1、基础教育精品课三角函数的概念（第一课时）学学 校：湖南省株洲市南方中学校：湖南省株洲市南方中学三角函数的概念三角函数的概念（第一课时）（第一课时）年年 级：高一年级级：高一年级 学学 科：数学（人教科：数学（人教A A版）版）主讲人：张旭艳主讲人：张旭艳 学学 校：湖南省株洲市南方中学校：湖南省株洲市南方中学李尚志李尚志东升西落照苍穹东升西落照苍穹影短影长角不同影短影长角不同昼夜循环潮起伏昼夜循环潮起伏冬春更替草枯荣冬春更替草枯荣 诗中描绘了周期变化的自然现象周期运动按一定规律周而复始 日出日落，花开花谢，自然界中存在许多日出日落，花开花谢，自然界中存在许多按一定规律按一定规律“周而复始周而复
2、始”的现象，比如物理学的现象，比如物理学中的圆周运动、简谐振动；地理学中的季节轮中的圆周运动、简谐振动；地理学中的季节轮替、潮汐变化；生物学中的各种动植物的生长替、潮汐变化；生物学中的各种动植物的生长规律等等，这些都称之为规律等等，这些都称之为“周期现象周期现象”。用怎样的用怎样的数学模型数学模型来刻画来刻画周期现象周期现象呢？我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。我们曾学习过用学模型。我们曾学习过用“指数函数指数函数”模型刻画放射模型刻画放射性物质的衰减以及人口增长问题，用性物质的衰减以及人口增长问题，用“对数函数对数函数”模模型刻画地震
3、的震级变化、溶液酸碱度的型刻画地震的震级变化、溶液酸碱度的pHpH值变化值变化.生活中常见的一些圆周运动.情境导入 如图，摩天轮的中心如图，摩天轮的中心O O离地面的高度为离地面的高度为 h h0 0 ，它，它的半径为的半径为r r，逆时针方向，逆时针方向匀速转动，转动一周需要匀速转动，转动一周需要360360秒秒.若现在你坐在座舱若现在你坐在座舱P P中，从初始位置中，从初始位置OAOA出发出发（如图所示）（如图所示）,求你求你相对相对于地面的高度于地面的高度 h 与时间与时间 t 的函数关系式的函数关系式。A 让我们观察一下整个运动过让我们观察一下整个运动过程，高度程，高度h h是怎样变化
4、的？是怎样变化的？高度高度h h先渐渐升高，再渐渐降先渐渐升高，再渐渐降低，然后再渐渐升高，最后回到低，然后再渐渐升高，最后回到初始位置；第二周、第三周初始位置；第二周、第三周周周而复始，呈而复始，呈“周期现象周期现象”。已学过的函数有没有这样的性质？已学过的函数有没有这样的性质？应该用怎样的一个函数模型来刻画应该用怎样的一个函数模型来刻画高度高度 h h 与时间与时间 t t 的关系呢的关系呢？分析问题当当t=30st=30s时，怎样计算你离地面的高度时，怎样计算你离地面的高度h h？模型建构问题一AOph030M经过经过30s30s后，人距离地面的高后，人距离地面的高h=hh=h0 0+M
5、P+MP（MPMP表示点表示点P P到水平位置到水平位置OAOA的距离）的距离）,在在直角三角形直角三角形POMPOM中中MP=OPsinMP=OPsin POA=POA=rsintrsint0 0=rsin30=rsin300 0 h=hh=h0 0+rsin30rsin300 0模型建构当当t=60t=60秒呢？秒呢？问题二0sin60hhrA模型建构过了过了 秒，你相对于地面的高度秒，你相对于地面的高度h h是多少呢？是多少呢？t问题三猜想猜想0sinhhrt如如t=120st=120s时，时，0sin120hhr怎样求怎样求 呢？呢？sin120思考：思考：1 1、能用这个模型来刻画人
6、离地面的高度、能用这个模型来刻画人离地面的高度h h与时间与时间t t的函数关系吗？的函数关系吗？答：随着时间答：随着时间t t的变化，点的变化，点p p的位置在变化的位置在变化,任意给定一个任意给定一个时间时间t,t,点点p p的位置是唯一确定。所以可以用它来刻画。的位置是唯一确定。所以可以用它来刻画。2 2、当角度、当角度t0不是锐角时，怎样计算它的正弦值？不是锐角时，怎样计算它的正弦值？模型建构随着摩天轮的转动，角度推广到了任意角随着摩天轮的转动，角度推广到了任意角，那么，那么对任意角对任意角，如何求如何求sinsin？问题四探究 由于摩天轮的转动是周期运动，所以我们只要考虑转一周的由于
7、摩天轮的转动是周期运动，所以我们只要考虑转一周的情况，也就是当情况，也就是当t t0 0000 0,360,3600 0)时，怎样求时，怎样求sintsint0 0?即0sinhhrt0hhMPsinrtMP rMPt+=0sin1 100090t0A注意：当t0=00时，点P与点A重合，MP=0;当t0=900时,点P位于圆O的最高点，MP=r2 2 即rMPt+=0sin0hhMP0sinhhrtsinrtMP 000018t90A3 3 即0hhMP0sinhhrtsinrtMP rMPtsin0=000702t180注意：当t0=1800时，点P位于右图中点B的位置，MP=0;当t0=
8、2700时,点P位于圆O的最低点，MP=rAB4 4 即0hhMP0sinhhrtsinrtMP rMPt=0sin000036t270A 结论规律总结 点点P P在圆周上匀速运动，引起在圆周上匀速运动，引起POAPOA（任意角）的变（任意角）的变化，对化，对任一个确定的任一个确定的POAPOA，对应着对应着唯一点唯一点P P，进而有唯一，进而有唯一的的MPMP，使得有，使得有唯一唯一的的sinsinPOAPOA的值与之对应。的值与之对应。AArMPPOAsin图1图2AArMPPOAsin图3图4分析探究问题点点P P在圆周上运动，当点在圆周上运动，当点P P位于直线位于直线OAOA上方上方
9、时，时，sinsinPOAPOA取取正值正值,在直线在直线OAOA下方下方取取负值负值,在在直线直线OAOA上上时时,sin,sinPOA=POA=0 0.根据这个特点，能否用根据这个特点，能否用与点与点P P有关的一个有关的一个量量来代替来代替MPMP或或MP MP，可以使上面的式子可以使上面的式子统一写成：统一写成：由于我们通常在平面直角坐标系中讨论角，由于我们通常在平面直角坐标系中讨论角，于是可以于是可以o o为原点建立平面直角坐标系，用为原点建立平面直角坐标系，用点点P P的的纵坐标纵坐标y y来代替来代替MPMP或或MP.MP.如果令如果令POA=POA=，于是有：，于是有：A xy
10、sin=ryrMPPOArMPPOAsin或sinrPOA代替量=sin正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数任意角的集合任意角的集合实数集实数集R R 在弧度制下，角的集合与实数集在弧度制下，角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系：之间可以建立一一对应的关系：概念界定则：则：1.1.把角把角 放在平面直角坐标系中放在平面直角坐标系中;2.2.以原点为圆心，半径为以原点为圆心，半径为r r作圆作圆,设设圆与角圆与角 的终边相交于点的终边相交于点P;P;3.3.设点设点P P的坐标的坐标(x(x，y).y).任意角任意角（R）的正弦的正弦一种定义方法：一种定义方法：则：则：si
11、n=ry xyO P(x,y)当当 是锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？是锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？在直角三角形中，sin=角的对边/斜边=y/r。因此不矛盾。思考一这个比值与圆的半径大小有关吗？这个比值与圆的半径大小有关吗？思考二半径为多少时，会使得比值更加简洁？半径为多少时，会使得比值更加简洁？可以考虑取可以考虑取r r1 1.这样的圆我们称这样的圆我们称单位圆单位圆。即：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度即：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度1 1为半为半径的圆。此时任意角的正弦函数就可以定义为：径的圆。此时任意角的正弦函数就可以定义为：ysin思考三三角函数的概
12、念问：对于任意给定的角，R,它的终边与单位圆的交点P(x，y)的横、纵坐标是否唯一确定？所以正弦函数、余弦函数是以角（实数）为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。xy（1）把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin,即ysin（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos,即xcos如图，设是一个任意角,R,它的终边与单位圆交于点P(x，y)，（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作tan,即 （x0 x0）tan=xy正弦函数：，余弦函数：，正切函数：，三角函数 我们将正弦函数，余弦函数和正切函数统称为三角函数。通常将它们记为：sinyxcosyxtanyxxRxR()2
13、xkkZ所以 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。（x0 x0）tan=xy可以看出,当 时,角的终边在y轴上,这时点P的横坐标x=0，所以 无意义.除此之外，对于确定的角，tan的值也是唯一确定。tan=xy)(2Zkk实例剖析例题求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.53AOB)23,21(解：解：如图在直角坐标系中，作 ,AOB的终边与单位圆的交点交点P坐标为坐标为53515sin,costan332323，若已知角若已知角的大小，可先求出的大小，可先求出角角终边与单位圆的交点坐标，然终边与单位圆的交点坐标，然后再利用定义求三角函数
14、值。后再利用定义求三角函数值。3535xyPBAO平面平面三角三角三角学三角学天文学天文学航海航海 TrigonoTrigonometry metry 球面球面三角三角历法历法推算推算天文天文观测观测间接间接测量测量测绘测绘工作工作公元公元16001600年年测量测量三角三角metreinmetrein三角三角函数函数神秘的三角学 教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的，欧拉令圆的半径为致的，欧拉令圆的半径为1，用平面直角坐标系来定义三角，用平面直角坐标系来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题。函数，彻底解决了三角函数
15、在四个象限中的符号问题。神秘的三角学 到公元前到公元前2世纪，世纪，古希腊天文学家三角学之父古希腊天文学家三角学之父希帕霍斯（希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的）为了天文观测的需要，需要，制作了第一个制作了第一个和现在三角函数表相仿的弦和现在三角函数表相仿的弦表，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表。思考的是定圆各中心角所对应的弦长全弦，表。思考的是定圆各中心角所对应的弦长全弦，成为西方三角学的最早奠基者。成为西方三角学的最早奠基者。大约公元大约公元5世纪，印度数学家改进了弦表，计算半世纪，印度数学家改进了弦表，
16、计算半弦。他们研究一个角的倍角所对弦的一半。后来，哥弦。他们研究一个角的倍角所对弦的一半。后来，哥白尼的学生雷提库斯（白尼的学生雷提库斯（15141576）将传统的圆中的）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角关系，定义为直角三角形的边弧与弦的关系改进为角关系，定义为直角三角形的边长之比。长之比。课堂小结2 2、三角函数的简单历史。、三角函数的简单历史。1 1、三角函数、三角函数的概念。的概念。设是一个任意角，,它的终边与单位圆交于点P(x，y)，R（1）把点P的纵坐标y 叫做的正弦函数，记作sin,即ysin（2）把点P的横坐标x 叫做的余弦函数，记作cos,即xcos（3）把点P的纵坐标与横坐
17、标的比值 叫做的正切函数，记作tan,即 =tan（x0 x0）xyxy建立数建立数学模型学模型现实现实生活生活中中的问题的问题研究数研究数学模型学模型利用数学模利用数学模型解决型解决问题问题 通过这节课的学习，我们知道任意角的三通过这节课的学习，我们知道任意角的三角函数可以用单位圆上点的坐标来表示。这个角函数可以用单位圆上点的坐标来表示。这个定义定义简单、清楚简单、清楚,突出三角函数最重要的性质突出三角函数最重要的性质周期性周期性.单位圆上的点的坐标随着角度的变单位圆上的点的坐标随着角度的变化也跟着变化，但是它值会有重复出现的时候。化也跟着变化，但是它值会有重复出现的时候。尤其是每旋转时点又回到了起点。如此循环尤其是每旋转时点又回到了起点。如此循环这便是周期性最直观的体现。这便是周期性最直观的体现。任意角的三角函任意角的三角函数数是是一个周期函数一个周期函数,是研究现实世界中周期变是研究现实世界中周期变化现象的化现象的“最有表现力的函数最有表现力的函数”。谢谢观看
