1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(二) 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知 为虚数单位，复数 ()为纯虚数，则 的值为 A. -2 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】因为为纯虚数,所以 所以 a=2.故选 C. 2. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由得 0x8， 所以 A=x|0T?,否， s=4,k=
2、5,i=3;第三次循环， s=3,3T?, 否，s=9,k=7,i=4;最后一次循环， 是，输出 2017.故 T=2016，故填 2016. 16. 已知数列满足，是 ，的等差中项，若为单调递增数列，则实 数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】由题可知=+，即-=，所以 设则所以当 n 为奇数时，当 n 为偶数时， 所以， 由数列为单调递增数列，得.当 n 为奇数时，；所以 当 n1 时，易知 当 n 为偶数时， 即综上，实数 的取值范围为.故填 点睛：本题的关键是得到后，能设换元得到这主要是对数列的性质的认识，从 这里看出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列.突破这一点，后面就迎刃而解
3、了. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 在中，分别为内角 的对边，向量， （1）求 ； （2）若外接圆的直径为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： （1）第（1）问，利用正弦定理和向量的数量积化简得到 ，再解这个三角方程即可得到 B 的值.(2)第（2）问，利用三角恒等变换化简 得到，再分类讨论求出 a,c 的值，最后求三角形的面积. 试题解析： （1）因为，所以. 由正弦定理，得，又， 即. 因为，所以，所以，即. （2
4、）由（1）和正弦定理， 得. 因为，所以， ， 即 . 当时， 由正弦定理，得，所以. 当时，有，即， 由余弦定理，得， 所以，所以 综上，的面积为. 18. 在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为 2 的菱形，为直角梯 形，四边形为平行四边形，且，. （1）若 ， 分别为，的中点，求证：平面； （2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 试题分析： （1） 第 （1） 问， 转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2) 第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出 再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值. 试
5、题解析： （1）连接,因为四边形为菱形，所以. 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平 面. 又平面，所以. 因为，所以. 因为，所以平面. 因为分别为，的中点，所以，所以平面 （2）设，由（1）得平面. 由，得，. 过点作，与的延长线交于点，取的中点 ，连接，如图所示， 又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平 面，平面，故平面. 因为为平行四边形，所以，所以平面. 又因为，所以平面. 因为，所以平面平面. 由（1） ，得平面，所以平面，所以. 因为，所以平面，所以是与平面所成角. 因为，所以平面，平面， 因为，所以平面 平面. 所以，解得. 在梯形中，易证，分别以，的正方向为 轴，
6、 轴， 轴的正方向建立空间直角坐 标系. 则， 由，及，得，所以，. 设平面的一个法向量为，由得令，得 m=(3,1,2) 设平面的一个法向量为，由得令，得. 所以 又因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值是. 19. 某企业从某种型号的产品中抽取了 件对该产品的某项指标 的数值进行检测，将其整理成如图所示的 频率分布直方图，已知数值在 100110 的产品有 2l 件. （1）求 和 的值； （2）规定产品的级别如下表： 已知一件级产品的利润分别为 10，20，40 元,以频率估计概率，现质检部门从该批产品中随机抽取两 件，两件产品的利润之和为 ，求 的分布列和数学期望； （3）为了了解该型号
7、产品的销售状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的 折线图，由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场卢有率 （%）与月份代码 之间的关系.求 关 于 的线性回归方程，并预测 2017 年 4 月份(即时)的市场占有率. (参考公式：回归直线方程为，其中， 【答案】(1) (2)见解析（3）2017 年 4 月份的市场占有率预计为 【解析】试题分析： （1）第（1）问，根据频率公式求 N,利用频率分布直方图的矩形的面积和为 1 求 a. (2) 第（2）问，先写出 X 的值，再列出分布列和求 X 的数学期望. (3)第（3）问，先利用最小二乘法求 关于 的线性回归方
8、程，再预测 2017 年 4 月份(即时)的市场占有率. 试题解析： （1）数值在 100110 内的频率为，所以. 又因为，所以. （2）由频率分布直方图，可知抽取的一件产品为 ， ， 等级的概率分别为 ， ，且 的取值为 20， 30，40，50，60，80，则， ， 所以 的分布列为 X 20 30 40 50 60 80 P 所以. （3）由折线图中所给的数据计算， 可得， 所以， 所以， 故月度市场占有率与月份序号 之间的线性回归方程为. 当时，. 所以 2017 年 4 月份的市场占有率预计为. 20. 已知抛物线（） ，直线与抛物线 交于 (点 在点 的左侧)两点，且. （1）求
9、抛物线 在两点处的切线方程； （2）若直线 与抛物线 交于两点，且的中点在线段上，的垂直平分线交 轴于点 ，求 面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： （1）第（1）问，先求出抛物线的方程得到 ，再求导求出切线斜率，最后 求出抛物线 在两点处的切线方程.(2)第（2）问，先利用弦长公式求出，再 利用点到直线的距离求三角形的高，最后写出面积的表达式，再换 元利用导数求它的最大值. 试题解析： （1） 由， 令， 得， 所以， 解得， 由， 得， 故 所以在 点的切线方程为，即，同理可得在 点的切线方程为 . （2）由题意得直线 的斜率存在且不为 0， 故设，由与联立， 得，
10、所以， 故. 又，所以，所以， 由，得且. 因为的中点为，所以的垂直平分线方程为，令，得，即，所以 点 到直线的距离， 所以 . 令，则，则，故. 设，则，结合，令，得； 令，得，所以当，即时，. 点睛： 本题有两个特点.一是计算量大， 字母参数多， 计算比较复杂， 所以计算要认真仔细， 需要有耐心. 二 是综合性比较强，求切线的方程用到了导数的几何意义，后面求出后，换元得 到一个新的函数，又利用了导数来研究函数的单调性.所以要求导数的知识熟练. 21. 已知函数， 为自然对数的底数. （1）若函数在点处的切线为，求的值； （2）当时，若在区间上有两个零点,，试判断， 的大小关系. 【答案】(
11、1) (2) 【解析】试题分析： （1）第（1）问，直接利用导数的几何意义求出的值. (2)第（2）问，先研究函数 g(x)在的单调性得到它的两个零点的范围，再作差比较 和的大小，最后利用函数的图像和性质比较和的大小. 试题解析： （1）由题意，知，. 因为，所以，即. 又因为，所以. （2）由题意，知. 因为，由，得或. 当时，所以在区间上单调递增； 当时，所以在区间上单调递减； 所以的极小值为. 因为，且在区间上单调递减，所以. 又因为， 所以存在， 使得， 所以存在， 使得， 且，所以，即. 当时，. 令，则，设， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上恒成立，即
12、在区间上单调递增，故， 所以当时，. 又因为，在区间上单调递增，所以 所以. 点睛：本题的难点在比较和 的大小. 本题利用了函数的图像和性质进行分析，分析出 ，得到时，.而，在区间上单调递增，所以， 这个地方要结合图像理解清楚. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴， 且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 的参数 方程为 ( 为参数)，曲线的参数方程为( 为参数)，曲线的极坐标方程为 . （1）
13、求曲线和的公共点的极坐标； （2）若 为曲线上的一个动点，求 到直线 的距离的最大值. 【答案】(1) ， (2) 【解析】试题分析： （1）第（1）问，先把曲线 化成直角坐标方程，再解方程组得到两曲线交点的坐标， 再把交点直角坐标化成极坐标. (2)第（2）问，利用参数方程设点，再求出 到直线 的距离， 最后利用三角函数求它的最大值. 试题解析： （1）因为曲线的参数方程为,( 为参数) 所以曲线的直角坐标方程为. 因为，所以曲线的直角坐标方程为. 两方程联立得或或或 所以其极坐标分别为，. （2）直线 的普通方程为. 设点，则点 到 l 的距离， 当，即，时，. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式：； （2）若函数的最小值为 ，且，试求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【解析】试题分析： （1）第（1）问，直接利用零点分段讨论法解不等式. (2)第（2）问，先由题得到 ，再利用基本不等式求的最小值. 试题解析： （1） 可得当时，即，所以无解； 当时，得，可得； 当时，得，可得. 不等式的解集为. （2）根据函数, 可知当时，函数取得最小值，可知， ，. ， 当且仅当时，取得最小值为 4.
