1、第2课时 等差数列的性质 * * n+1nn+1n （一一）等等差差数数列列的的概概念念 一一般般地地，如如果果一一个个数数列列从从第第2 2项项起起，每每一一项项与与它它的的 前前一一项项的的差差 等等差差数数列列. . 等等于于同同一一个个常常数数，那那么么这这个个数数列列就就叫叫做做 a-a = d (na-a = d (nN )N ) （二二）等等差差中中项项的的概概念念 由由三三个个数数a a，A A，b b组组成成的的等等差差数数列列可可以以看看成成最最简简单单 的的等等差差数数列列，这这时时，A A叫叫做做a a与与b b的的等等差差中中项项. . n1n1 nmnm （三三）等
2、等差差数数列列的的通通项项公公式式 a = a +(n-1)da = a +(n-1)d 推推导导方方法法：迭迭加加法法. . 推推广广的的通通项项公公式式：a = a +(n-m)d.a = a +(n-m)d. 1.1.理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定 一个数列是否是等差数列一个数列是否是等差数列. .( (重点）重点） 2.2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和 应用应用. .（难点）（难点） 3.3.掌握等差数列的有关性质掌握等差数列的有关性质 N 在在等等差差数数列列中中， 若若 则
3、则 探探究究 等等差差数数列列的的性性质质 特特别别地地：若若则则 思思考考：若若， 则则成成立立吗吗？ 1. , , , , 2 ,2. 3 3 n mnpq mnp pqnm a mnpq m n p q aaaa mnpaaa pqnm aaaa 提示：提示：成立成立. 若若是是公公差差为为 的的等等差差数数列列 则则和和也也是是 等等差差数数列列. . 221 2., nnn adaa 思考：思考：在上述两个数列中，首项和公差各是在上述两个数列中，首项和公差各是 多少？多少？ 22 211 ,2 ; ,2 . 数数列列的的首首项项是是公公差差是是 数数列列的的首首项项是是 提提示示：
4、公公差差是是 n n aad aad (2015(2015重庆高考重庆高考) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,若若a a2 2=4,a=4,a4 4=2,=2, 则则a a6 6= = ( ( ) ) A.A.- -1 B.0 1 B.0 C.1 C.1 D.6D.6 【解析】【解析】选选B.B.因为数列因为数列aan n 为等差数列为等差数列, ,所以所以a a4 4为为a a2 2和和a a6 6 的等差中项的等差中项, ,所以有所以有2a2a4 4=a=a2 2+a+a6 6, ,解得解得a a6 6=0.=0. 【提示提示】解答本题可以利用等差中项的概念进行计解答本题可以利
5、用等差中项的概念进行计 算算. . 【即时练习即时练习】 例例1 1 某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步，起步 价为价为1010元，即最初的元，即最初的4 km4 km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010 元元. .如果某人乘坐该市的出租车去往如果某人乘坐该市的出租车去往14 km14 km处的目处的目 的地，且一路畅通，等候时间为的地，且一路畅通，等候时间为0 0，需要支付多，需要支付多 少车费少车费? ? n n 1 1 根根据据意意，市市出出租租的的行行程程大大于于或或等等于于 4 km，4 km，每每增增加加1 km，1 km，乘乘
6、客客需需要要支支付付1.2元1.2元.所.所以以， 我我可可以以建建立立一一等等差差列列 a算a算.令.令 a =11.2,表a =11.2,表示示4 km的4 km的，公公差差d =1.2.那d =1.2.那么么 解解：题题当当该该车车 时时 们们个个数数来来计计车车费费 处处车车费费 当当车车处处时时时时 车车费费 1111 出出租租行行至至14 km，14 km，n =11,此n =11,此需需要要 支支付付a=11.2+(11-1) a=11.2+(11-1) 1.2=23.2(元1.2=23.2(元).). 1 【方方法法技技巧巧】 . .建建立立等等差差数数列列的的数数学学模模型型
7、； 2.2.解解得得模模型型的的结结果果. . 车车费费需需要要支支付付2 2答答：3.2元3.2元. . 梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33 cm33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm110 cm，中间，中间 还有还有1010级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. . 解解: : 由题意知，建立一个等差数列由题意知，建立一个等差数列aan n 来计算中间各级来计算中间各级 的宽，由已知条件，有的宽，由已知条件，有a a1 1=33,a=33,a12 12=110 =110，1n121n12，nNnN* *, , 又又a a12 12=
8、a =a1 1+(12+(12- -1)d1)d，即，即110110333311d11d，所以，所以 d=7d=7， 因此，因此，a a2 2=33+7=40=33+7=40，a a3 3=40+7=47=40+7=47，a a11 11=96+7=103. =96+7=103. 答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm40 cm、47 cm47 cm、 54 cm54 cm、61 cm61 cm、68 cm68 cm、75 cm75 cm、82 cm82 cm、89 cm89 cm、96 cm96 cm、 103 cm.103 cm. 【变式练习变式练习
9、】 例例2 2 已已知知数数列列的的通通项项公公式式为为，其其中中 ， 为为常常数数，那那么么这这个个数数列列一一定定是是等等差差数数列列吗吗？ n apnq pq n a n n nn-1nn-1 判判定定 a是a是不不是是等等差差列列，可可以以利利用用等等差差列列 的的定定，也也就就是是看看a -an 1 是a -an 1 是不不是是一一与与n的n的 析析： 常常. . 分分数数数数 义义个个无无关关 数数 nnn-1nnn-1 nn-1nn-1 n n 取取列列 a中a中的的任任意意相相a 与a 与a (n 1),a (n 1), 求求差差得得a -a= pn+q - p n-1 +qa
10、 -a= pn+q - p n-1 +q = pn+q-(pn-p+q)= p.= pn+q-(pn-p+q)= p. 它它是是一一与与n的n的常常 解解： .所.所以以 a是a是等等差差列列. . 数数邻邻两两项项 个个无无关关数数数数 证明等差数列的方法：证明等差数列的方法： 1.1.利用定义利用定义; ; 2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ; 3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. . 在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知 a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，a a4 4a a7 7=187=187，
11、求求a a14 14及公差 及公差d.d. 解解: :a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，所以，所以a a4 4+a+a7 7=28=28， 又又a a4 4a a7 7=187=187， 联立解得联立解得 a a4 4=17=17， a a7 7=11=11， a a4 4=11=11， a a7 7=17=17， 或或 所以所以d= d= - -2 2或或2, 2, 从而从而a a14 14= = - -3 3或或31.31. 【变式练习变式练习】 例例3 3 在等差数列在等差数列aan n 中，中， (1)(1)已知已知 a a6 6+a+a9 9+a+a
12、12 12+a +a15 15=20 =20，求，求a a1 1+a+a20 20. . (2)(2)已知已知a a3 3+a+a11 11=10 =10，求，求a a6 6+a+a7 7+a+a8 8. . 解：解：由由a a1 1+a+a20 20 =a =a6 6+a+a15 15= a = a9 9+a+a12 12 及 及a a6 6+a+a9 9+a+a12 12+a +a15 15=20 =20， 可得可得a a1 1+a+a20 20=10. =10. 解：解：a a3 3+a+a11 11 =a =a6 6+a+a8 8 =2a =2a7 7 ，又 又a a3 3+a+a11
13、 11=10 =10， 所以所以 a a6 6+a+a7 7+a+a8 8= = （a a3 3+a+a11 11） ）=15.=15. 3 2 熟记性质熟记性质 （20132013上海高考）在等差数列上海高考）在等差数列 中，若中，若 n a a a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4=30=30，则，则a a2 2+ a+ a3 3= = . . 【解析解析】 12342323 2()3015.aaaaaaaa 答案：答案：1515 【变式练习变式练习】 1 1在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1+a+a9 91010，则，则a a5 5的值为的值为
14、( ( ) ) A.5 B.6A.5 B.6 C.8 D.10C.8 D.10 【解析解析】aa1 1a a9 92a2a5 5， a a5 55.5. A 2 2等差数列等差数列 a an n 中，中，a a4 4a a5 51515，a a7 71212，则，则 a a2 2( ( ) ) A A3 3 B B3 3 C.C.3 3 2 2 D D3 3 2 2 A A 【解析解析】由题意知由题意知a a4 4+a+a5 5=a=a2 2+a+a7 7 aa2 2=15=15- -12=312=3，故选，故选A.A. 3.3.等差数列等差数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a a-
15、 -6 6，2a2a- -5 5，- -3a+23a+2， 则则 a a等于（等于（ ) ) A. A. - -1 B. 1 C.1 B. 1 C.- -2 D. 22 D. 2 B B 2(2a2(2a- -5)=(5)=(- -3a+2) +(a3a+2) +(a- -6).6). 提示提示: : 4 4 （20142014辽宁辽宁高考高考）设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d. . 若数列若数列 1 n a a 2 为递减数列，则为递减数列，则( ( ) ) A Ad d0 Ca a1 1d d0 C C 5 5. .（20152015广东高考广东高考）在等差数列在
16、等差数列 n a 中，若中，若 34567 25aaaaa ，则，则 28 aa = = . . 【解析】【解析】因为因为 n a 是等差数列，是等差数列， 所以所以3746285 2aaaaaaa ， 345675 525aaaaaa 即即5 5a ， 所以所以285 210aaa . . 答案：答案：1010 6 6. .（20152015陕西高考陕西高考）中位数中位数 10101010 的一组数构成等的一组数构成等 差数列，其末项为差数列，其末项为 20152015，则该数列的首项，则该数列的首项 为为 【解析】设数列的首项为【解析】设数列的首项为1 a ， 则则1 20152 1010
17、2020a ，所以，所以1 5a ， 故该数列的首项为故该数列的首项为 5 5 答案：答案：5 5 （一）等差数列的基本性质（一）等差数列的基本性质 1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q，则，则 a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.(m,n,p,qN.(m,n,p,qN* *) ) 2.2.等差中项：如果等差中项：如果a a，A A，b b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做 a a与与b b的等差中项的等差中项. . 3.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列. . 4.4
18、.两个等差数列两个等差数列aan n,b,bn n 的和、差还是等差数列的和、差还是等差数列, ,即即 aan nb bn n 也是等差数列，也是等差数列，papan n 、aan n+c+c也是等差数列也是等差数列. . （二）等差数列的证明（二）等差数列的证明 1.1.利用定义利用定义; ; 2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ; 3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. . (三三)等差数列的公差与增减性的关系等差数列的公差与增减性的关系 公差公差d d 数列数列aan n 为递增数列为递增数列 数列数列aan n 的增减性的增减性 例子例子 d0d
19、0 d=0d=0 数列数列aan n 为常数列为常数列 数列数列aan n 为递减数列为递减数列 1,2,3,4,n1,2,3,4,n 1 1，1 1，1 1，1 1 3 3，2 2，1 1，0 0， - -1 1，4 4- -n n d0d0 （四）（四）等差数列与一次函数的关系等差数列与一次函数的关系 a an n=kn+b(nN=kn+b(nN* *) ) 等差数列等差数列 一次函数一次函数 解析式解析式 不同点不同点 定义域为定义域为N N* *，图象是均匀排，图象是均匀排 开的一系列孤立的点开的一系列孤立的点. . 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关 于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本 的数列或函数的解析式的数列或函数的解析式. . f(x)=kx+b(k0)f(x)=kx+b(k0) 定义域为定义域为R R，图象，图象 为一条直线为一条直线. . 相同点相同点 自以为聪明的人往往是没有好下场的。世 界上最聪明的人是最老实的人，因为只有老实 人才能经得起事实和历史的考验。 周恩来
