1、第二章推理与证明2.3数学归纳法我是我是一毛一毛我是我是二毛二毛我是我是三毛三毛我是我是谁？谁？我不是我不是四毛！四毛！我是小我是小明！明！猜：猜：四毛四毛！一、创设情境，开启学生思维一、创设情境，开启学生思维情境一情境一111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得717=a515=a616=a818=a啊啊,有完有完没完啊没完啊?919=a正整数正整数无数个无数个!414=a对于数列，已知，对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11)(*Nn（1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定
2、是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1情境二情境二1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件条件二师生互助二师生互助多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，
3、则相邻的第则相邻的第k+1块也块也倒下。倒下。根据（根据（1）和（）和（2），可），可知不论有多少块骨牌，知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知对任意的正整数对任意的正整数n，猜想，猜想都成立。都成立。通项公式为的证明方法通项公式为的证明方法1nan（2）若当）若当n=k时猜想成时猜想成立，即，则当立，即，则当kak1=111+=+kakn=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即。即。三、类比问题，师生合作探究三、类比问题，师生合作探究（一）类比归纳当一个命题满足上述（当一个命题满足上述（1）、（）、
4、（2）两个条件时，我们能把证明无限问题两个条件时，我们能把证明无限问题用有限证明解决吗用有限证明解决吗?（二）理解升华（二）理解升华一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：步骤进行：（1 1）【归纳奠基归纳奠基】证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0N*)时时命题成立命题成立;（2 2）【归纳递推归纳递推】假设当假设当n=k(kNn=k(kN*,kn,kn0 0)时命题成时命题成立，证明当立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.从而就可以断定命题对于从而就可以断定命题对于n n0 0开始的所有正
5、整数开始的所有正整数n n都成立。都成立。这种证明方法这种证明方法叫做叫做数学归纳法数学归纳法。（三）提炼概念（三）提炼概念上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。用框图表示就是：用框图表示就是：验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。归纳奠基归纳递推（一）典例剖析（一）典例剖析用数学归纳法证明用数学归纳法证明2222.321n6)12)(1(nnn)(Nn四、例题研讨
6、，学生实践应用四、例题研讨，学生实践应用证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6)12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2)1(+k6)1(6)12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1)1(21)1)(1(+=kkk即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何都成立可知等式对任何都成立.*Nn22222)1(321+kk凑出目标凑出目标6)12)(1(+=kkk用到归用到归纳假设
7、纳假设111111证明：证明：1）当n=1式，a=a+(1-1)d=a,结论成立1）当n=1式，a=a+(1-1)d=a,结论成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假设n=k式结论成立，即a=a+(k-1)d2)假设n=k式结论成立，即a=a+(k-1)d a=a+d a=a+d a=a+(k-1)d+da=a+(k-1)d+d =a+kd=a+(k+1)-1d =a+kd=a+(k+1)-1d 综合1）、2）知a=a+(n-1)d成立.综合1）、2）知a=a+(n-1)d成立.所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么nn1例2：已知 列a 等差，公差 d,
8、:通公式 a=a+(n-1)d求证求证典例析剖典例析剖（二）变式精炼（二）变式精炼练习：是否存在常数练习：是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.2 22 22 22 21 12 2n na an n+n n+=1 1 3 33 3 5 5(2 2n n-1 1)(2 2n n+1 1)b bn n+2 2点拨点拨:对这种类型的题目对这种类型的题目,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值,探求出待定系数探求出待定系数,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立.解解:
9、令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确,即即:2 22 22 22 21 12 2k kk k+k k+=.1 1 3 33 3 5 5(2 2k k-1 1)(2 2k k+1 1)4 4k k+2 2则当则当n=k+1n=k+1时时,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k(k k+1 1)+1 1 3 33 3 5 5(2 2k k 1 1)(2 2k
10、k+1 1)(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)k k+k k(k k+1 1)k k(k k+1 1)(2 2k k+3 3)+2 2(k k+1 1)=+=4 4k k+2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)(k k+1 1)(2 2k k+3 3k k+2 2k k+2 2)(k k+1 1)(2 2k k+1 1)(k k+2 2)=2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)2 2(2 2k k+1 1)(2 2k k+3 3)k k+3 3k k+2 2(k k+1 1)+(k k+1 1)=4 4k k+6 64 4(k k+.1 1)+2 2故当故当n=k+1n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)(1)、(2)(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确.(1)(1)当当n=1n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.五、小结反思，学生提高认识五、小结反思，学生提高认识（一）一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法数学归纳法（二）二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设
