1、第2课时 不等式的性质 【知识提炼知识提炼】 不等式的性质不等式的性质 性质性质1 1对称性：对称性：abab_._. 性质性质2 2传递性：传递性：abab，bcbc_._. 性质性质3 3可加性：可加性：abab_._. bc a+cb+ca+cb+c 性质性质4 4可乘性：可乘性： _， _._. 性质性质5 5同向可加性：同向可加性： _._. 性质性质6 6同向同正可乘性：同向同正可乘性： _._. 性质性质7 7可乘方性：可乘方性：ab0ab0_(nN_(nN，n1).n1). 性质性质8 8可开方性：可开方性：ab0ab0 (nN(nN，n2).n2). ab c0 acbcac
2、bc ab c0 acb+d ab0 cd0 acbdacbd a an nbbn n nn ab 【即时小测即时小测】 1.1.判断判断 (1)ab(1)abacac2 2bcbc2 2.(.( ) ) (2)(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(.( ) ) (3)(3)若若ab0ab0，则，则abab .(.( ) ) 11 ab 【解析解析】(1)(1)错误错误. .当当c=0c=0时，由时，由abab推不出推不出acac2 2bcbc2 2. . (2)(2)错误错误. .同向不等式相加时，已知数可以为任意实数，同向不等式相加时，已知数可以为任
3、意实数， 同向不等式相乘时，要求已知数是正数同向不等式相乘时，要求已知数是正数. . (3)(3)正确正确. .因为因为ab0ab0，所以，所以abab的两边同除以的两边同除以abab可得可得 即即 反之，反之， 的两边同乘以的两边同乘以abab可得可得bb. 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 11 ba ， 11 . ab 11 ab 2.2.设设a a，b b，cRcR，且，且abab，则，则( ( ) ) A.acbcA.acbc B. B. C.aC.a2 2bb2 2 D.aD.a3 3bb3 3 【解析解析】选选D.D.若若c c0 0，则，则A A错；若错；若
4、a0a0，bac B.c(bB.c(b- -a)0a)0 C.cbC.cb2 20，b b- -a 0， 所以所以A A一定正确；一定正确；B B一定正确；一定正确；D D一定正确；当一定正确；当b=0b=0时时C C不不 正确正确. . 4.4.若若xyxy，abab，则，则a a- -xbxb- -y y；a+xb+ya+xb+y；axbyaxby； x x- -byby- -a.a.这四个式子中，恒成立的不等式的序号是这四个式子中，恒成立的不等式的序号是 _._. 【解析解析】因为因为xyxy，abab，所以，所以- -bb- -a a， 所以所以a+xb+ya+xb+y；x x- -b
5、yby- -a.a. 当当x=1x=1，y=y=- -1 1，a=1a=1，b=b=- -1 1时，时，a a- -x = bx = b- -y=0y=0，ax = ax = by=1by=1，故错误，故错误. . 答案：答案： 5.5.若若a(60a(60，84)84)，b(28b(28，33)33)，则，则 _._. 【解析解析】因为因为b(28b(28，33)33)，所以，所以 又又600)在在(0(0，+)+)上递增上递增. . (7)(7)性质性质1 1，3 3是单向推导，其他是“双向”推导是单向推导，其他是“双向”推导. . 2.2.对利用不等式的性质证明不等式的说明对利用不等式的
6、性质证明不等式的说明 (1)(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实 数数a a，b b有有a a- -b0b0abab；a a- -b=0b=0a=ba=b；a a- -b0ab0，ccabc，求证：，求证： abababab A. B. C. D. cdcddcdc 111 0. abb cc a 【解题探究解题探究】 1.1.典例典例1 1中，如何判断中，如何判断 的大小关系？要构造出的大小关系？要构造出 的关系，需要进行什么运算？的关系，需要进行什么运算？ 提示：提示：在不等式在不等式c0证得证得. . 11 0 abc a 【解析
7、解析】1.1.选选D.D.方法一：因为方法一：因为c0ab0对应相乘得，对应相乘得， 所以所以 方法二：令方法二：令a=3a=3，b=2b=2，c=c=- -3 3，d=d=- -2 2， 则则 排除选项排除选项A A，B B； 又又 所以所以 所以选项所以选项C C错误，选项错误，选项D D正确正确. . 11 0 dc 11 0 dc ， ab 0 dc ， ab . dc ab 11 cd ， a3 b2 d2 c3 ， ab dc ， 2.2.因为因为abcabc，所以，所以- -cc- -b b， 所以所以a a- -caca- -b0b0，所以，所以 所以所以 又因为又因为b b-
8、 -c0c0，所以，所以 所以所以 11 0 abac ， 11 0 abc a + ， 1 0. b c 111 0. abb cc a 【方法技巧方法技巧】 1.1.运用不等式的性质判断真假的技巧运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤 其是不凭想当然随意捏造性质其是不凭想当然随意捏造性质. . (2)(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排 除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条 件；二是取
9、值要简单，便于验证计算件；二是取值要简单，便于验证计算. . 2.2.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 (1)(1)实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就 是根据性质把不等式变形是根据性质把不等式变形. . (2)(2)注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用；中灵活准确地加以应用； 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式 的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更的性质
10、成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更 不能随意构造性质与法则不能随意构造性质与法则. . 【拓展延伸拓展延伸】不等式中的倒数性质不等式中的倒数性质 (1)ab(1)ab，ab0ab0 (2)a0(3)ab0，00ab0，cd0cd0，求证：，求证： 【证明证明】因为因为ab0ab0，cd0cd0， 所以所以acbd0.acbd0. 又因为又因为cd0cd0，所以，所以 0.0. 所以所以acac bdbd 00， 即即 所以所以 ab . dc 1 cd 1 cd 1 cd ab 0. dc ab . dc 【补偿训练补偿训练】若若a ab b0 0，c cd d0 0，e e0 0， 求
11、证：求证： 【证明证明】因为因为c cd d0 0，所以，所以- -c c- -d d0.0. 又因为又因为a ab b0 0，所以，所以a a- -c cb b- -d d0.0. 所以所以(a(a- -c)c)2 2(b(b- -d)d)2 20.0. 所以所以0 0 又因为又因为e e0 0，所以，所以 22 ee . acb d 22 11 . acb d 22 ee . acb d 类型二类型二 利用不等式的性质比较大小利用不等式的性质比较大小 【典例典例】设设a0a0，b0b0且且abab，P=aP=aa ab bb b，Q=aQ=ab bb ba a，试比较，试比较 P P与与Q
12、 Q的大小的大小. . 【解题探究解题探究】本例中，为了比较本例中，为了比较P P与与Q Q的大小需要用什的大小需要用什 么方法？么方法？ 提示：提示：需要用作商法，先比较需要用作商法，先比较 与与1 1的大小关系，再由的大小关系，再由 不等式的性质得出不等式的性质得出P P与与Q Q的大小关系的大小关系. . P Q 【解析解析】因为因为a0a0，b0b0，所以，所以P0P0，Q0Q0， 因为因为 =a=aa a- -b bb bb b- -a a= ab= ab， 所以当所以当ab0ab0时，时， 11，a a- -b0b0，则，则 11，于是，于是PQ.PQ. 当当ba0ba0时，时，0
13、1，于是，于是PQ.PQ. 综上所述，对于不相等的正数综上所述，对于不相等的正数a a，b b，都有，都有PQ.PQ. ab ba Pa b Qa b a b a ( ) b ， a b a b a ( ) b a b a b a ( ) b 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )本例条件改为本例条件改为 结果如何？结果如何？ 【解析解析】 因为因为(x+2)(x+5)(x+2)(x+5)- -(x+3)(x+4)=(x+3)(x+4)=- -2 20 0，且，且xx- -2 2， Px2x5 ， Qx3x4 x2 ， 2 2 Px2x52x72x2x5 ， 2 2 Qx3x
14、42x72x3 x4 ， 所以所以0(x+2)(x+5)0(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)， 所以所以 所以所以P P2 2Q Q2 2，又因为，又因为P0P0，Q0Q0，所以，所以P PQ.Q. x2 x5x3 x4， 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )本例条件改为已知本例条件改为已知a0a0，且，且 a1a1， 试比较试比较loglog0.5 0.5 与 与loglog2 2 的大小的大小. . 【解析解析】 (1)(1)当当a1a1时，时，a a2 2(a(a- -1)01)0，所以，所以 32 a1a1 PaQa ， P Q P Q 32
15、 2 a1a1 aa 1 P aa Q ， 2 aa 1 0 P aa1. Q (2)(2)当当01，所以，所以loglog0.5 0.5 0 0，loglog2 2 0 0， 所以所以loglog0.5 0.5 loglog2 2 . . 2 aa 1 0 P aa1. Q P Q P Q P Q P Q P Q 【方法技巧方法技巧】比较大小的常用方法比较大小的常用方法 (1)(1)作差法作差法. . 作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用a a2 2，|a|a|， 的非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大的非负性判断差的符号，然后根据以下结论判
16、断大 小：若小：若A A- -B0B0，则，则ABAB；若；若A A- -B=0B=0，则，则A=BA=B；若；若A A- -B0， 11，则，则ABAB；若；若B1，则，则Ab，bcbc，则，则acac，一般选择，一般选择0 0 或或1 1为中间量为中间量. . A B A B (4)(4)乘方转化法乘方转化法. . 对于两个根式大小的比较，可以利用对于两个根式大小的比较，可以利用ab0ab0a an nbbn n (nN(nN，n1)n1)，ab0ab0 (nN(nN，n2)n2)转化转化 后比较大小后比较大小. . nn ab 【补偿训练补偿训练】已知已知a0a0且且a1a1，p=log
17、p=loga a(a(a3 3+1)+1)， q=logq=loga a(a(a2 2+1)+1)，比较，比较p p与与q q的大小的大小. . 【解析解析】p p- -q=logq=loga a(a(a3 3+1)+1)- -logloga a(a(a2 2+1) +1) 当当a1a1时，时，a a3 3+1a+1a2 2+1+1，所以，所以 11，所以，所以logloga a 0 0； 当当00. 总之，总之，p p- -q0q0，所以，所以pq.pq. 3 a 2 a1 log. a1 3 2 a1 a1 3 2 a1 a1 3 2 a1 a1 3 2 a1 a1 【延伸探究延伸探究】
18、1.(1.(变换条件变换条件) )本题条件改为本题条件改为a1a1，p= p= 和和 q= q= 结果如何？结果如何？ 【解析解析】因为因为p p- -q= q= a 1a aa 1 a 1a( aa 1) 11a 1a 1 . a 1aaa 1 a 1aaa 1 因为因为a1a1，所以，所以0a0a- -10， 所以所以p p- -q0，p=ap=aa a， q=3q=3a a，且，且pqpq，试求，试求a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】因为因为q=3q=3a a00，且，且pq.pq. 所以所以 当当03时，时， 11，则，则 11，即，即pq.pq. 综上知，综上知，a3.a
19、3. a a a paa ( )1 q33 ， a 3 a a ( ) 3 a 3 a a ( ) 3 类型三类型三 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性质求取值范围 【典例典例】1.1.设实数设实数x x，y y满足满足3xy3xy2 288，4 94 9， 则则 的取值范围是的取值范围是_._. 2.2.已知已知- -6cabc，求，求 的取值范围的取值范围. . c a 【解析解析】因为因为f(1)=0f(1)=0，所以，所以a+b+c=0a+b+c=0， 所以所以b=b=- -(a+c).(a+c).又因为又因为abcabc， 所以所以aa- -(a+c)c(a+c)c，且，且a0
20、a0，c0.c0. 所以所以 即即 acc 1 aa ， cc 11. aa 2c 1 c1 a 2. ca2 2. a ， 所以解得 【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx，且，且1f(1f(- -1)21)2， 2f(1)42f(1)4，求，求f(f(- -2)2)的取值范围的取值范围. . 【解析解析】 所以所以f(f(- -2)=4a2)=4a- -2b=3f(2b=3f(- -1)+f(1).1)+f(1). 又因为又因为1f(1f(- -1)21)2，2f(1)42f(1)4， 所以所以53f(53f(- -1)+f(1)101)+f(1
21、)10，故，故5f(5f(- -2)10.2)10. 1 af1f 1 f1ab 2 1f 1ab bf 1f1 2 ， ， 即 ， ， 易错案例易错案例 利用不等式的性质求代数式的取值范围利用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例典例】(2015(2015宁波高一检测宁波高一检测) )若若- - ， 则则 - - 的取值范围是的取值范围是 ( )( ) A.(A.(- - ， ) ) B.(0B.(0， ) ) C.(C.(- - ，0)0) D.0D.0 2 2 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：错误的根
22、本原因是忽略了错误的根本原因是忽略了 这个条件这个条件. .实际实际 上，上，- - - - 0.0. 【自我矫正自我矫正】选选C.C.因为因为- - ，- - - - ， 所以所以- - -. 又因为又因为，所以，所以- -00，所以，所以- - -0.0. 2 2 2 2 【防范措施防范措施】 1.1.注意变量之间的内在联系注意变量之间的内在联系 在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系，在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系， 要准确确定独立变量，以免产生错误范围要准确确定独立变量，以免产生错误范围. . 2.2.关注不等式性质的应用条件关注不等式性质的应用条件 利用不等式的性质时，要特别注意性质成立的条件，利用不等式的性质时，要特别注意性质成立的条件， 如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数 的同向不等式才能相乘的同向不等式才能相乘. .对于异向不等式可利用不等式对于异向不等式可利用不等式 的对称性或在不等式的两边同乘以的对称性或在不等式的两边同乘以- -1 1转化为同向不等转化为同向不等 式式. .
