1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 【知识提炼知识提炼】 1.1.正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等的比相等. . 即：即： = = =2R.(R= = =2R.(R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) ) 正弦正弦 a sin A b sin B c sin C 2.2.三角形中的元素与解三角形三角形中的元素与解三角形 (1)(1)三角形的元素：指的是三角形的三角形的元素：指的是三角形的_._. (2)(2)解三角形：已知三角形的解三角形：已知三角形的_求求_的的 过程过程. . 三个角及其对边三
2、个角及其对边 几个元素几个元素 其他元素其他元素 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)在在ABCABC中，若已知三个角中，若已知三个角A A，B B，C C，可以解其他元，可以解其他元 素吗？素吗？ 提示：提示：不可以，在不可以，在ABCABC中，必须有“边”的元素加入，中，必须有“边”的元素加入， 否则无法确定三角形的大小否则无法确定三角形的大小. . (2)(2)用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件？用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件？ 提示：提示：需要三个，任意两角及其一边或任意两边与其需要三个，任意两角及其一边或任意两边与其 中一边的对角中一边的对角.
3、 . 2.2.在在ABCABC中，中，a=15a=15，b=10b=10，A=60A=60，则，则sinB=(sinB=( ) ) 【解析解析】选选A.A.由正弦定理由正弦定理 ，知，知sinB=sinB= 3623 A.B.C.D. 3322 ab sin Asin B 3 10 bsin A3 2 . a153 3.3.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别是所对的边分别是a a，b b，c c，若，若 A=105A=105，B=45B=45，b=2 b=2 ，则，则c=(c=( ) ) 【解析解析】选选D.D.因为因为A+B+C=180A+B+C=180，所以，所
4、以C=30C=30，由正，由正 弦定理弦定理 ，故，故 2 A.B.1C. 2D.2 2 bc sin Bsin C 1 2 2 bsin C 2 c2. sin B2 2 2 4.4.在在ABCABC中，若中，若B=30B=30，b=2b=2，则，则 =_.=_. 【解析解析】 答案：答案：4 4 a sin A ab2 4. sin Asin Bsin 30 5.5.在在ABCABC中，若中，若 a=2bsinAa=2bsinA，则，则B=_.B=_. 【解析解析】由正弦定理得由正弦定理得 sinA=2sinBsinA=2sinBsinAsinA，因为，因为 sinA0sinA0，所以，所
5、以sinB= .sinB= . 又又0 0a可得可得A A为锐角，由正弦定理求出为锐角，由正弦定理求出sinAsinA，从，从 而求出角而求出角A A，再由内角和定理求出角，再由内角和定理求出角B B，由正弦定理求，由正弦定理求 得得b.b. 【解析解析】1.1.在在ABCABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得sinB=sinB= 因为因为abab，所以，所以ABAB，所以，所以B=B= 所以所以C=C= 答案：答案： sin A b a 3 3 1 2 . 32 6 ， . 362 2 2.2.因为因为 ，所以，所以sinA=sinA= 因为因为caca，所以，所以CA.CA.所以所以A=
6、.A= . 所以所以 ac sin Asin C asin C2 . c2 4 5 6 sin 5csin B 12 Bb3 1. 12sin C sin 3 ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若把典例若把典例2 2中中C= C= 改为改为A= A= ，其他条件不，其他条件不 变，求变，求C C，B B，b.b. 3 4 【解析解析】因为因为 所以本题有两解所以本题有两解. . 因为因为 ，所以，所以sinC=sinC= 所以所以C= C= 或或 . . 当当C= C= 时，时，B= B= ，b=b= 当当C= C= 时，时，B= B= ，b=b= 6sin26 4
7、， ac sin Asin C csin A3 . a2 3 2 3 3 2 3 5 12 12 asin B 3 1. sin A asin B 3 1. sin A 2.(2.(变换条件变换条件) )若把典例若把典例2 2中中a=2a=2改为改为B= B= ，求，求A A，a a，b b的的 值值. . 【解析解析】由三角形内角和定理知由三角形内角和定理知A=A= 又由正弦定理又由正弦定理 ，得，得 又由又由 ，得，得 4 5 . 3412 cb sin Csin B 6 sin csin B 4 b2. sin C sin 3 ac sin Asin C 5 6 sin csin A 1
8、2 a3 1. sin C sin 3 【方法技巧方法技巧】 1.1.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方 法法 (1)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. . (2)(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边 对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为 锐角，由正弦值可求锐角唯一锐角，由正弦值可求锐角唯一. . (3)(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一如果已知的角为小边所对的角时，
9、则不能判断另一 边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分 类讨论类讨论. . 2.2.已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方 法法 (1)(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值 域判断解的个数域判断解的个数. . (2)(2)在在ABCABC中，已知中，已知a a，b b和和A A，以点，以点C C为圆心，以边长为圆心，以边长a a 为半径画弧，此弧与除去顶点为半径画弧，此弧与除去顶点A A的射线的射线ABAB的公共点的个的公共点的个 数
10、即为三角形的个数，解的个数见下表：数即为三角形的个数，解的个数见下表： A A为钝角为钝角 A A为直角为直角 A A为锐角为锐角 abab 一解一解 一解一解 一解一解 a=ba=b 无解无解 无解无解 一解一解 absinA 两解两解 a=bsinAa=bsinA 一解一解 ab，所以，所以ABAB，B B为锐角，为锐角，B=30B=30. . C=180C=180- -(A+B)=105(A+B)=105. . 由正弦定理由正弦定理 , ,得得 2 ab sin Asin B 2 1 bsin A1 2 sinB. a22 ac sin Asin C asin C2 sin 10562
11、c. sin Asin 452 类型三类型三 判断三角形形状判断三角形形状 【典例典例】1.1.已知已知a a，b b，c c分别是分别是ABCABC三个内角三个内角A A，B B，C C 的对边，且的对边，且acosA=bcosBacosA=bcosB，则，则ABCABC一定是一定是( ( ) ) A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.等边三角形等边三角形 D.D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 2.2.在在ABCABC中，若中，若sinA=2sinBcosCsinA=2sinBcosC，且，且sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+ B+
12、 sinsin2 2C C，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. . 【解题探究解题探究】1.1.在典例在典例1 1的的ABCABC中，由中，由acosA=bcosBacosA=bcosB能能 得出什么结论？得出什么结论？ 提示：提示：结合正弦定理，由结合正弦定理，由acosA=bcosBacosA=bcosB得出得出sinAcosA= sinAcosA= sinBcosB.sinBcosB. 2.2.在典例在典例2 2的的ABCABC中，由中，由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C，能得出，能得出 什么结论？什么结论？ 提示：提示：结合正弦定理，由
13、结合正弦定理，由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C得出得出 a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . 【解析解析】1.1.选选D.D.由正弦定理，已知条件可以变形为由正弦定理，已知条件可以变形为 sinAcosA=sinBcosBsinAcosA=sinBcosB，所以，所以sin2A=sin2Bsin2A=sin2B，故，故2A=2B2A=2B或或 2A+2B=2A+2B= ，即，即A=BA=B或或A+B= A+B= ，ABCABC为等腰三角形或直为等腰三角形或直 角三角形角三角形. . 2 2.2.方法一：设方法一：设 则则a=ksinAa=
14、ksinA，b=ksinBb=ksinB，c=ksinCc=ksinC 因为因为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C.C. 所以所以(ksinA)(ksinA)2 2=(ksinB)=(ksinB)2 2+(ksinC)+(ksinC)2 2. . 所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . abc k sin Asin Bsin C ， 所以所以A=90A=90，B+C=90B+C=90. . 由由sinA=2sinBcosCsinA=2sinBcosC，得，得sin90sin90=2sinBcos(90=2sinBcos(90- -B)B)，
15、 所以所以sinsin2 2B= .B= . 因为因为B B是锐角，所以是锐角，所以sinB= sinB= ，所以，所以B=45B=45，C=45C=45. . 所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 1 2 2 2 方法二：同方法一，求得方法二：同方法一，求得A=90A=90. . 因为因为A=A=- -(B+C)(B+C)，sinA=2sinBcosCsinA=2sinBcosC， 所以所以sin(B+C)=2sinBcosC.sin(B+C)=2sinBcosC. 所以所以sinBcosCsinBcosC- -cosBsinC=0cosBsinC=0，即，即sin(B
16、sin(B- -C)=0.C)=0. 所以所以B B- -C=0C=0，即，即B=C.B=C. 所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 【延伸探究延伸探究】若将典例若将典例2 2中条件“中条件“sinA=2sinBcosC”sinA=2sinBcosC”改改 为“为“bsinB=csinC”bsinB=csinC”，其他条件不变，结果如何？，其他条件不变，结果如何？ 【解析解析】由本例解法知由本例解法知A=90A=90， 由由bsinB=csinCbsinB=csinC可得可得sinsin2 2B=sinB=sin2 2C C， 所以所以sinB=sinC.sinB=sin
17、C. 由由A=90A=90知，知，B B、C C均为锐角均为锐角. . 所以所以B=C.B=C. 故故ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形. . 【方法技巧方法技巧】 1.1.判断三角形形状的两种途径判断三角形形状的两种途径 (1)(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形 的形状的形状. . (2)(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从的
18、关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从 而判断出三角形的形状，此时要注意应用而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=A+B+C= 这这 个结论个结论. .在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去 公因式，应移项提取公因式，以免漏解公因式，应移项提取公因式，以免漏解. . 2.2.用正弦定理进行边角互化的两种方法用正弦定理进行边角互化的两种方法 (1)(1)边化角边化角. . 根据根据sinA= sinA= ，sinB= sinB= ，sinC= sinC= 化边为角化边为角( (其中其中R R 为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径).)
19、. (2)(2)角化边角化边. . 根据根据a=2RsinAa=2RsinA，b=2RsinBb=2RsinB，c=2RsinCc=2RsinC化角为边化角为边( (其中其中R R 为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径).). a 2R b 2R c 2R 【变式训练变式训练】ABCABC的内角的内角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a， b b，c c，若，若bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA，则，则ABCABC的形状为的形状为 ( ( ) ) A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形
20、D.D.不确定不确定 【解析解析】选选B.B.依据题设条件的特点，由正弦定理，依据题设条件的特点，由正弦定理， 得得sinBcosC+cosBsinC=sinsinBcosC+cosBsinC=sin2 2A A，有，有sin(B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A A， 从而从而sin(B+C)=sinA=sinsin(B+C)=sinA=sin2 2A A，解得，解得sinA=1sinA=1， 所以所以A= A= ，所以，所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 2 【补偿训练补偿训练】在在ABCABC中，已知中，已知 ，且，且 2sinAsinB=2sin2sinAsin
21、B=2sin2 2C C，试判断其形状，试判断其形状. . basin B asin B sin A 【解析解析】由已知由已知 所以所以b b2 2- -a a2 2=ab=ab 又又2sinAsinB=2sin2sinAsinB=2sin2 2C C，由正弦定理得：，由正弦定理得： 2ab=2c2ab=2c2 2 由得由得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2. . 所以该三角形是以所以该三角形是以B B为直角的直角三角形为直角的直角三角形. . basin Bb asin B sin Ab a ， 易错案例易错案例 利用正弦定理解三角形利用正弦定理解三角形 【典例典例】在在ABCABC中
22、，已知中，已知A=45A=45，a=2a=2，b= b= ，则，则 B=_.B=_. 2 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：错误的根本原因是忽略了题目中的隐含条件错误的根本原因是忽略了题目中的隐含条件abab， 从而从而AB.AB. 【自我矫正自我矫正】因为因为 所以所以sinB=sinB= 因为因为abab，所以，所以ABAB，所以，所以B B为锐角为锐角. .故故B=30B=30. . 答案：答案：3030 ab sin Asin B ， bsin A2sin 451 . a22 【防范措施防范措施】解三角形时的两个关注点解三角形时的两个关注点 (1)(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的 对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而 确定解的情况确定解的情况. . (2)(2)有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失 根问题的出现根问题的出现. .
