1、第2课时 等差数列的性质 1.1.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题. . 2.2.能用等差数列的知识解决一些应用问题能用等差数列的知识解决一些应用问题. . 等差数列的性质等差数列的性质 aan n 是公差为是公差为d d的等差数列，的等差数列， 若正整数若正整数m m，n n，p p，q q满足满足m+n=p+qm+n=p+q，则：，则：a am m+a+an n=_.=_. a ap p+a+aq q 1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a7 7+a+a9 9=16=16，a a8 8等于等于( ( ) ) A.8
2、A.8 B.16B.16 C.24C.24 D.32D.32 【解析解析】选选A.A.因为因为a a7 7+a+a9 9=2a=2a8 8=16=16，故，故a a8 8=8.=8. 2.2.数列数列aan n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，则数列，则数列2a2an n 的公差的公差 是是 . . 【解析解析】数列数列2a2an n 的公差是的公差是2d.2d. 答案：答案：2d2d 3.3.数列数列aan n 是等差数列，是等差数列，a a3 3+a+a5 5=a=a2 2+ + =2=2 . . 【解析解析】利用等差数列的性质，因为利用等差数列的性质，因为3+5=2+6=23
3、+5=2+6=24 4，所以，所以 a a3 3+a+a5 5=a=a2 2+a+a6 6=2a=2a4 4. . 答案：答案：a a6 6 a a4 4 一、等差数列的性质一、等差数列的性质 结合等差数列的性质：结合等差数列的性质：m+n=p+qm+n=p+qa am m+a+an n=a=ap p+a+aq q，探究下列问题：，探究下列问题： 探究探究1 1：该性质反过来是否成立？：该性质反过来是否成立？ 提示：提示：不一定，当数列不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非是常数列时，结论不成立；当数列是非 常数列的等差数列时，结论成立常数列的等差数列时，结论成立. . 探究探究2
4、2：特别地，若：特别地，若m+n=2p(mm+n=2p(m，n n，pNpN* *) )，那么，那么a am m+a+an n=2a=2ap p是否是否 成立？若成立？若m+n+p=q+r+s(mm+n+p=q+r+s(m，n n，p p，q q，r r，sNsN* *) )，是否有，是否有 a am m+a+an n+a+ap p=a=aq q+a+ar r+a+as s成立？成立？ 提示：提示：成立成立. .因为当因为当m+n=2pm+n=2p时，时，a am m+a+an n=a=a1 1+(m+(m- -1)d+a1)d+a1 1+(n+(n- -1)d 1)d =2a=2a1 1+(
5、m+n+(m+n- -2)d=2a2)d=2a1 1+2(p+2(p- -1)d=2a1)d=2ap p， 同理可以证明若同理可以证明若m+n+p=q+r+s(mm+n+p=q+r+s(m，n n，p p，q q，r r，sNsN* *) )，有，有 a am m+a+an n+a+ap p=a=aq q+a+ar r+a+as s成立成立. . 【探究总结探究总结】等差数列的常用性质等差数列的常用性质 (1)(1)在有穷等差数列中，与首末两项在有穷等差数列中，与首末两项“等距离等距离”的两项之和相的两项之和相 等，且等于首末两项之和，即等，且等于首末两项之和，即a a1 1+a+an n=a
6、=a2 2+a+an n- -1 1= =a=ak k+a+an n- -k+1 k+1. . (2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中，公差中，公差d d对任意的对任意的m m，nNnN* *且且mnmn，都有，都有 d= d= (3)a(3)an n ，bbn n 均为等差数列，则均为等差数列，则aan nb bn n 也为等差数列也为等差数列. . (4)(4)若若kkn n 为等差数列，为等差数列，k kn nNN* *，aan n 为等差数列，则为等差数列，则 也也 为等差数列为等差数列. . mn aa . mn n k a 二、等差数列与一次函数二、等差数列与一次函数 根据
7、等差数列的通项公式根据等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d，思考下面问题：，思考下面问题： 探究探究1 1：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？ 提示：提示：能能.a.an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=dn+(a1)d=dn+(a1 1- -d)d)，令，令d=a(ad=a(a为常数为常数) )， a a1 1- -d =b(bd =b(b为常数为常数) )，则等差数列的通项公式化为一次函数，则等差数列的通项公式化为一次函数 a an n=an+b(nN=an+b(nN* *).). 探究探究2 2：
8、若数列的通项公式：若数列的通项公式a an n是是n n的一次函数，那么数列的一次函数，那么数列aan n 是是 等差数列吗？等差数列吗？ 提示：提示：是是. .设设a an n=an+b(a=an+b(a，b b为常数为常数) )，则，则a an+1 n+1=a(n+1)+b =a(n+1)+b，则，则a an+1 n+1- - a an n=a(n+1)+b=a(n+1)+b- -anan- -b=a(b=a(常数常数) )，故数列，故数列aan n 是等差数列是等差数列. . 【探究总结探究总结】等差数列的函数性质等差数列的函数性质 (1)(1)当公差当公差d0d0时，等差数列时，等差数
9、列aan n 的通项公式：的通项公式：a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d =pn+q(=pn+q(其中其中p=d)p=d)是关于是关于n n的一次函数，表示数列的各点的一次函数，表示数列的各点(n(n，a an n) ) 在一次函数在一次函数y=px+qy=px+q的图象上，且该直线的斜率为公差的图象上，且该直线的斜率为公差d.d. (2)(2)从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的 点，且斜率点，且斜率 (3)(3)等差数列的单调性取决于公差等差数列的单调性取决于公差d d的符号的符号. . n1nm aaaa
10、kd(n1mn). n 1nm ， 【拓展延伸拓展延伸】等差数列与一次函数等差数列与一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的区别与联系的区别与联系 等差数列等差数列 一次函数一次函数 解析式解析式 a an n=an+b(nN=an+b(nN* *) ) y=kx+by=kx+b 不同点不同点 定义域为定义域为N N* *，图象是直线上，图象是直线上 一系列孤立的点一系列孤立的点 定义域为定义域为R R，图象是一，图象是一 条直线条直线 相同点相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变 量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和
11、量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和 函数函数 类型一类型一 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 满足满足a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a101 101=0 =0，则有，则有( ( ) ) A.aA.a1 1+a+a101 1010 0 B.aB.a2 2+a+a101 1010的等差数列的等差数列aan n 的四个说法：的四个说法： p p1 1：数列：数列aan n 是递增数列；是递增数列；p p2 2：数列：数列nanan n 是递增数列；是递增数列；p p3 3：数：数 列列 是递增数列；是递增数列；p p4 4
12、：数列：数列aan n+3nd+3nd是递增数列，其中正确是递增数列，其中正确 的为的为( ( ) ) A.pA.p1 1，p p2 2 B.pB.p3 3，p p4 4 C.pC.p2 2，p p3 3 D.pD.p1 1，p p4 4 n a n 【解题指南解题指南】1.1.本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象 求解求解. . 2.2.借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列. . 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.不妨设不妨设p0，知数列，知数列aan n 是递增是递增 数列，正确数列，正确.
13、. p p2 2：数列：数列nanan n 是递增数列，由是递增数列，由(n+1)a(n+1)an+1 n+1- -na nan n =(n+1)(a=(n+1)(a1 1+nd)+nd)- -nana1 1+(n+(n- -1)d1)d =a=a1 1+2nd+2nd，仅有，仅有d0d0是无法判断是无法判断a a1 1+2nd+2nd的正负的，因而不能判定的正负的，因而不能判定 (n+1)a(n+1)an+1 n+1， ，nanan n的大小，错误的大小，错误. . p p3 3：数列：数列 是递增数列，显然，当是递增数列，显然，当a an n=n=n时，时， =1=1，数列，数列 是常数列
14、，不是递增数列，错误是常数列，不是递增数列，错误. . p p4 4：数列：数列aan n+3nd+3nd是递增数列，数列的第是递增数列，数列的第n+1n+1项减去数列的第项减去数列的第n n 项项 aan+1 n+1+3(n+1)d +3(n+1)d- -(a(an n+3nd)+3nd) =(a=(an+1 n+1- -a an n)+3(n+1)d )+3(n+1)d- -3nd3nd =d+3d=4d0.=d+3d=4d0. 所以所以a an+1 n+1+3(n+1)da +3(n+1)dan n+3nd+3nd，即数列，即数列aan n+3nd+3nd是递增数列，正确是递增数列，正确
15、. . n a n n a n n a n 【规律总结规律总结】等差数列函数特性应用的关注点等差数列函数特性应用的关注点 (1)(1)把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部 分元素可求其他元素分元素可求其他元素. . (2)(2)利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质. . 【变式训练变式训练】已知：等差数列已知：等差数列aan n 满足满足a an n+2a+2an+1 n+1+a +an+2 n+2=4 =4，则该，则该 数列为数列为( ( ) ) A.A.递增数列递增数列
16、B.B.递减数列递减数列 C.C.常数列常数列 D.D.不能确定不能确定 【解析解析】选选C.C.由由n+n+2=2(n+1)n+n+2=2(n+1)， 得得a an n+a+an+2 n+2=2a =2an+1 n+1，即 ，即a an+1 n+1=1 =1， 所以等差数列所以等差数列aan n 为常数列为常数列. . 类型三类型三 等差数列的实际应用等差数列的实际应用 1.1.九章算术九章算术“竹九节竹九节”问题：现有一根问题：现有一根9 9节的竹子，自上节的竹子，自上 而下各节的容积成等差数列，上面而下各节的容积成等差数列，上面4 4节的容积共为节的容积共为3 3升，下面升，下面3 3
17、节的容积共为节的容积共为4 4升，则第升，则第5 5节的容积为节的容积为 升升. . 2.2.甲、乙两人连续甲、乙两人连续6 6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供 的两个不同的信息表如图所示：的两个不同的信息表如图所示： 甲调查表明：从第甲调查表明：从第1 1年平均每个养鸡场生产年平均每个养鸡场生产1 1万只鸡上升到第万只鸡上升到第6 6 年平均每个养鸡场生产年平均每个养鸡场生产2 2万只鸡万只鸡. . 乙调查表明：由第乙调查表明：由第1 1年养鸡场个数年养鸡场个数3030个减少到第个减少到第6 6年年1010个个. .请你请你 根据提供的信息：根据提供的
18、信息： (1)(1)求第求第2 2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数. . (2)(2)到第到第6 6年这个县的养鸡业规模比第年这个县的养鸡业规模比第1 1年是扩大了还是缩小了？年是扩大了还是缩小了？ 请说明理由请说明理由. . 【解题指南解题指南】1.1.设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则 该数列的前该数列的前4 4项和为项和为3 3，后，后3 3项和为项和为4 4，而所求结果为第，而所求结果为第5 5项项. . 2.2.由图象可知养鸡数和养鸡场数目皆构成等差数列，所给的即由图象可知养鸡数和养鸡场数目皆构成等差数
19、列，所给的即 数列的两项，可求数列的通项公式，根据通项公式来解题数列的两项，可求数列的通项公式，根据通项公式来解题. . 【自主解答自主解答】1.1.设自上而下各节的容积构成的等差数列为设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4，a a5 5，a a6 6，a a7 7，a a8 8，a a9 9. . 则则 解得解得 故故a a5 5=a=a1 1+4d= .+4d= . 答案：答案： 12341 7891 aaaa4a6d3 aaa3a21d4. ， 1 13 a 22 7 d 66 ， ， 67 66 67 66 2.(1)2.(1)设第
20、设第n n年每个养鸡场饲养鸡年每个养鸡场饲养鸡a an n万只，养鸡场为万只，养鸡场为b bn n个，由图个，由图 知知aan n ，bbn n 均为等差数列且均为等差数列且1n61n6， a a1 1=1=1，a a6 6=2=2，所以，所以a an n=0.2n+0.8=0.2n+0.8， b b1 1=30=30，b b6 6=10=10，所以，所以b bn n= =- -4n+344n+34， 所以所以a a2 2=0.2=0.22+0.8=1.22+0.8=1.2， b b2 2= =- -4 42+34=262+34=26，a a2 2b b2 2=1.2=1.226=31.2(2
21、6=31.2(万只万只).). 所以第所以第2 2年有养鸡场年有养鸡场2626个，全县出产鸡个，全县出产鸡31.231.2万只万只. . (2)a(2)a1 1b b1 1=1=130=30(30=30(万只万只) )，a a6 6b b6 6=2=210=20(10=20(万只万只).). 因为因为a a6 6b b6 6aa1 1b b1 1，所以第，所以第6 6年养鸡业规模比第年养鸡业规模比第1 1年缩小了年缩小了. . 【延伸探究延伸探究】其他条件不变，求其他条件不变，求“哪一年的规模最大？并说明哪一年的规模最大？并说明 理由理由. .” 【解析解析】由题由题2 2解析知每年出产鸡的只
22、数为解析知每年出产鸡的只数为 y=ay=an nb bn n=(0.2n+0.8)(=(0.2n+0.8)(- -4n+34)4n+34) = = ( (- -2n2n2 2+9n+68)+9n+68) = = 所以当所以当n=2n=2时，时，y y有最大值有最大值. .即第即第2 2年规模最大，共生产鸡年规模最大，共生产鸡 31.231.2万只万只. . 2 5 2 49125 (n)(1n6) 544 ， 【规律总结规律总结】利用等差数列解决实际问题的注意点利用等差数列解决实际问题的注意点 (1)(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列
23、模型. . (2)(2)公差不为公差不为0 0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤 立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列，立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列， 利用等差数列的性质解题利用等差数列的性质解题. . 【变式训练变式训练】在通常情况下，从地面到在通常情况下，从地面到10km10km高空，高度每增加高空，高度每增加 1km1km，气温就下降某一个固定数值，气温就下降某一个固定数值. .如果如果1km1km高度的气温是高度的气温是8.58.5， 5km5km高度的气温是高度的气温是- -17.517.5，求，求2km2km，4km4km，8km8km高度的气温高度的气温. . 【解析解析】用用aan n 表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则 a a1 1=8.5=8.5，a a5 5= =- -17.517.5，由，由a a5 5=a=a1 1+4d=8.5+4d=+4d=8.5+4d=- -17.517.5， 解得解得d=d=- -6.56.5，所以，所以a an n=15=15- -6.5n.6.5n. 所以所以a a2 2=2=2，a a4 4= =- -1111，a a8 8= =- -37.37.
