1、3.2立体几何中的向量法(3)第三章空间向量与立体几何空间向量与空间角空间向量与空间角本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角
2、。http:/ OA AB Ba a b b.异面直线所成的角异面直线所成的角lamlamb 若两直线所成的角为若两直线所成的角为,则则,l m(0)2cosa ba b b线面角线面角 ua ula sina ua u 设设直直线线 的的方方向向向向量量为为a a，平平面面的的法法向向量量为为u u，且且直直线线 与与平平面面所所成成的的角角为为0 0,则则(2 2)lllcoscos,AB CDAB CDAB CD DClBA二面角二面角 1 1 方方向向向向量量法法:将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于
3、二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角.如如图图，设设二二面面角角-的的大大小小为为,其其中中A AB B,A AB B,C CD D,C CD D.lll,m n cos.m nm n l(2 2)法法向向量量法法将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角.如如图图，向向量量n n，m m，则则二二面面角角-的的大大 小小 .注意法向量的方向：同进同出，注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量一进一出，二面角等于法向量夹角夹角：若若二二面面角角-的的大大小小为为(0 0),则则llnm
4、 二面角的范围：二面角的范围：0,1n2 n2 n1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n AOB ,的的夹夹角角为为，cos|u vuv uv ,的夹角为，cos|u vuv uv例例1 1：如图，甲站在水库底面上的点如图，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线（库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为和和,CD,CD的长为的长为,AB,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：解：如图，如图，
5、.dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222ABCD 例例1图图典例展示典例展示所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此
6、.cos22222dcbaab 例例2 2如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小.ABCDP PE EF FxyzG解：解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立
7、空间直角坐标系，点D D为坐标为坐标原点，设原点，设DC=1.DC=1.(1)(1)证明：连接证明：连接AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连接连接EG.EG.(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,),2 2APE依依题题意意得得因因为为底底面面A AB BC CD D是是正正方方形形，所所以以点点G G是是此此正正方方形形的的中中心心，1 1 1 1故故点点G G的的坐坐标标为为(,0 0),2 2 2 211(1,0,1),(,0,).22PAEG 且2/.PAEGPAEG 所以，即,EGEDBPAEDB而平面且平面/.PAEDB所以，平面(1,1,0),(1,1,).1
8、BPB （2 2）证证明明：依依题题意意得得1 1(0,),2 21100.22DEPBDE 又故.PBDE所以,EFPBEFDEE由已知且.PBEFD所以平面已已知知P PB B E EF F,由由（2 2）可可知知P PB B D DF F,故故E EF FD D是是二二面面角角C C-P PB B-D D的的平平面面角角.(,),(,1),x y zPFx y z 设设点点F F的的坐坐标标为为则则,PFkPB 因为(,1)(1,1,1)(,),x y zkk kk 所所以以,1,xk yk zk即0,PB DF 因为(3)(3)(1,1,1)(,1)1310,k kkkkkk 所以1,
9、3k 所以1 1 2(),3 3 3F所以点 的坐标为，1 1(0,),2 2E又点 的坐标为1 11(,),3 66FE 所以cos1 111121(,)(,)13 663336,1266363FE FDEFDFE FD 因为60,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,),333FD (1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小例例3.3.分析：分析：建系建系求相关点坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量运向量运算算结论结论解解作作APAPCDCD于点于点P P，分别以，分别以ABAB，APAP，AOAO所在的直线为所在的直线为x x，y y，z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系A Axyzxyz，如图所示，如图所示，A AA AD D面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形二、利用向量求空间角二、利用向量求空间角一、用空间向量解决立体几何问题的一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”课后练习课后练习课后习题课后习题
