1、 河北省河北省“五个一名校联盟五个一名校联盟”2019”2019 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试 理科数学理科数学 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.i是虚数单位， 4 1 i z i 则|z ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出z的代数形式，然后再求出z 【详解】由题意得 44 (1) 2 (1)22 1(1)(1) iii ziii iii ， 22 |( 2)22
2、2z 故选 B 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题 2.集合 |2lg1Axx ， 2 |90Bx x，则AB （ ） A. 3,3 B. (0, 10) C. (0,3 D. 3, 10) 【答案】C 【解析】 【分析】 通过解不等式分别得到集合,A B，然后再求出AB即可 【详解】由题意得 1 |2lg1|lg|010 2 Axxxxxx ， 2 |9| 33Bx xxx ， |030,3ABxx 故选 C 【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制， 这是容易出现错误的地方，属于基础题 3
3、.已知向量2a ， 1b ， 22aab，则a与b的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求出向量a与b的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小 【详解】 2 22 ?42 ?2a abaabab， 1a b 设a与b的夹角为 ，则 1 2| ab cos a b ， 又0180， 60， 即a与b的夹角为60 【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量 的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题 4.如图所示的图形是弧三角
4、形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长 为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( ) A. 3 23 B. 3 42 3 C. 3 3 D. 3 22 3 【答案】D 【解析】 【分析】 求出以A为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的 3 倍减去 2 倍的等边三角形ABC的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率. 【详解】设等边三角形ABC的边长为a，设以A为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC的扇形的面积为 1 S，则 22 1 60 = 3606 aa S ， 02 13
5、 =sin60 24 ABC Sa aa ， 莱洛三角形面积为S，则 22 22 1 33 32=32 6422 ABC aa SSSaa , 在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为P, 2 2 2 3 3 4 322 3 22 ABC a S P Sa a ,故本题选 D. 【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力. 5.已知圆 222 ( 0)xyrr与抛物线 2 2yx交于 ,A B两点，与抛物线的准线交于,C D两点，若四边形 ABCD是矩形，则r等于 ( ) A. 2 2 B. 2 C. 5 2 D. 5 【答案】C 【解析】
6、 【分析】 画出图形， 由四边形ABCD是矩形可得点,A D的纵坐标相等 根据题意求出点,A D的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求 【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为 1 2 x 画出图形如图所示 在 222( 0)xyrr中，当 1 2 x 时，则有 22 1 4 yr 由 2 2yx得 2 2 y x ，代入 222 xyr消去x整理得 422 440yyr 结合题意可得点,A D的纵坐标相等，故中的y相等， 由两式消去 2 y得 2222 11 4()0)4 44 rrr， 整理得 42 815016rr， 解得 2 5 4 r 或 2 3 4 r （舍去） ， 5 2 r
7、故选 C 【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到AD与 x 轴平行，进而得到两点的纵坐标相等另外， 将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题 的能力，属于中档题 6.函数 1 ln1 y xx 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断,ln1xx大小关系，可得结果. 【详解】由题可知：函数定义为 1,00,x 22 1 01 1 ln11ln1 xx y xxxxx 当1,0x 时， 0y 当0,x时， 0y 所以可知：原函数在1,0递增，在0,递减 令
8、ln1g xxx，则 1 1 11 x gx xx 当1,0x 时， 0g x 当0,x时， 0g x 则 g x在1,0递减，且 00g xg g x在0,递增， 00g xg 所以函数 1 ln1 y xx 在定义域中，函数值均大于0 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题. 7.若 1p ，0 1mn，则下列不等式正确的是 ( ) A. 1 p m n B. pmm pnn C. pp mn D. log log mn pp 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意对给出的每个选项分别进行分析判断后可得正确的结论 【详解】对于选项
9、 A，由01mn可得01 m n ，又1p ，所以01 p m n ，故 A 不正确； 对于选项 B，由于0,0pmpn，所以 pmm pnn 等价于n pmm pn，可得nm，不 合题意，故 B 不正确； 对于选项 C，由于函数 p yx在0,上为减函数，且01mn，所以 pp mn ，故 C 不正确； 对于选项 D，结合对数函数的图象可得当1p ，01mn时，loglog mn pp，故 D 正确 故选 D 【点睛】根据条件判断不等式是否成立时，常用的方法有两种：一是根据不等式的性质直接进行判断；二 是通过构造适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当
10、的 方法进行求解，考查运用知识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题 8.已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积 为( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 93 2 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可 【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 1111 ABCDABC D截去三棱锥 1 DACD和三棱锥 111 BABC后的剩余部分 其表面为六个腰长为 1的等腰直角三角形和两个边长为 2的等边三角形， 所以其表面积为 22 13 612( 2
11、)33 24 故选 B 【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑热悉常 见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键求解几何体的表面积或体积时要结合题 中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积 求解 9.函数 ( )f x的定义域为R，且( )(3)f xf x ，当20x 时， 2 ( )(1)f xx；当01x时， ( )21f xx ，则(1)(2)(3)(2018)ffff( ) A. 671 B. 673 C. 1343 D. 1345 【答案】D 【解析】 【分析】 由 (3
12、f xf x可得函数 f x是周期为 3的周期函数，然后再根据周期性求出函数值即可 【详解】 3f xf x， 3f xf x， 函数 f x是周期为 3的周期函数 又当20x 时， 2 1f xx；当01x时， 21f xx， 1232101 012ffffff ， 123201867212320172018fffffffff 672 2121344 1 1345ff 故选 D 【点睛】本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区 间上的函数值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题 10.如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，
13、13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面 距离为 8，则球的体积为 ( ) A. 160 5 3 B. 64 2 3 C. 96 3 3 D. 256 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 设球心为O，三棱柱的上底面 111 ABC的内切圆的圆心为 1 O，该圆与边 11 BC切于点M，根据球的几何性 质可得 1 OO M为直角三角形，然后根据题中数据求出圆 1 O半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体 积 【详解】如图，设三棱柱为 111 ABCABC，且12,5,13ABBCAC，高 1 4AA 所以底面 111 ABC为斜边是 11 AC的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆 1
14、O，圆 1 O与边 11 BC切于点M， 则圆 1 O的半径为 1 12513 2 2 O M 设球心为O，则由球的几何知识得 1 OO M为直角三角形，且 1 844OO ， 所以 22 242 5OM ， 即球O的半径为2 5， 所以球O的体积为 3 4 (2 5) 160 3 5 3 故选 A 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出 球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法 （2）若直角三角形的两直角边为, a b，斜边为c，则该直角三角形内切圆的半径 2 abc
15、r ，合理利用 中间结论可提高解题的效率 11.函数( )sin3cosf xxx (0) 与函数( )yg x的图像关于点,0 3 对称，且 ( )() 3 g xf x ，则的最小值等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得 2sin 3 f xx ，由函数 f x的图象与函数 yg x的图象关于点,0 3 对称得 2 3 g xfx ，又 2sin 3 g xfxx ，则得到 2 33 fxfx ，然后根据诱 导公式并化简得到26 , k kZ，进而可得所求的最小值 【详解】由题意得 sin3cos2sin 3 f xxxx ， 函数
16、f x的图象与函数 yg x的图象关于点,0 3 对称， 2 3 g xfx ， 又 3 g xfx ， 2 33 fxfx ，即 2 2sin2sin 3333 xx ， 2 sinsin 3333 xx ， 结合 2 33 x 与 33 x 的特征可得 2 2, 3333 xxkkZ ， 26 , k kZ 又0， 当1k 时，取得最小值 4 故选 D 【点睛】本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系， 并进而得到,k间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问题的能力，属于中档题 12.已知函数( )(1) x f xex，若关于x的方程| (
17、 )|( )1| 1f xaf xa有且仅有两个不同的整数解， 则实数a的取值范围是（ ） A. 2 23 1,1) ee B. 2 23 ,) ee C. 2 1, e D. 2 0,e 【答案】A 【解析】 【分析】 考虑 f x与a和1a的关系，去掉绝对值号后可得( )1af xa，然后再通过导数研究函数 f x的 图象，结合图象可得所求结果 【详解】方程 11f xaf xa等价于 ( ) ( )( )11 f xa af xf xa 或 ( )1 ( )( )11 af xa f xaf xa 或 ( )1 ( )( )11 f xa f xaf xa ， 即 ( ) ( ) f x
18、a f xa 或 ( )1 11 af xa 或 ( )1 ( )1 f xa f xa ， 所以( )1af xa 1 x f xex， 1 xxx fxexexe， 当0x时， 0,fxf x 单调递减；当0x时， 0,fxf x 单调递增 当0x时， f x取得最小值，且 01 min f xf 画出函数 f x的图象，如下图所示 于是可得，当1x时， 0f x 恒成立 由图象可得，要使方程 11f xaf xa有且仅有两个不同的整数解， 只需( 1)1( 2)faf ，即 2 23 1a ee ， 解得 2 23 11a ee ， 实数a的取值范围是 2 23 1,1) ee 故选 A
19、 【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程 转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用 第第 IIII 卷卷 二、填空题。二、填空题。 13.若x，y满足 1 1 3 x y xy ，则 2zxy 的最小值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的可行域，将 2zxy 变形为 22 xz y ，移动直线 22 xz y 并结合图形得到最优 解，进而得到所求的最小值 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示 由 2zxy 可得 22 xz y 平移直线 22 xz y ，由图形得，当
20、直线经过可行域内的点 A时，直线 22 xz y 在 y轴上的截距最小， 此时 z 取得最小值 由 3 1 xy y 解得 4 1 x y ， 所以点 A 的坐标为(4,) 1 所以 min 42( 1)2z 故答案为 2 【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组 表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后 再结合图形求出最优解后可得所求 14.在 5 1 11x x 的展开式中常数项等于_ 【答案】9 【解析】 【分析】 先求出二项式 5 1x 展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数
21、项 【详解】二项式 5 1x 的展开式的通项为 5 5 2 155 ()(0,1,2,5) r rrr r TCxC xr ， 5 1 11x x 展开式中的常数项为 35 55 ( 1)10 19CC 故答案为 9 【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采 用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况 15.已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左右焦点分别为 1 F、 2 F， 点A在双曲线上， 点M的坐标为 2 ,0 3 ， 且M 到直线 1 AF， 2 AF的距离相等，则 1 |AF _ 【答案】
22、4 【解析】 【分析】 画出图形，根据M到直线 1 AF， 2 AF距离相等得到 MA为 12 F AF的平分线，然后根据角平分线的性质 得到 11 22 2 AFFM AFMF ，再根据双曲线的定义可求得 1 AF 【详解】由题意得 12 2,0 ,2,0FF，点 A在双曲线右支上， 又点M的坐标为 2 ,0 3 ， 12 2824 2,2 3333 FMMF 画出图形如图所示， 12 ,MPAF MQAF，垂足分别为,P Q， 由题意得MPMQ， MA为 12 F AF的平分线， 11 22 2 AFFM AFMF ，即 12 2AFAF 又 12 2AFAF， 12 4,2AFAF 故答
23、案为 4 【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形 的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题 16.在ABC中，内角、 、A B C所对的边分别为 , ,a b c，D是AB的中点，若 1CD 且 1 ()sin()(sinsin) 2 abAcbCB，则ABC面积的最大值是_ 【答案】 15 5 【解析】 【分析】 由题意及正弦定理得到 222 2 ab abc，于是可得 1 cos 4 C ， 15 sin 4 C ；然后在CDA和 CDB中 分别由余弦定理及CDACDB可得 222 2()4cab在此基础上可得 2
24、2 4 2 ab ab，再由 基本不等式得到 8 5 ab ，于是可得三角形面积的最大值 详解】如图，设CDA，则CDB, 在CDA和CDB中，分别由余弦定理可得 22 22 11 44 cos,cos() cc ba cc ， 两式相加，整理得 2 22 2()0 2 c ab， 222 2()4cab 由 1 sinsinsin 2 abAcbCB 及正弦定理得 1 cb 2 ab acb ， 整理得 222 2 ab abc， 由余弦定理的推论可得 222 1 cos 24 abc C ab ，所以 15 sin 4 C 把代入整理得 22 4 2 ab ab， 又 22 2abab，当
25、且仅当ab时等号成立， 所以 5 42 22 abab ab，故得 8 5 ab 所以 1181515 sin 22545 ABC abCS 即ABC面积的最大值是 15 5 故答案为 15 5 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用对于三角形中的 最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件本题综合性较强，考查运用 知识解决问题的能力和计算能力 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列 n a满足 1 32 1 21 22 222 n n n aaa a
26、 * ()nN， 4 log nn ba （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 【答案】 （） 21 2 n n a ； （） n T 4 21 n n 【解析】 【分析】 （）由 1 32 1 21 22 222 n n n aaa a 可得 312 1 22 +222 222 n n n aaa an ，两式相减得到 21 2 n n a ，最后验证 1 2a 满足上式，进而得到通项公式； （）由（）可得 21 2 n n b ，于是 1 14 21 21 nn b bnn ，故利用裂项相消法可求出 n T 【详解】 （） 1 312 1 2
27、21 +22 2222 n nn nn aaaa a 312 1 22 +222 222 n n n aaa an ， 两式相减得 1 1 222 2 nnn n n a ， 21 22 n n an 又当1n 时， 1 2a 满足上式， 21* 2 n n anN 数列 n a的通项公式 21 2 n n a （）由（）得 21 4 21 log 2 2 n n n b ， 1 1411 2 21 212121 nn b bnnnn 12231 111 n nn T b bb bb b 11111 21 3352121nn 1 2 1 21n 4 21 n n 【点睛】 （1）求数列的通项公
28、式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题， 故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对1n 时的情况的验证 （2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相 消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项 18.山东省高考改革试点方案规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020 年开始， 高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成将每门选考科目的考生原始成绩从 高到低划分为A、B 、B、C、C、D、D、E共 8 个等级参照正态分布原则，确定各等级人数 所
29、占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%选考科目成绩计入考生总成绩时， 将A至E等级内的考生原始成绩， 依照等比例转换法则， 分别转换到91,100、81,90、71,80、61,70、 51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为 给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (60,169)N （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记X表示这 3 人中等级成绩在区间61,80的人数， 求X的
30、分布列和数学期望 （附：若随机变量 2 ,N ，则()0.682P，(22 )0.954P， (33 )0.997P ） 【答案】 （）1636 人； （）见解析 【解析】 【分析】 （）根据正态曲线的对称性，可将区间47,86分为47,60和60,86两种情况，然后根据特殊区间上 的概率求出成绩在区间47,86内的概率，进而可求出相应的人数； （）由题意得成绩在区间61,80的 概率为 2 5 ，且 2 3, 5 XB ，由此可得X的分布列和数学期望 【详解】 （）因为物理原始成绩 2 60,13N， 所以(4786)(4760)(6086)PPP 11 (60 1360 13)(602 1
31、3602 13) 22 PP 0.6820.954 22 0.818 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000 0.818 1636（人） （）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80内的概率为 2 5 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为 0,1,2,3，且 2 3, 5 XB ， 所以 3 327 0 5125 P X ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 28 3 5125 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以数学期望 26
32、 3 55 E X 【点睛】 （1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上 的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性 （2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望当被抽取的总体 的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布 19.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，90ABDBCD ， 2EC ， 2ABBD，直线EC与平面ABC所成的角等于30 （1）证明：平面EFC 平面BCD； （2）求二面角A CEB的余弦值 【答案】()见证明； () 1 3 【解析】 【分析】
33、（）先证得EFFC，再证得EFBD，于是可得EF 平面BCD，根据面面垂直的判定定理可得 平面EFC 平面BCD （）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求 【详解】 （）在tR BCD中，F是斜边BD的中点， 所以 1 1 2 FCBD. 因为,E F是,AD BD的中点， 所以 1 1 2 EFAB，且 2EC ， 所以 222 EFFCEC， 所以EFFC. 又因为,/ /ABBD EFAB， 所以EFBD， 又BDFCF， 所以EF 平面BCD， 因为EF 平面EFC， 所以平面EFC 平面BCD （）方法一：取AC中点M，连ME，则/MECD， 因为 1 2 2 CEA
34、D， 所以CDAC. 又因为CDBC，ACBCC， 所以CD平面ABC， 所以ME 平面ABC 因此ECM是直线EC与平面ABC所成角 故22cos306ACMCEC， 所以 2CDBC . 过点B作BNAC于N，则BN 平面ACD， 且 2 3 3 AB BC BN AC 过点B作BHEC于H，连接HN， 则BHN为二面角A CEB的平面角 因为 2BEBCEC ， 所以 22 366 , 226 BHBEHNBHBN， 所以 1 cos 3 HN BHN BH ， 因此二面角A CEB的余弦值为 1 3 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作x轴BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所
35、在直线为 y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系Bxyz 因为 2CDBC (同方法一,过程略) 则1,1,0C，0,0,2A,0,1,1E 所以=1,0,1CE,0,1,1BE ,0,1, 1AE ， 设平面ACE的法向量 111 ,mx y z， 则 0 C ?0 AE m E m ，即 11 11 0 0 yz xz ，取 1 1x ,得1,1,1m 设平面BCE的法向量 222 ,nx y z 则 0 0 BE n CE n ，即 22 22 0 0 yz xz ，取 2 1x ,得1, 1,1n 所以 11 cos,= 333 mn m n m n ， 由图形得二面角A CEB为锐角，
36、因此二面角A CEB的余弦值为 1 3 【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算 和证明的交替运用利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出 空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系 20.椭圆 22 22 10 xy Eab ab ： 的离心率是 5 3 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时3 3AB （1）求椭圆 E 的方程； （2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0） ，使得AMB 是以 AB 为底的等腰三
37、角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由 【答案】() 22 1 94 xy ；()见解析 【解析】 【分析】 （）由椭圆的离心率为 5 3 得到 22 4 9 ba，于是椭圆方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 有根据题意得到椭圆过点 3 3 ,1 2 ， 将坐标代入方程后求得 2 9a ， 进而可得椭圆的方程 （） 假设存在点 ,0M m， 使得AMB 是以AB为底的等腰三角形， 则点M为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 由题意得设出直线AB的方程， 借助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不
38、等式可求出m的取值范围 【详解】 （）因为椭圆的离心率为 5 3 ， 所以 2 2 5 1 3 cb aa ，整理得 22 4 9 ba 故椭圆的方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 由已知得椭圆过点 3 3 ,1 2 ， 所以 22 279 1 44aa ，解得 2 9a ， 所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy （）由题意得直线l的方程为1ykx 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y整理得 22 4918270kxkx ， 其中 222 1849()4 27 ()432(31)0kkk 设 1122 ,A x yB x y，AB的中点 00 ,C x y 则 1212
39、 22 1827 , 4949 k xxx x kk ， 所以 12 0 2 9 249 xxk x k ， 00 2 4 1 49 ykx k ， 点 C 的坐标为 22 94 , 4949 k C kk 假设在x轴存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 则点,0M m为线段AB垂直平分线与 x 轴的交点 当0k 时，则过点C且与l垂直的直线方程 22 194 4949 k yx kkk ， 令0y ，则得 2 55 4 49 9 k xm k k k 若0k ，则 555 4 124 9 29 k k k k ， 5 0 12 m 若0k ，则 555 44 12 99kk
40、 kk ， 5 0 12 m 当0k 时，则有0m 综上可得 55 1212 m 所以存在点M满足条件,且m的取值范围是 55 , 12 12 . 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然 后再求出这个式子的最值或范围即可求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等 号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解由于此类问题一般要涉及到大 量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解 21.已知函数 2 2lnf xxaxx （a为常数） （1）若 f x是定义域上的单调函数，求a的取值范围； （2）若 f x存在两个极值点 12 ,x x，且 12 3 2 xx，求 12 f xf x的最大值 【答案】() 4, ；() 15 4ln2 4 【解析】 【分析】 （1）根据 0fx 在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可 （2）由（1）得极值点 12 ,x x满足 2 220xax，且 f x在 12 ,x x上是减函数，去掉绝对值后可得 1212 f xf xf xf x， 分别求出 12 f xf x，后进行化简可得 22 1222 2 2 1 2lnf xf xxx x ，然后利用换元法可求得所 求的最大值 【详解】 （1） 2 2lnf xxaxx
