，则。设，则。当时，由平均不等式得所以，从而，整理得，即，所以。式中等号成立的条件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值为。2010AB1、函数的值域为 答案： 解析：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2010AB 2
13、、已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 答案：解析：令，则原函数化为，即.由， 及 知 即 . （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 2010AB 5、函数（，且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为 答案：解析：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以 ；当时，所以 .综上在上的最小值为.2010AB 9、（本题满分16分）已知函数，（），当时，求实数的最大值。解析：解法一： 由 得. 所以 ，所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则.容易知道当时，. 从而当时， ， 即，从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条
14、件，所以最大值为. 2010A 11、（本题满分20分）证明：方程恰有一个实根，且存在唯一严格递增的正整数数列，使得。证明：令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根. 所以，即.故数列是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的. 不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 2009*1、函数，且，则 答案：解析：由题意得，.故 .2009*6、若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围为 答案：或解析：由题意，方程等价于，当且仅当（1）；（2）； （3）对（3）由求根公式得 （4）又或当时，由（3）得，所以同为负根。又
15、由（4）知，所以原方程有一个解。当时，原方程有一个解当时，由（3）得，所以同为正根，且，不合题意。 综上可得或为所求。2009*11、（本题满分15分）求函数的最大和最小值。解析：函数的定义域为。因为 当时等号成立。故的最小值为又由柯西不等式得所以10分由柯西不等式等号成立的条件，得解得.故当时等号成立。因此的最大值为11. 15分2008AB1、函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：C解析：当时，因此，当且仅当时取等号而此方程有解，因此在上的最小值为22008A 7、设，其中为实数，若，则 答案：解析：由题意知，由得，因此，2008B 7、设，其中为实数，若，则 答案： 解
16、析：由题意知，由得，因此，因此2008AB 8、设的最小值为，则实数 答案： 解析：，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值又或时，的c不能为，故，解得，(舍去)2008A 11、设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则 答案： 解析：方法一：由题设条件知 ，因此有，故 方法二： 令，则 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以2008B 11、设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则 答案： 解析：解法一 由题设条件知 ，因此有，故 解法二 令，则 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以2008A B14、解不等式解析：方法一：由，且在上为增函数，故
17、原不等式等价于即 分组分解得 ， 所以，即。解得故原不等式解集为 方法二： 由，且在上为增函数，故原不等式等价于即，令，则不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ，即，解得，故原不等式解集为 2008A二、（本题满分50分）设是周期函数，和是的周期且，证明：若为有理数，则存在素数，使是的周期；若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，（）,且每个（）都是的周期。证明：（1）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期又因，从而设是的素因子，则，从而 是的周期 （2）若是无理数，令 ，则，且是无理数，令 ， ， 由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数
18、列最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 2006*2、设，则实数的取值范围为 A. B. ，且 C. D.答案：B解析：因为，解得 . 由 ,解得 ；或 解得 ，所以的取值范围为 .2006*5、设函数，则对于任意实数，是的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件答案：A解析：显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 2006*15、（本题满分20分）设.记，集合对所有正整数，。证明：证明：（）如果，则，。 （）如果，由题
19、意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），我们有。2005*8、已知是定义在上的减函数，若成立，则实数的取值范围为 答案：解析：不等式等价为，解得或。2005*二、（本题满分50分） 设正数满足，求函数的最小值。解析：由条件得，即2，即，同理，由于均为正数，由上式知，故以为边长可以构造一个锐角三角形，其中。则问题等价于：锐角三角形中，求函数=的
20、最小值.令则且同理，+（取等号当且仅当，此时，综上可知2004*1、设锐角使关于的方程有重根，则的弧度数为 A. B. 或 C. 或 D. 答案：B解析：由方程有重根，故，得，得或2004*2、已知，若对所有的，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 答案：A解析：点在椭圆内或椭圆上，得2004*3、不等式的解集为 A. B. C. D. 答案：C解析：令，则不等式转化为，得2004*8、设函数，满足，且对任意，都有，则 答案：解析：令，得；令得交换位置后，令，得比较、得，2004*15、（本题满分20分）已知是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为。求；证明：对于（），若，则。解析
21、： 由题意得，故当时，由于，知时，于是，即在上单调递增。所以，把，代入得注意到所以，因为，所以又等号不可能同时成立，故2003*5、已知都在区间内，且，则函数的最小值是 A. B. C. D. 答案：D解析：由，知，将代入函数解析式整理得因为，所以，知当即时，取得最小值为，故选D2003*10、已知均为正整数，且,，若, 则 答案：解析：由题意得，设，则，即因为均为正整数，则也是整数，所以，解得，所以. 2002*1、函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 答案：A解析：由解得或，由复合函数的单调性可得选A2002*3、函数 A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数
22、又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数答案：A解析：计算出的表达式整理到最简后对比即可发现，2002*10、已知是定义在上的函数，且对任意都有，。若，则 答案：解析：由得，已知不等式即为，又 所以，即的周期为，所以2002*11、若，则的最小值是 答案：解析：由已知方程等价于，即由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值。令代入中有，由于 所以，解得 当，时，故的最小值是2002*15、（本题满分20分）设二次函数 (，)满足条件：（1） 当时,且;（2） 当时，;（3） 在上的最小值为.求最大的()，使得存在，只要，就有。解析：因为，知函数的图象关于对称 即解得；由知当时,，即；由得，由得，所
23、以，即联立以上三个式子解得，所以。假设存在，只要，就有。取时，有，即解得，下面对固定的，取，有，即，即，解得，注意到当时，对任意的，恒有所以的最大值为。2001*11、函数的值域为 答案：解析：，则两边平方得，从而且由， 或任取，令，易知，于是且任取，同样令，易知，于是且因此，所求函数的值域为2000*14、（本题满分20分）若函数在区间上的最小值为，最大值为，求解析： 若，则的最大值为最小值为即是方程的两个根，而此方程两根异号故不可能 若，当时，取最大值，故，得当或时取最小值，时，但，故取此时，从而是最小值，显然与矛盾故舍 此时，最大值为，最小值为两式相减得解得 符合条件的有或1999*3、
24、若，则( )A. B. C. D. 答案：B解析：记，则在上单调递增，则原不等式等价于，即，即。1998*1、若且，则的值( )A.等于 B.等于 C.等于 D.不是与无关的常数答案：C解析：由已知得，即，由，故。1998*7、若是以为周期的偶函数，当时，则,由小到大的排列是_.答案：解析：因为， 知在上递增，且，于是。1998*14、（本题满分20分）设函数()，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。问：为何值时最大？求出这个最大的，证明你的结论。解析：(1)当，即时，是方程的较小根，故(2)当，即时，是方程的较大根，故综合以上，当时，在上递增，所以当时，；当时，
25、。所以时，取得最大值1997*7、设为实数，且满足，则 .答案：解析：原方程组即，令，则这是一个奇函数，且增函数，即，即，所以1996*5、如果在区间上, 函数与在同一点取相同的最小值,那么在该区间上的最大值是_.A. B. C. D.以上答案都不对答案：B解析：由于当且仅当即时取得最小值，解得，由于故在上的最大值为故选B1995*4、 若方程在区间上有两个不相等的实根，则的取值范围是( )A. B. C. D.以上都不是答案：B解析：由，故，若，可知在所给区间上只有解故 由图象可得，时，即故选B 又解：与线段 ()有两个公共点即方程在上有两个不等实根故且，且，且解得1995*9、 用表示不大
26、于实数的最大整数， 方程的实根个数是_答案：解析：令，则得作出及的图象可知交点落在及内当时，代入解得故得：，即共有3个实根1995*二、（本题满分25分）求一切实数，使得三次方程的三个根均为正整数。解析：显然是方程的一个根于是只要考虑二次方程的两个根为正整数即可设此方程的两个正整数根为则由韦达定理知， 消去，得同乘以5： 由于均为整数，故、为整数即或或或其中使为正整数的，只有这一组值此时1994*8、已知，且，则_ _答案：解析：，令，知在上单调增 即1993*2、已知 (为实数)，则的值是（ ）A. B. C. D.随取不同值而取不同值答案：C解析：设，则，则，即所以选C1993*8、实数满
27、足，设，则_ _答案：解析：令，则且1993*10、整数的末两位数是_答案：解析：令，则得由于，故所求末两位数字为1992*6、设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系， ，则是（ ）A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数答案：C解析： 是周期函数； 是奇函数选C1992*12、函数的最大值是_答案：解析：，表示点与点的距离及距离差的最大值由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于即所求最小值为1992*15、 (本题满分20分)设是自然数，（），令。1求证：，（）2用数
28、学归纳法证明：解析： 由故证 ，故命题对成立设对于(，为正整数)，命题成立，现证命题对于成立1 若为偶数，则为奇数由归纳假设知，对于及，有即命题对成立2若为奇数，则为偶数，由归纳假设知，对于及，有 用乘减去，同上合并，并注意最后一项常数项为于是得到，即仍有对于，命题成立综上所述，知对于一切正整数，命题成立1991*2设均为非零复数，且，则的值为( )A B C D答案：C解析：令，则由得且故选C1991*4设函数对于一切实数满足且方程恰有个不同的实数根，则这个实根的和为( )A B C D答案：A解析：该函数图象关于对称故个根的和为选A1991*6方程的图象为( ) 答案：D解析：，故此方程等
29、价于，整理可得。故选D1990*2、设是定义在实数集上的周期为的函数，且是偶函数，已知当时，则当时，的解析式是（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：设,则,于是，所以，又设，则,故，由.综上可得：故选C1989*3.对任意函数，在同一个直角坐标系中，函数与的图像恒（ ）A. 关于轴对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于轴对称答案：B解析：令，则，即关于对称，即此二图象关于对称选B1989*9设函数，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .答案：解析：图1是函数的图形，把此图形向下平行移动1个单位就得到函数的图形，作该图形的在轴下方的部分关于轴的对称图形得出图2，其中在
30、轴上方的部分即是的图象，再把该图象向下平行移动2个单位得到的图象，作该图象在轴下方的部分关于轴的对称图形得到图3，其中轴上方的部分即是的图象。易得所求面积为7。1988*1设有三个函数，第一个是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于对称，那么，第三个函数是( )A B C D答案：B解析：第二个函数是第三个函数是，即选B1986*3、设实数满足，那么，的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：第一式3+第二式：，得，进而，所以选D1986*8、已知，那么方程的解的个数是 答案：解析：，同样的图象为8条线段，其斜率分别为，夹在与，之内它们各与线段 ()有1
31、个交点故本题共计8解 1986*9、设，那么和式的值等于 ；答案：解析：代入可求得将所求的式子首尾配对（共500对），得所求和为1986*10、设为非负实数，且满足方程，那么的最大值与最小值的乘积等于 答案：解析：令，则得，解得或当时，即，即，故，所以；又，得，所以；当时，得，故，所以；又，得故，所求最大值与最小值的乘积为1984*2、下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式的是( )答案：D解析：当时，得；当时，得选D1984*4、方程的实根个数是（ ）A. B. C. D.大于答案：C解析：作及的图象，当时，故二者只在内可能有交点经作图可知，二者在内有一交点，在内有一交点选C1984
32、*5、若且，是一个奇函数，则是（ ）A.奇函数 B. 偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性与的具体数值有关答案：B解析：，故，且的定义域是的定义域与的交集，为以原点为对称的区域，故选B1984*6、若，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 答案：A解析：令，得，即，一一验证知，选A1983*2、的值是属于区间（ ）A. B. C. D.答案：D解析：，选D1983*五、(本题满分18分) 函数,在 上的最大值与参数、有关，问、取什么值时，为最小？证明你的结论解析：取，则取，若，则当时，当时，从而若，则当时，当时，由于是一次函数，当时递增，此时；当时递减，此时故此时若，显然有从而
33、的最小值为，这个最小值在时取得1982*3、若，则的大小为（ ）A. B. C. D.答案：A解析：由题意得，；，故，又故选A1982*6、已知是方程（为实数）的两个实数根，则的最大值是（ ）A. B. C. D.不存在答案：A解析：，得由韦达定理，得 当时，取最大值故选B1981*7、对方程进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？（ ）A至多有三个实根 B至少有一个实根 C仅当时才有实根 D当和时，有三个实根答案：C,D解析：画出及的图象：知A、B正确，C、D错误选C、D1981*8、(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：0.0210.271.52.835678914解析：若，则及，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确若，则，由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确于是与表中矛盾即的数值错误若，则，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确，与表中矛盾； 表中与是错误的，应为，- 36 -
