1、1.1.3 四种命题间的相互关系,1.四种命题的相互关系,p,q,q,p,2.四种命题的真假关系 (1)一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:,真,真,假,真,假,真,假,假,(2)四种命题的真假性之间的关系: 两个命题互为_,它们有相同的真假性. 两个命题为_或_,其真假性没有关系.,逆否命题,互逆命题,互否命题,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( ),【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系. (2)错误.两个命
2、题为互否命题,它们的真假性没有关系,但也可能相同,故此说法错误. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若01,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)命题“若x21,则x1”的否命题是 (填“真”或“假”)命题. (2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”) (3)命题“若ab,则a2b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”).,【解析】(1)由于否命题是“若x2=1,则x=1”,是假命题. 答案:假 (2)由于原命题与其逆否命题等价,故命题p是真命题. 答案:真
3、 (3)逆否命题为:若a2b2,则ab,由于原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题. 答案:若a2b2则ab 假命题,【要点探究】 知识点 四种命题间的关系 对四种命题相互关系的三点认识 (1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.,(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,有两对互逆命题,两对互否命题,两对互为逆否命题.它们分别为: 两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题. 两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题. 两对互逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题. (3)
4、由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化证明其逆否命题.,【知识拓展】等价命题的证法与反证法 在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾,从而得出假设不成立.,【微思考】 (1)在四种命题中,它们的真假性有什么关系? 提示:互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联系. (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同吗? 提示:相同.因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题.,【即
5、时练】 原命题、逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数是_个. 【解析】因为原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,因此真命题的个数为0个或2个或4个. 答案:0或2或4,【题型示范】 类型一 四种命题的相互关系 【典例1】 (1)若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上判断都不对,(2)命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是 ( ) A.若q不正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确 C.若p正确,则q不正确 D.若p正确,则q正确,【解题探究】1.题(1)中命题p的条件与结论与命题r的条件与结论有什么关
6、系? 2.题(2)中原命题的逆命题是什么?逆命题的等价命题是什么? 【探究提示】1.命题p的条件与结论分别是命题r的结论的否定与条件的否定. 2.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”, 逆命题的等价命题是:“若p正确,则q正确”.,【自主解答】(1)选C.因为命题p与q的条件与结论交换,命题q的条件与结论分别是r的条件与结论的否定. 所以p与r的条件与结论既交换又否定,故选C. (2)选D.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”. 因此逆命题的等价命题为“若p正确,则q正确”.,【延伸探究】题(2)中“逆命题的等价命题”若换为“否命题的等价命题”,其结果又如何呢? 【解析】选A.原命
7、题的否命题为“若p正确,则q正确”,其等价命题为“若q不正确,则p不正确”.,【方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法 方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.,【变式训练】(2014陕西高考)原命题为“若 an, nN+,则an为递减数列”,关于逆命题,否命题,逆否命题真 假性的判断依次如下,正确的是 ( ) A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,【解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命题同真
8、假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可. 【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.,【补偿训练】若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是s,则p是s的 命题.,【解析】设命题p“若a,则b”, 因为p的否命题是q, 则q“若不是a,则不是b”, 又因为q的逆命题是s, 则s“若不是b,则不是a”, 显然命题p与s的条件a和结论b交换位置且同时否定,所以互为逆否命题. 答案:逆否,类型二 等价命题的应用 【典例2】 (1)命题:“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2 0的解集为空集,则a2
9、”的逆否命题是 命题(填“真” 或“假”). (2)证明:如果p2+q2=2,则p+q2.,【解题探究】1.题(1)中解集为空集的含义是什么?需要具备哪些条件? 2.题(2)中命题的逆否命题是什么? 【探究提示】1.题(1)中不等式的解集为空集,即此不等式无解,需要相应的2则p2+q22.,【自主解答】(1)先判断原命题的真假. 因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集,所以相 应二次方程的判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70,所以a 2. 所以原命题为真命题. 又因为原命题和它的逆否命题是等价命题. 所以此命题的逆否命题为真命题. 答案:真,(2)该命题的
10、逆否命题为:若p+q2,则p2+q22. p2+q2 (p+q)2. 因为p+q2,所以(p+q)24,所以p2+q22. 即p+q2时,p2+q22成立. 所以如果p2+q2=2,则p+q2成立.,【延伸探究】在题(1)中,写出命题的逆命题,并判断其真假. 【解析】逆命题:已知a,x为实数,若a2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集, 由题(1)可知=4a-7. 所以当 a2时,0,解集不为空集; 当a 时,0,解集为空集. 所以不等式的解集为空集是假命题,故逆命题是假命题.,【方法技巧】“正难则反”的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假
11、时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.,【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题. 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR, 若a+b0, 则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”.,若a+b0, 则a-b,b-a, 又因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(a)f(-b),f(
12、b)f(-a). 所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b), 即逆否命题为真命题. 所以原命题为真命题.,【补偿训练】已知全集U的两个子集A,B,命题“若xA,则xB” 是真命题,则下列结论正确的是( ) A.B A B.( )B=U C.( )A=U D.A( )= 【解析】选C.“若xA,则xB”等价于“若xB,则xA”为真 命题,即BA.故( )A=U.,【规范解答】由等价命题求参数的取值范围 【典例】(12分)(2013临沂高二检测)命题:对任意xR,ax2-2ax-30不成立是真命题,求实数a的取值范围.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升 失
13、分点1:解题时若在处对原命题的等价命题写错,则会导致本例不得分. 失分点2:本例若对不等式考虑不全面,即忽略处对参数a的讨论,漏掉一解,则本例最多得8分. 失分点3:若解题步骤不规范,漏掉处最后的归纳,则本例最多得10分,【悟题】提措施,导方向 1.转化思想的应用 在解决原命题遇到困难时,可转化为其等价命题解决,如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决. 2.分类讨论意识 在解决含参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例对二次项系数的讨论.,【类题试解】已知命题“对于任意xR,x2+ax+10不成立”是真命题,求实数a的取值范围. 【解析】命题“对于任意xR,x2+ax+10不成立”等价于“对于任意xR,x2+ax+10成立”是真命题. 由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,由二次函数的图象易知:=a2-40, 解得:-2a2. 所以实数a的取值范围是-2,2.,
