1、参数方程 第二讲第二讲 2.4 渐开线与摆线 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 课前教材预案课前教材预案 要点一 渐开线 以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线 的参数方程为 xrcos sin ， yrsin cos ( 为参数) 要点二 摆线 在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点 M 滚动时落在直线上的一个 位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为： xrsi
2、n ， yr1cos ( 为参数) 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 渐开线 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的 步骤 (1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P 的坐标； (2)取定运动中产生的某一角度为参数； (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表 达式； (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程 思维导引：本题考查对渐开线参数方程的理 解 【例题 1】 给出圆的渐开线方程 x3cos 3sin ， y3sin 3cos ( 为参数)根据参数 方程可以看出该渐开线的基圆的半径是_，当参数 取 2时，对应的曲线上点的坐 标是_. 3 3 2 ，3 解析：
3、圆的渐开线的参数方程 xrcos sin ， yrsin cos ( 为参数)，由圆的半径 唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为 3，欲求 2时对应的坐标，只需把 2代入曲线的参数方程可得 x 3 2 ，y3，所以参数 取 2时，对应的曲线上点的坐 标是 3 2 ，3 . 【变式1】 求半径为4的圆的渐开线的参数 方程 解析： 以圆心与原点 O， 绳端点的初始位置为 M0， 向量OM0 的方向为 x 轴正方向， 建立直角坐标系，设渐开线上的任一点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA AM，按渐开线定义，弧AM0 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴正向所夹的角为
4、(以弧度为单位)，则|AM|AM0 4. 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作直线 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得 OA (4cos ，4sin )，由几何知识知MAB， AM (4sin ，4cos )， 得OM OA AM (4cos 4sin ，4sin 4cos) (4(cos sin )，4(sin cos ) 又OM (x，y)， 因此有 x4cos sin ， y4sin cos ， 这就是所求圆的渐开线的参数方程 考点二 摆线 假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线 的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动， 点M就绕圆心B做圆周运动如果点M绕圆心 B转过弧度后，圆与直线
5、相切于点A，那么 线段OA的长度等于弧AM的长，即OAr； 如果点M绕圆心B运动一周后到切点E的位置， 那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓 的“无滑动地滚动”的意义从上述分析可 以看到，在圆沿定直线无滑动的滚动过程中， 圆周上定点M的位置可以由圆心角唯一确定， 因此以为参数是非常自然的 【例题2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)， 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方 程 思维导引：根据摆线的参数方程 xrsin ， yr1cos ( 为参数)，只需把(2,0)代入 参数方程求出 r 的表达式，根据表达式求出 r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线 的参数方程即可 解析：令 y0，可
6、得 r(1cos )0，由于 r0， 所以 cos 1，所以 2k(kZ) 代入 xr(sin )得 xr(2ksin 2k)(kZ) 又因为 x2，解得 r 1 k(kZ) 又由实际意义 r0，所以 r 1 k(kN *)， 所以 k1 时，r 取得最大值为1 .此时摆线的参数方程为 x1 sin ， y1 1cos ( 为参数) 【变式2】 求半径为2的圆的摆线的参数方程 (如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆 滚动时转过的角度(以弧度为单位)为参数) 解析：当圆滚过 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图 所示，ABM. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA
7、 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等 于 2，从而点 B 的坐标为(2，2) 向量 OB (2，2)， 向量 MB (2sin ，2cos )， BM(2sin ，2cos )， 因此OM OB BM(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos ) 动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM (x，y)，所以 x2sin ， y21cos . 这就是所求摆线的参数方程 考点三 渐开线、摆线的综合运用 渐开线和摆线的概念虽有相似之处，但它们 的本质完全不同，渐开线的本质是直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹，摆线的本质是 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周 上一个定点的轨迹，在
8、运用时往往因理解不 透导致判断错误 【例题3】 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动， 开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动 一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求 此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线 的对称轴 思维导引：本题考查摆线的参数方程的求法 及应用解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值 解析：轨迹曲线的参数方程为 x8tsin t y81cos t (0t2) 即 t 时，即 x8 时，y 有最大值 16. 曲线的对称轴为 x8. 【变式3】 如图所示，ABCD是边 长为1 的正方形，曲线AEFGH叫做 “正方
9、形的渐开线”，其中弧AE，EF， FG，GH的圆心依次为B，C，D，A， 则曲线AEFGH的长是( ) A3 B4 C5 D6 解析：根据渐开线的定义可知弧 AE 的长是半径为 1 的圆周长的四分之一，长度 是 2，继续旋转可得弧 EF 的长是半径为 2 的圆周长的四分之一，长度是 ，弧 FG 的 长是半径为 3 的圆周长的四分之一，长度是3 2 ，弧 GH 的长是半径为 4 的圆周长的四 分之一，长度是 2，所以曲线 AEFGH 的长是 5.故选 C C 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
