1、小明是一名高二年级的学生，小明是一名高二年级的学生，1717岁，迷恋上网络，岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了且就抢了5050元，这应该不会很严重吧？元，这应该不会很严重吧？情景创设1：生活中的例子如果你是法官，你会如何判决呢？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？小明到底是不是犯罪呢？11/13/2022
2、1第第2章推理与证明章推理与证明创造过程是一个艰苦曲折的过程创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理数学家创造性的工作是论证推理,即证即证明明.但这个证明是通过合情推理、通过但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的猜想而发现的波利亚波利亚2.1.2演绎推理演绎推理11/13/20222合情推理合情推理l归纳推理从归纳推理从特殊特殊到到一般一般l类比推理从类比推理从特殊特殊到到特殊特殊从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想提出猜想提出猜想归纳归纳类比类比复习回顾复习回顾11/13/20223问题情境问题情境我们知道合情推理所得结论不一定正确我们知
3、道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢又怎样证明一个结论呢?-演绎推理演绎推理11/13/20224观察与思考观察与思考1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,铜能够导电铜能够导电.铜是金属铜是金属,(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,是合情推理吗？学生活动学生活动11/13/20225从从一般性一般性的原理出发，推出某个的原理出发，推出某个特殊特殊情况下情况下的结论，这种推理称为的
4、结论，这种推理称为演绎推理演绎推理2.2.注：注：演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包括是演绎推理的一般模式；包括大前提大前提-已知的一般性原理；已知的一般性原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理据一般原理,对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断1.演绎推理演绎推理建构数学建构数学:11/13/202263.3.三段论的基本格式三段论的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（结论）（结论）4.4.三段论推理的依据三段论推理的依据,用用
5、集合集合的观点来理的观点来理解解:若集合若集合M M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P,SP,S是是M M的一的一个子集个子集,那么那么S S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.P.M MS Sa a11/13/20227观察与思考观察与思考1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,所以，铜能够导电所以，铜能够导电.铜是金属铜是金属,所以所以,(2,(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,大前提大前提小前提小前提结论结论结论结论小前提小前提大前提大前提1
6、1/13/20228大前提：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为为。其刑事责任年龄起点为1414周岁，对财物的数额周岁，对财物的数额没有要求。没有要求。小前提：小前提：小明超过小明超过1414周岁，强行向路人抢取钱财周岁，强行向路人抢取钱财5050元。元。结论：结论：小明犯了抢劫罪。小明犯了抢劫罪。小明是一名高二年级的学生，小明是一名高二年级的学生，1717岁，迷恋上网络，沉迷岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便
7、向亲戚要于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了5050元，这元，这应该不会很严重吧？应该不会很严重吧？11/13/20229解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）感受理解感受理解说明说明:为了方便为了方便,在运用三段论推理时在运用三段论推理时,常常常采用省略大前提或小前提的表述方式常采用省略大前提或小前提的表述方式.11/13/202210例例2.2.
8、如图如图;在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中中,AD,ADBC,BEBC,BEAC,AC,D,ED,E是垂足是垂足,求证求证ABAB的中点的中点M M到到D,ED,E的距离相等的距离相等.A AD DE EC CM MB B(1)(1)因为有一个内角是直角的三角形因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形是直角三角形,在在ABCABC中中,ADBC,ADBC,即即ADB=90ADB=900 0所以所以ABDABD是直角三角形是直角三角形同理同理ABEABE是直角三角形是直角三角形(2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M M是是RtRtA
9、BDABD斜边斜边ABAB的中点的中点,DM,DM是斜边上的中线是斜边上的中线所以所以DM=ABDM=AB同理同理EM=ABEM=AB所以所以DM=EMDM=EM大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明:11/13/202211例例3.如图如图,D,E,F分别是分别是BC,CA,AB上的点上的点,BFD=A,DEBA,求证：求证：ED=AF.ABDCEF证证:(1)同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行,(大前提大前提)BFD与与A是同位角是同位角,且且BFD=A,(小小前提前提)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形
10、,(大前提大前提)DEBA且且DFEA,(小前提小前提)所以所以,DFEA.(结论结论)所以所以,四边形四边形AFDE是平行四边形是平行四边形.(结论结论)(3)平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等,(大前提大前提)ED和和AF为平行四边形的对边为平行四边形的对边,(小前提小前提)所以所以,ED=AF.(结论结论)11/13/202212例例3.证明函数在上是增函数。证明函数在上是增函数。分析：分析：证明本例所依据的证明本例所依据的大前提大前提是增函数的定义，即函数是增函数的定义，即函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若若x1x2
11、,则有则有f(x1)f(x2)。小前提小前提是是f(x)=x2+2x在（在（，11满足增函数的定义。满足增函数的定义。任取任取x1,x2（，1,且且x1x2f(x1)f(x2)=(x12+2x1)(x22+2x2)=(x2x1)(x2+x12)因为因为x10;因为因为x1，x21，x1x2；所以所以x2+x120;因此，因此，f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)于是，根据于是，根据“三段论三段论”，得，得f(x)=x2+2x在（在（，1满足增满足增函数的定义。函数的定义。证明：证明：11/13/202213证证(1)不等式两边乘以同一个正数不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立不
12、等式仍成立,(大前提大前提)ba,m0,(小前提小前提)所以所以mbma(结论结论)(2)不等式两边加同一个数不等式两边加同一个数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)mbma,ab=ab(小前提小前提)所以所以ab+mbab+ma即即b(a+m)a(b+m)(结论结论)11/13/202214(3)不等式两边同除以一个正数不等式两边同除以一个正数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)b(a+m)0,(小前提小前提)证证(1)不等式两边乘以同一个正数不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立不等式仍成立(大前提大前提)ba,m0,(小前提小前提)所以所以mbma(结论结论)(2)不等式
13、两边加同一个数不等式两边加同一个数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)mbma,ab=ab(小前提小前提)所以所以ab+mbab+ma即即b(a+m)a(b+m)(结论结论)(结论结论)11/13/202215演绎推理具有如下特点演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完结论完全蕴涵于前提之中。全蕴涵于前提之中。(2)在演绎推理中在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联前提与结论之间存在必然的联系系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，只要前提是真实的，
14、推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。学中严格证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。作用，有助于科学的理论化和系统化。归纳小结归纳小结11/13/202216练习练习1 1：把下列推理恢复成完全的三段论：把下列推理恢复成完全的三段论:课堂练习课堂练习11/13/202217课堂练习课堂练习11/13/202218练习练习2.2.指出下列推理中的错
15、误指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原并分析产生错误的原因因;(1)(1)整数是自然数整数是自然数,-3-3是整数是整数,-3-3是自然数是自然数;(2)(2)无理数是无限小数无理数是无限小数,是无限小数是无限小数,是无理数是无理数.课堂练习课堂练习大前提错误大前提错误推理形推理形式错误式错误11/13/202219推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊到一般特殊到一般)类比类比(特殊到特殊特殊到特殊)三段论三段论(一般到特殊一般到特殊)回顾小结回顾小结1.分类分类.11/13/2022202.合情推理与演绎推理的区别:(1)特点特点归纳是由特殊到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理的结论来看从推理的结论来看：合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.回顾小结回顾小结11/13/202221(1)(1)数学结论、证明数学结论、证明思路的发现思路的发现,主要主要靠合情推理靠合情推理.(2)(2)演绎推理是证明数学结论、建立演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要数学体系的重要思维过程思维过程.3.合情推理与演绎推理的相关说明：合情推理与演绎推理的相关说明：回顾小结回顾小结11/13/202222布置作业布置作业1.P37.习题习题2.1.第第7题题;11/13/202224
