1、第2课时 基本不等式的应用 1.1.掌握基本不等式及其变形的应用掌握基本不等式及其变形的应用. . 2.2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题. . 1.1.基本不等式与最值基本不等式与最值 设设x x，y y为正实数为正实数. . (1)(1)若若x+y=s(x+y=s(定值定值) )，则当，则当_时，时，xyxy有最大值有最大值_._. (2)(2)若若xy=p(xy=p(定值定值) )，则当，则当_时，时，x+yx+y有最小值有最小值_._. s xy 2 2 s 4 xyp 2 p 2.2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需
2、满足利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)x(1)x，y y必须是必须是_._. (2)(2)求积求积xyxy的最大值时，应看和的最大值时，应看和x+yx+y是否为是否为_；求和；求和x+yx+y的最的最 小值时，应看积小值时，应看积xyxy是否为是否为_._. 正数正数 定值定值 定值定值 1.1.已知已知x0，y0)y0)，当且仅当，当且仅当 x=yx=y时，等号成立”，思考下列问题：时，等号成立”，思考下列问题： (1)(1)若若x+y=xyx+y=xy，如何求，如何求x+yx+y和和xyxy的范围？的范围？ xy xy 2 提示：提示：因为因为 所以所以xy xy
3、又又x+y=xyx+y=xy，所以，所以 x+y x+y 整理得整理得 (x+y)(x+y)2 2(x+y)0(x+y)0，从而可求得，从而可求得x+yx+y的的 范围范围. .因为因为xy x+y=xyxy x+y=xy，所以，所以xy xy 整理得整理得(xy)(xy)2 2 4xy04xy0，可求得，可求得xyxy的范围的范围. . xy xy 2 ， 2 xy () 2 ， 2 xy () 2 ， 1 4 2 xy () 2 ， 2 xy () 2 ， (2)(2)常用的构造定值条件的变换方法有哪些？常用的构造定值条件的变换方法有哪些？ 提示：提示：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后
4、利用加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用 基本不等式基本不等式. . 探究探究2 2：利用基本不等式解决实际问题中的最值，应注意哪些：利用基本不等式解决实际问题中的最值，应注意哪些 问题？问题？ 提示：提示：解实际问题要注意以下几点：解实际问题要注意以下几点： 设变量时一般要把求最大或最小值的变量定义为函数；设变量时一般要把求最大或最小值的变量定义为函数； 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式 求得函数的最值；求得函数的最值； 在求函数的最值时，一定要在定义域在求函数的最值时，一定要在定义域( (使实际问题有意义的使实际问
5、题有意义的 自变量的取值范围自变量的取值范围) )内求解内求解. . 【探究总结探究总结】利用基本不等式求函数最值的三个条件利用基本不等式求函数最值的三个条件 (1)(1)正：函数的解析式中，各项均为正数正：函数的解析式中，各项均为正数. . (2)(2)定：函数解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定：函数解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为 定值定值. . (3)(3)相等：函数的解析式中，含变量的各项均相等，取得最值相等：函数的解析式中，含变量的各项均相等，取得最值 时必须验证等号是否成立时必须验证等号是否成立. . 简记为：一正二定三相等简记为：一正二定三相等. . 【拓展延
6、伸拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值的方法 求条件最值是基本不等式的一个重要应用求条件最值是基本不等式的一个重要应用. .应用基本不等式求应用基本不等式求 最值时：通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系最值时：通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系 数使之能够出现定值是解题的关键；必须指出等号成立的条数使之能够出现定值是解题的关键；必须指出等号成立的条 件件. . 类型一类型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 1.(20141.(2014临沂高二检测临沂高二检测) )若若x0 0. . 所以所以yy- -2 2+ +4 4= =2 2， 当且仅当当且仅当 即即x=x=1
7、 1或或x=x= ( (舍舍) )时时，等号成立等号成立， 故当故当x=x=1 1时时，y ymax max= =2 2. . 31 1 5x5y ， 31133x12y 3x4y3x4y () 5x5y55y5x 133x12y1312 25 55y5x55 5 x 4 ， 11 y4x 1(5 4x)4. 4x55 4x 11 5 4x2 (5 4x)2 5 4x5 4x 因为， 1 5 4x 5 4x ， 3 2 【延伸探究延伸探究】若把题若把题1 1中的条件中的条件“x1”. .其他不变，其他不变， 则结论如何？则结论如何？ 【解析解析】选选A.A.因为因为x1x1，所以，所以x x-
8、 -1010，所以，所以 故选故选A.A. 2 x2x2 y 2x2 2 x 11 x 11x 111 221 2 x 122 x 122 x 14 ， 【规律总结规律总结】利用基本不等式求最值的方法及技巧利用基本不等式求最值的方法及技巧 (1)(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解. . (2)(2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满 足上述三个条件方可利用基本不等式足上述三个条件方可利用基本不等式. . (3)(3)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项
9、变换；常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换； 统一变元；平方后利用不等式统一变元；平方后利用不等式. . 类型二类型二 利用基本不等式求参数与代数式的范围利用基本不等式求参数与代数式的范围 1.(20141.(2014晋江高一检测晋江高一检测) )当当xx- -1 1时，不等式时，不等式x+ x+ - -1a1a恒成恒成 立，则实数立，则实数a a的最大值是的最大值是 . . 2.2.已知已知x0x0，y0y0，且，且 =1=1，求，求x+yx+y的最小值的最小值. . 19 xy 1 x 1 【解题指南解题指南】1.1.只需只需x+ x+ - -1 1的最小值大于等于的最小值大于等
10、于a a即可即可. .故转化故转化 为求为求x+ x+ - -1 1的最小值的最小值. . 2.2.要求要求x+yx+y的最小值，根据基本不等式应构建两个数的最小值，根据基本不等式应构建两个数( (式式) )的积的积 为定值，因而需要对条件进行变形，可利用为定值，因而需要对条件进行变形，可利用“1 1”的代换，亦的代换，亦 可利用已知条件消元可利用已知条件消元. . 1 x 1 1 x 1 【自主解答自主解答】1.1.当当xx- -1 1时，不等式时，不等式x+ x+ - -1a1a恒成立，因此恒成立，因此 只需只需h(x)=x+ h(x)=x+ - -1 1的最小值大于等于的最小值大于等于a
11、 a成立即可；成立即可；x+ x+ - -1 1 =(x+1)+ =(x+1)+ - -2 2 - -2=02=0，所以，所以h(x)h(x)min min=0 =0，所以，所以a0.a0. 答案：答案：0 0 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 2x 1 x 1 2.2.方法一：方法一：(1(1的代换的代换) )因为因为 =1=1， 所以所以x+y=(x+y)x+y=(x+y) 因为因为x x0 0，y y0 0，所以，所以 当且仅当当且仅当 即即y=3x y=3x 时，取时，取“= =”. . 又又 =1=1， 解可得解可得x=4x=4，y=12.y=12. 所以当所以当x
12、=4x=4，y=12y=12时，时，x+yx+y的最小值是的最小值是16.16. 19 xy 19y9x ()10. xyxy y9xy 9x 26 xyx y ， y9x xy ， 19 xy 方法二方法二：( (消元法消元法) )由由 =1=1，得，得x=x= 因为因为x x0 0，y y0 0，所以，所以y y9.9. 所以所以 =(y=(y- -9)+ +10.9)+ +10. 因为因为y y9 9，所以，所以y y- -9 90 0， 所以所以(y(y- -9)+9)+ 当且仅当当且仅当y y- -9= 9= 即即y=12y=12时，取时，取“= =”，此时，此时x=4x=4， 所以
13、当所以当x=4x=4，y=12y=12时，时，x+yx+y的最小值是的最小值是16.16. 19 xy y . y 9 yy 9 99 xyyyy1 y 9y 9y 9 9 y 9 99 2 (y 9)6. y 9y 9 9 y 9 ， 【规律总结规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型 及处理技巧及处理技巧 (1)(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式， 进而解出该不等式进而解出该不等式. . (2)(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函若已知不等式，则要
14、先将字母参数分离出来，转化为求函 数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式. . 【变式训练变式训练】若若abcabc，且，且 恒成立，求恒成立，求m m的取的取 值范围值范围. . 【解题指南解题指南】先将先将 变形，再利用基本不等式变形，再利用基本不等式 求出求出m m的取值范围的取值范围. . 11m abbcac 11m abbcac 【解析解析】由由abcabc，得，得a ab0b0，b bc0c0，a ac0c0，因此原不等，因此原不等 式等价于式等价于m m 要使原不等式恒成立，只需要使原不等式恒成立，只需 的最小值不小
15、于的最小值不小于m m即可，因为即可，因为 当且仅当当且仅当 即即2b=a+c2b=a+c时，时， 等号成立等号成立. .所以所以m4.m4. acac abbc ， acac abbc acac abbc (ab)(bc)(ab)(bc)bcab 2 abbcabbc bc ab 224 ab bc ， bcab abbc ， 类型三类型三 利用基本不等式解实际应用题利用基本不等式解实际应用题 1.1.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费 的体力增多，因此不满意度升高，当住第的体力增多，因此不满意度升高，当住第n n层楼时，
16、上下楼造层楼时，上下楼造 成的不满意度为成的不满意度为n n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为 安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n n层层 楼时，环境不满意度为楼时，环境不满意度为 ，则此人应选，则此人应选( ( ) ) A.1A.1楼楼 B.2B.2楼楼 C.3C.3楼楼 D.4D.4楼楼 8 n 2.2.某开发商用某开发商用90009000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规 划要求写字楼每层建筑面积为划要求写字楼每层建筑面积为2000200
17、0平方米平方米. .已知该写字楼第一已知该写字楼第一 层的建筑费用为每平方米层的建筑费用为每平方米40004000元，从第二层开始，每一层的建元，从第二层开始，每一层的建 筑费用比其下面一层每平方米增加筑费用比其下面一层每平方米增加100100元元. . (1)(1)若该写字楼共若该写字楼共x x层，总开发费用为层，总开发费用为y y万元，求函数万元，求函数y=f(x)y=f(x)的的 表达式表达式( (总开发费用总开发费用= =总建筑费用总建筑费用+ +购地费用购地费用).). (2)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼
18、应建为多少层？应建为多少层？ 【解题指南解题指南】1.1.建立关于建立关于n n的函数，讨论其最小值的函数，讨论其最小值. . 2.(1)2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系，根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系， 得出总建筑费用，从而得出得出总建筑费用，从而得出y=f(x)y=f(x)的表达式的表达式. . (2)(2)根据根据(1)(1)中中y=f(x)y=f(x)的表达式，把函数的解析式变换成两个数的表达式，把函数的解析式变换成两个数 ( (式子式子) )的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解. . 【自主解答自主解
19、答】1.1.选选C.C.只需求不满意度只需求不满意度n+ n+ 的最小值的最小值. .由均值不由均值不 等式得等式得n+ 4 n+ 4 ，当且仅当，当且仅当n= n= ，即，即n=2 3n=2 3时，时，n+ n+ 取取 得最小值得最小值. . 8 n 8 n 2 8 n 2 8 n 2.(1)2.(1)由已知，写字楼最下层的总建筑费用为由已知，写字楼最下层的总建筑费用为400040002000=2000= 8000000(8000000(元元)=800()=800(万元万元) )，从第二层开始，每层的建筑总费用，从第二层开始，每层的建筑总费用 比其下面一层多比其下面一层多1001002000
20、=200000(2000=200000(元元)=20()=20(万元万元) )，写字楼从，写字楼从 下到上各层的总建筑费用构成以下到上各层的总建筑费用构成以800800为首项，以为首项，以2020为公差的等为公差的等 差数列，所以函数表达式为差数列，所以函数表达式为f(x)=800x+ f(x)=800x+ 20+9000=10x20+9000=10x2 2 +790x+9000(xN+790x+9000(xN* *).). x(x 1) 2 (2)(2)由由(1)(1)知写字楼每平方米平均开发费用为知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)= g(x)= 10000= 5010000= 50(2
21、(2 +79)=6950(+79)=6950(元元) )，当且仅当，当且仅当x= x= ，即，即x=30x=30时等号成立，故该时等号成立，故该 写字楼应建为写字楼应建为3030层层. . f x 2 000x 2 5 10x790x9 000 900 50(x79) xx 900 900 x 【规律总结规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数. . (2)(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数
22、的最大或最 小值问题小值问题. . (3)(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值在定义域内，求出函数的最大值或最小值. . (4)(4)写出正确答案写出正确答案. . 【变式训练变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方 形公园形公园ABCDABCD，公园由长方形，公园由长方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的休闲区和环公园人行道的休闲区和环公园人行道 ( (阴影部分阴影部分) )组成组成. .已知休闲区已知休闲区A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的面积为的面积为40004000平方米，人平方米，人 行道的宽
23、分别为行道的宽分别为4 4米和米和1010米米( (如图所示如图所示).). (1)(1)若设休闲区的长和宽的比若设休闲区的长和宽的比 =x(x1)=x(x1)，求公园，求公园ABCDABCD所占所占 面积面积S S关于关于x x的函数的函数S(x)S(x)的解析式的解析式. . (2)(2)要使公园所占面积最小，则休闲区要使公园所占面积最小，则休闲区A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的长和宽该如何的长和宽该如何 设计？设计？ 11 11 A B B C 【解析解析】(1)(1)设休闲区的宽为设休闲区的宽为a a米，则长为米，则长为axax米，米， 由由a a2 2x=4 000
24、x=4 000，得，得 则则S(x)=(a+8)(ax+20)=aS(x)=(a+8)(ax+20)=a2 2x+(8x+20)a +160x+(8x+20)a +160 =4 000+(8x+20)=4 000+(8x+20) +160= +4 160(x1).+160= +4 160(x1). (2) (2) =5 760=5 760，当且仅当，当且仅当 即即x=2.5x=2.5时，等号成立，此时，等号成立，此 时时a=40a=40，ax=100.ax=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区所以要使公园所占面积最小，休闲区A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 应设计为长应设计
25、为长100100米，宽米，宽4040米米. . 20 10 a. x 20 10 x 5 80 10 (2 x) x 55 80 10(2 x)4 16080 10 2 2 x4 1601 600 xx 4 160 5 2 x x ， 【拓展类型拓展类型】基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 1.1.已知等比数列已知等比数列a a1 1，a a2 2，a a3 3的和为定值的和为定值m(m0)m(m0)，且其公比，且其公比q0，所以，所以m 0m 0，即，即mama2 200，故，故 t=at=a1 1a a2 2a a3 3=a=a2 23 3m m3 3，0)0)，故选，故选B.B.
26、2 1 a (1 q) q ， m 1 1 q q ， 1 q m 1 1 q q 2.2.因为因为a a，b b，c c成等差数列，所以成等差数列，所以b= b= 所以所以cos B=cos B= 当且仅当当且仅当3a3a2 2=3c=3c2 2，即，即a=ca=c时，时， 等号成立等号成立. .又因为又因为y=cos xy=cos x在在(0(0，)上是减函数，所以上是减函数，所以0B0B ac . 2 222 22222 ac ac() acb3a3c2ac 2 2ac2ac8ac 22 2 3a 3c2ac6ac2ac1 8ac8ac2 ， . 3 【规律总结规律总结】利用基本不等式解决有关问题的方法利用基本不等式解决有关问题的方法 对于基本不等式在有关问题中的应用，一方面根据具体问题找对于基本不等式在有关问题中的应用，一方面根据具体问题找 到有关参数的关系式，另一方面结合问题，对条件进行变形调到有关参数的关系式，另一方面结合问题，对条件进行变形调 整，使其转化为代数式的两部分的积或和为定值的形式，进而整，使其转化为代数式的两部分的积或和为定值的形式，进而 利用基本不等式求解利用基本不等式求解. .
