1、2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调 的生活中，发现了的生活中，发现了6464格棋（也就是现在的国际象格棋（也就是现在的国际象 棋）的有趣和奥妙，棋）的有趣和奥妙， 决定要重赏发明人决定要重赏发明人 他的宰相西萨他的宰相西萨 班班 达依尔，让他随意选达依尔，让他随意选 择奖品择奖品. . 宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一 粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他 四粒麦子四粒麦子依此依此 类推，每一格上的类
2、推，每一格上的 麦子数都是前一格麦子数都是前一格 的两倍，国王一听，的两倍，国王一听， 几粒麦子，加起来几粒麦子，加起来 也不过一小袋，他也不过一小袋，他 就答应了宰相的要就答应了宰相的要 求求. .实际上国王能实际上国王能 满足宰相的要求吗？满足宰相的要求吗？ ？ 1.1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和公式项和公式. .( (重点）重点） 2.2.掌握前掌握前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法. .（重点）（重点） 3.3.对前对前n n项和公式能进行简单应用项和公式能进行简单应用. .（难点）（难点） S S1 1= =a a1 1 S S2 2=a=a1 1+a+a2
3、 2=a=a1 1+a+a1 1q q = =a a1 1(1+q)(1+q) S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3=a=a1 1+a+a1 1q +aq +a1 1q q2 2 = =a a1 1(1+q+q (1+q+q2 2) ) S S4 4=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+a+a1 1q q3 3 = =a a1 1(1+q+q (1+q+q2 2+q+q3 3) ) 探究：探究：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 1 2 3 1 3 (1 )(1) (1) 11 aqqq
4、 aq S qq 1 2 1 2 (1)(1) (1) 11 aqq aq S qq 观察：观察： 1(1 ) (1) 1 n n aq Sq q 猜想得：猜想得： Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn - -得：得： S Sn n(1(1- -q)=aq)=a1 1- -a a1 1q qn n 当当q q11时，时， 1(1 ) . 1 n n aq S q 等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和项和 1 1 , 1 (1) .1 1 n n naq S aq q q 有了
5、上述公式，就可以解决开头提出的问题了，有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了， 问题问题1 1：a a1 1=1,q=2,n=64.=1,q=2,n=64.可得可得: : S S64 64= = 估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g40g，那么麦粒的总质量超，那么麦粒的总质量超 过了过了7 0007 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. . 64 64 1 (1-2 ) =2 -1()=18 446 744 073 709 551 615() 1-2 粒粒 1.1.注意注意q=1q=1与与q1q1两种情形两种情形 2.q12.q1时，时， n
6、 n n aa qa (q ) S qq 11 1 11 3.3.五个量五个量n n，a a1 1，q q，a an n，S Sn n中，解决“知三求二”中，解决“知三求二” 问题问题. . 1 1 ,1 (1) .1 1 n n naq S aq q q 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 等比数列等比数列1，a，a2，a3，的前的前n项和为项和为( ) A1a 1 an 1 1a B.1 an 1a C.a n1 1 a1 D以上皆错以上皆错 【即时练习即时练习】 【解析解析】选选 D.要考虑到公比为要考虑到公比为1的情况，此时的情况，此时Sn n. 1919 例例 求求下下列
7、列等等比比数数列列前前8 8项项的的和和: : 111111 （1 1） , , ,. , , ,. 248248 1 1 （2 2）a a 2727，a a ，q 0.q 0. 243243 为为 1 1 8888 8 8 8 8 1111 1 因1 因a =,q =,n = 8，a =,q =,n = 8， 2222 11111111 1-1-1-1- 22222222 12551255 所所以以S =1-=.S =1-=. 1111 22562256 1-1- 2222 解解 : : 当当时时 8 8 1919 8 8 8 8 1111 2 由2 由a = 27,a =,可a = 27,
8、a =,可得得2727q ,q , 243243243243 又又由由q 0,可q 0,可得得 1 1 q = - , q = - , 3 3 1 1 27 1- -27 1- - 3 3 1 6401 640 于于是是n = 8，n = 8，S =.S =. 1 18181 1- -1- - 3 3 在等比数列在等比数列an中，中，S230，S3155，求，求Sn； 解：解：(1)由题意知由题意知 a1 1q 30， a1 1qq2 155， 解得解得 a15， q5 或或 a1180， q5 6， ， 从而从而 Sn1 4 5n 1 5 4或 或 Sn 1 080 1 5 6 n 11 .
9、 【变式练习变式练习】 1 1数列数列22n n 1 1 的前 的前9999项和为项和为 ( ( ) ) A A2 2100 100- -1 1 B B1 1- -2 2100 100 C C2 299 99- -1 1 D D1 1- -2 299 99 【解析解析】选】选 C.a11，q2， S991 1299 12 2991. C 2 2若等比数列若等比数列aan n 的前的前3 3项的和为项的和为1313，首项为，首项为1 1，则，则 其公比为其公比为_ 【解析解析】由题知由题知1 q3 1q 13,1qq213，q2q 120，所以，所以 q3 或或 q4. 答案：答案：3 或或-4
10、 3或或4 3. （2015 全国卷全国卷） 数列数列 n a 中中11 2,2, nnn aaa S 为为 n a 的的 前前 n 项和，若项和，若 126 n S ，则，则 n= . 【解析】【解析】11 2,2 nn aaa ，数列数列 n a 是首项为是首项为 2，公比为，公比为 2 的等比数列，的等比数列， 2(1 2 ) 126 1 2 n n S ，2 64 n ，n=6. 答案：答案：6 4.2+(2+24.2+(2+22 2)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3+2+210 10） ） =_.=_. 2 212 12 24 2
11、4 5.(5.(20142014福建福建高考高考) )在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a2 23 3，a a5 58 81.1. (1)(1)求求a an n. . (2)(2)设设b bn nloglog3 3a an n，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n. . 【解析】【解析】(1)(1)设设 a an n 的公比为的公比为q q，依题意得，依题意得 a a1 1q q 3 3， a a1 1q q 4 4 8181，解得 解得 a a1 1 1 1， q q3.3. 因此，因此，a an n3 3 n n1 1. . (2)(2)因为因为b
12、 bn nloglog3 3a an nn n1 1， 所以数列所以数列 b bn n 为等差数列，其为等差数列，其前前n n项和项和S Sn n n n（b b1 1b bn n） 2 2 n n 2 2 n n 2 2 . . 12nn Saaa=+ 鬃 ? 错错 位位 相相 减减 法法 通项通项 公式公式 nn Sa nqa , , 1求和求和 公式公式 知 三 求 知 三 求 二二 等比数列的前等比数列的前n n项和项和公式公式 等等 比比 数数 列列 前前 n n 项项 和和 公公 比比 适用公式适用公式 q=1q=1 q1q1 n11 Sna (a0) n 1 n1 a 1 q S(a0,q0) 1 q 1n n1 aa q S(a0,q0) 1 q 勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥 补懒惰的缺陷。
