1、第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域 1.1.在上一节“新课导入”中，若最后加入“那么在上一节“新课导入”中，若最后加入“那么 信贷部应该如何分配资金呢？”信贷部应该如何分配资金呢？” 应该用什么不等式模型来刻画呢？应该用什么不等式模型来刻画呢？ 2.2.通过上一课的学习，我们通过上一课的学习，我们 知道知道xy6 6表示直线表示直线xy 6 6左上方的平面区域左上方的平面区域. . x o o :6l xy - -6 6 6 6 y 那么二元一次不等式组那么二元一次不等式组 6, 4. xy xy 表示怎样的几何意义呢？表示怎样的几何意义呢？ 1.1.理解二元一次不等式组的定义和几何意义
2、理解二元一次不等式组的定义和几何意义. . 2.2.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式组能正确地使用平面区域表示二元一次不等式组. . （重点）（重点） 3.3.二元一次不等式组与平面区域的应用二元一次不等式组与平面区域的应用. .( (难点）难点） 设用于企业贷款的资金为设用于企业贷款的资金为x x元，用于个人元，用于个人 贷款的资金为贷款的资金为y y元元. .由资金总数为由资金总数为25 000 00025 000 000元，元， 得到得到 x+yx+y25 000 000.25 000 000. 由于预计企业贷款创收由于预计企业贷款创收1212，个人贷款，个人贷款 创收创收1010
3、，共创收，共创收30 00030 000元以上，所以元以上，所以 0000 0000 (12)x+(10)y(12)x+(10)y30 000,30 000, 探究点探究点1 1 二元一次不等式组的有关概念二元一次不等式组的有关概念 即即 12x+10y12x+10y3 000 000.3 000 000. 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数 额都不能是负值，所以额都不能是负值，所以 x x0,y0,y0.0. 将合在一起，得到分配资金应该满足的条件：将合在一起，得到分配资金应该满足的条件： 25000000, 12103000000, 0, 0.
4、 xy xy x y 2.2.二元一次不等式组的解集：二元一次不等式组的解集： 满足二元一次不等式组的满足二元一次不等式组的x和和y的取值构成有的取值构成有 序数对序数对(x,y),所有这样的有序数对所有这样的有序数对(x,y)构成的集合构成的集合 称为称为二元一次不等式组的解集二元一次不等式组的解集. . 1.1.二元一次不等式组：二元一次不等式组： 像上面，由几个二元一次不等式组成的不等式组像上面，由几个二元一次不等式组成的不等式组. . 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标. . 于是，二元一次不等式组的解集就可以看成直角于是，二元一次不等式组的解
5、集就可以看成直角 坐标系内的点构成的集合坐标系内的点构成的集合. . 12 , 1, 3 (0, 2),(0,0), 不不等等式式组组表表示示的的平平面面区区域域为为 点点点点则则（） yx xyD y PP 1212 1212 A.,B., C.,D., PD PDPD PD PD PDPD PD C C 【即时练习即时练习】 表示直线表示直线 及直线右上方的平面区及直线右上方的平面区 域域. . 4xy =4xy =4xy x O O :6l xy - -6 6 y 4 4 6 6 4 4 二二元元一一次次不不等等式式组组 表表示示两两个个平平面面区区域域的的公公共共部部分分. . 6,
6、4 xy xy 探究点探究点2 2 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 画二元一次不等式组表示的平面区域时，首画二元一次不等式组表示的平面区域时，首 先画出各条直线，注意虚实；然后取点确定各不先画出各条直线，注意虚实；然后取点确定各不 等式表示的区域；最后再确定各不等式表示平面等式表示的区域；最后再确定各不等式表示平面 区域的公共部分区域的公共部分. .简单地说：“一画线，二定侧，简单地说：“一画线，二定侧， 三求交”三求交”. . 【提升总结提升总结】 解解: :不等式不等式 表示直线表示直线 下方的区域；下方的区域； 例例1 1 用平面区域表示不等式组用平面区域表
7、示不等式组 的的 解集解集. . 312, 2 yx xy 1 2 yx 312yx 4 8 4 8 12 y o x 312yx 312yx 不等式不等式 表示直线表示直线 上方的区域；上方的区域； 2xy 1 2 yx 取两区域重叠的部分，图中取两区域重叠的部分，图中 阴影部分就表示原不等式组阴影部分就表示原不等式组 的解集的解集. 不不等等式式表表示示直直线线 的的平平面面区区域域； 不不等等式式表表示示直直线线 的的 上上 平平面面区区域域. . 方方 下下方方 ykxbykxb ykxbykxb 直线直线 把平面分成两个区域：把平面分成两个区域： ykxb 【提升总结提升总结】 画出
8、不等式组表示的平面区域。画出不等式组表示的平面区域。 由于所求平面区域的点由于所求平面区域的点 的坐标需同时满足三个的坐标需同时满足三个 不等式，因此二元一次不等式，因此二元一次 不等式组表示的区域是不等式组表示的区域是 各个不等式表示的区域各个不等式表示的区域 的的交集交集，即，即公共部分公共部分。 分析分析： x x- -y+y+5 50 0 x+yx+y0 0 x x3 3 x x o o y y 4 4 - -5 5 5 5 x x- -y+5=0y+5=0 x+y=0x+y=0 x=3 x=3 【变式练习变式练习】 画二元一次不等式组画二元一次不等式组 表示的平面区域的步表示的平面区
9、域的步 骤：骤： x x o o y y 4 4 - -5 5 5 5 x x- -y+5=0y+5=0 x+y=0x+y=0 x=3 x=3 【提升总结提升总结】 (0,1) (-4,-1) (2,-1) x y 例例2 2 写出表示下面区域的写出表示下面区域的 二元一次不等式组二元一次不等式组 探究点探究点3 3 根据平面区域写出二元一次不等式（组）根据平面区域写出二元一次不等式（组） 解析：边界直线方程为解析：边界直线方程为 x+yx+y- -1=01=0 代入原点（代入原点（0 0，0)0) 得得0+00+0- -1 10 0 即所求不等式为即所求不等式为 x+yx+y- -1010
10、例例2 2 写出表示下面区域的二元一次不等式写出表示下面区域的二元一次不等式 x x y y - -2 2 o o 1 1 1 1 - -1 1 x x- -2y+22y+20 0 yy- -1 1 绿色区域绿色区域 蓝色区域蓝色区域 x x- -2y+22y+20 0 yy- -1 1 x+yx+y- -1010 x+yx+y- -1010 紫色区域紫色区域 黄色区域黄色区域 根据平面区域写出二元一次根据平面区域写出二元一次 不等式（组）的不等式（组）的步骤：步骤： 求边界直线的方程求边界直线的方程 代入区域内的点定号代入区域内的点定号 写出不等式（组）写出不等式（组） 【提升总结提升总结】
11、 写出由三条直线写出由三条直线 及及 所围成的平面区域所表示的不等式组所围成的平面区域所表示的不等式组. . =0xy ，24=0xy 2=0y y o o x 4 - -2 2 y+2=0 2 0xy 240xy 解：解：此平面区域在此平面区域在 的右下方，的右下方， 0xy 0;xy所所以以 【变式练习变式练习】 在在 的左下方，的左下方， 在在 的上方，的上方， 2=0y 20;y所所以以 240xy 240.xy所所以以 则用不等式组可表示为则用不等式组可表示为: : 0, 240, 20. xy xy y 表表示示直直线线 的的平平面面区区域域； 表表示示直直线线 的的 右右方方 平
12、平面面左左区区域域. .方方 0()0 0()00 0AxByCAxByC AxByCAxBy A AC 直线直线 把平面分成两个区域：把平面分成两个区域： 0(0)AxByCA 【提升总结提升总结】 例例3 3 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A,B,CA,B,C三种规格三种规格, , 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下 表所示表所示: : 今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，块， 用数学关系式和图形表示上述要求用数学关系式和图形表示上述要求 A A规
13、格规格 B B规格规格 C C规格规格 第一种钢板第一种钢板 第二种钢板第二种钢板 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 规格类型规格类型 钢板类型钢板类型 探究点探究点4 4 二元一次不等式组表示的平面区域的简单二元一次不等式组表示的平面区域的简单 应用应用 分析：列表分析：列表 A A规格规格 B B规格规格 C C规格规格 第一种钢板第一种钢板 第二种钢板第二种钢板 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 张数张数 成品块数成品块数 x y 2xy2xy3xy 钢板类型钢板类型 规格类型规格类型 215 218 327 0 0 xy, xy, xy, x, y. 解：解
14、：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，则张，则 用图形表示以上用图形表示以上 限制条件限制条件, ,得到的得到的 平面区域如阴影平面区域如阴影 部分所示部分所示. . y x O 4 8 12 16 20 4 4 8 8 1212 1616 24 28 327xy 218xy 215xy M M 用平面区域表示实际问题的相关量的取值范用平面区域表示实际问题的相关量的取值范 围的基本方法：围的基本方法： 先根据问题的需要选取起关键作用的关联较先根据问题的需要选取起关键作用的关联较 多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用多的量用字母表示，进而把问题中所有
15、的量都用 这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限 制条件写出所有不等式，再把由这些不等式所组制条件写出所有不等式，再把由这些不等式所组 成的不等式组用平面区域表示出来即可成的不等式组用平面区域表示出来即可. . 【提升总结提升总结】 投资生产投资生产A A产品时，每生产产品时，每生产100100吨需要资金吨需要资金200200万万 元，需场地元，需场地200200平方米；投资生产平方米；投资生产B B产品时，每生产产品时，每生产 100100米需要资金米需要资金300300万元，需场地万元，需场地100100平方米现某单平方米现某单 位可使用资金位
16、可使用资金1 4001 400万元，场地万元，场地900900平方米，用数学平方米，用数学 关系式和图形表示上述要求关系式和图形表示上述要求 【变式练习变式练习】 分析：分析：先将已知数据列成表，如下所示：先将已知数据列成表，如下所示： 然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即 可可 消耗量消耗量 产品产品 资金资金( (百万元百万元) ) 场地场地( (百平方米百平方米) ) A A产品产品( (百吨百吨) ) 2 2 2 2 B B产品产品( (百米百米) ) 3 3 1 1 解析：解析：设生产设生产 A 产品产品 x 百吨，生产百吨，生
17、产 B 产品产品 y 百米，百米， 则则 2x3y14 2xy9 x0 y0 . 用图形表示以上限制条件，用图形表示以上限制条件， 得其表示的平面区域得其表示的平面区域 如图所示如图所示(阴影部分阴影部分) 例例4 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t4 t、硝酸盐、硝酸盐 18 t18 t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸 盐盐1 t1 t、硝酸盐、硝酸盐15 t15 t现库存磷酸盐现库存磷酸盐10 t10 t、硝酸盐、硝酸盐
18、66 t66 t，在此基础上生产这两种混合肥料，在此基础上生产这两种混合肥料. .列出满足列出满足 生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域 分析：列表分析：列表 4 4 1818 1 1 1515 甲种肥料甲种肥料 乙种肥料乙种肥料 磷酸盐磷酸盐t t 硝酸盐硝酸盐t t 总吨数总吨数 车皮数车皮数 4xy1815xy x y 解：解：设设x ，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥分别为计划生产甲、乙两种混合肥 料的车皮数，于是满足以下条件：料的车皮数，于是满足以下条件： 410 181566 0 0. ， ， ， xy xy x y 用图形表示以用图
19、形表示以 上限制条件上限制条件, ,得到的得到的 平面区域如阴影部平面区域如阴影部 分所示分所示. . y x O 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 4=10xy 1815 =66xy （0,4.40,4.4） 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种 产品产品1 t需耗需耗A种矿石种矿石10 t，B种矿石种矿石5 t，煤，煤4 t； 生产乙种产品生产乙种产品1 t需耗需耗A种矿石种矿石4 t，B种矿石种矿石4 t， 煤煤9 t工厂在生产这两种产品的计划中要求消工厂在生产这两种产品的计划中要求消 耗耗A种矿石不超过种矿石不超过300 t，B种矿石不超
20、过种矿石不超过200 t， 煤不超过煤不超过360 t，请列出满足生产条件的数学关，请列出满足生产条件的数学关 系式，并画出相应的平面区域系式，并画出相应的平面区域 【变式练习变式练习】 解解：设生产甲产品设生产甲产品 x t、乙产品、乙产品 y t，则，则 10x4y300， 5x4y200， 4x9y360， x0，y0， 生产甲、乙两种产品的取值范围生产甲、乙两种产品的取值范围 如图如图(阴影部分阴影部分)所示所示 1.若不等式组若不等式组 5 02 ， ， xy ya x 表示的表示的平面平面区域是一个三角区域是一个三角 形，则形，则a的取值范围是（的取值范围是（ ） 5a 7a 57
21、a 5a或或7a C C 2. y yx-1x-1， 在在坐坐标标平平面面上上，不不等等式式组组 y y-3|x|+1-3|x|+1 所所表表示示的的平平面面区区域域的的面面积积为为（ ） 3 3 A. 2 B.A. 2 B. 2 2 3 23 2 C. D.2C. D.2 2 2 B B 3.画出不等式组画出不等式组 x3， 2yx， 3x2y6， 3yx9 表示的平面区域表示的平面区域 解：解：不等式不等式x3表示直线表示直线x3左侧点的集合左侧点的集合 不等式不等式2yx，即即x2y0表示直线表示直线x2y0上及左上上及左上 方点的集合方点的集合 不等式不等式3x2y6，即即3x2y60
22、表示直线表示直线3x2y6 0上及右上方点的集合上及右上方点的集合 不等式不等式3y0 表示直线表示直线x3y90 右下方点的集合右下方点的集合 综上可得：不等式组表示的综上可得：不等式组表示的 平面区域是如图所示阴影部分平面区域是如图所示阴影部分 4.4.画出不等式组画出不等式组 50, 0, 3 xy xy x 表示的平面区域，表示的平面区域， 并求其面积并求其面积. . 解：解：不等式组表示的平面区域如图所示，不等式组表示的平面区域如图所示， x y O 50xy 0xy 3x 构成的平面区域为三角构成的平面区域为三角 形，记作形，记作 .ABC A B C 0, 3 xy x 得得 (
23、33),B 点， 50, 0 xy xy 由由 得得 55 (), 22 A 点， 50, 3 xy x 得得 (3 8).C点， |8( 3)| 11BC 所所以以， 点点A到直线到直线BC的距离的距离 511 |3()|. 22 d 111121 11. 224 ABC S 所所以以 x y O 50xy 0xy 3x A B C 由由 由由 5.（2015重庆重庆高考高考）若不等式组若不等式组 20, 220, 20 xy xy xym 表示的平面区域为三角形，且其面积表示的平面区域为三角形，且其面积 等于等于 4 3 ，则，则 m 的值为（的值为（ ） A.-3 B. 1 C. 4 3
24、 D.3 B B 【解析】如图，由于不等式组【解析】如图，由于不等式组 20 220 20 xy xy xym , 表示的平面区域为表示的平面区域为 ABC ， 且其面积等于且其面积等于 4 3 ， 再注意到直线再注意到直线 :20AB xy 与直线与直线 :20BC xym 互相垂直，互相垂直， 所以所以 ABC 是直角三角形，是直角三角形， 易知，易知， (2,0),(1,1)ABmm , 2422 (,) 33 mm C ; 从而从而 11224 22122, 2233 ABC m Smmm 化简得：化简得： 2 (1)4m ，解得，解得 m=-3,或或 m=1， 检验知当检验知当 m=
25、-3 时，已知不等式组不能表示一个三角形时，已知不等式组不能表示一个三角形 区域，故舍去，所以区域，故舍去，所以 m=1;故选故选 B. 1.1.二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元 一次不等式表示区域的公共部分；一次不等式表示区域的公共部分； 2.2.画不等式组表示平面区域的步骤：画不等式组表示平面区域的步骤： 一画线，二定侧，三求交；一画线，二定侧，三求交； 3.3.用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范 围围. . 真正的真诚必然伴随着平等，平等是友爱的惟 一可靠的基础，而友爱又给平等增添更美丽的 光彩。 葛德文
