1、5.4 5.4 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质第第3 3课时课时1.1.会画会画y=ay=a(x-hx-h)2 2+k+k的图象；的图象；2.2.了解了解y=ay=a(x-hx-h)2 2+k+k的图象与的图象与y=axy=ax2的关系，能结合的关系，能结合图象理解图象理解 y=ay=a(x-hx-h)2+k+k的性质的性质.观察图象观察图象,回答问题回答问题函数函数y=y=3 3(x x-1)-1)2 2的图象的图象与与y=y=3 3x x2 2的图象有什么的图象有什么关系关系?它是轴对称图形它是轴对称图形吗吗?它的对称轴和顶点它的对称轴和顶点坐标分别是什么坐标分别是什么?23xy
2、 213xy在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=y=3 3x x和和 y=y=3(3(x-x-1)1)的图象的图象 123-1-2-301234-1xy5y=y=2(x x-1)2 2+1y=y=2(x x-1)2 y=y=2x x2观察这三个图象观察这三个图象是如何平移的是如何平移的.二次函数二次函数y y =x x，y y =(x x+1+1)2 2和和y y =(x x+1 1)2 2 1 1的的图图象有什么关系象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么什么?【例例1 1】画出函数画出函数y y=(x x+1)+1)
3、1 1的图象，指出它的开口的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线方向、对称轴及顶点，抛物线y=y=x x经过怎样的变换可经过怎样的变换可以得到抛物线以得到抛物线y y=-=-(x x+1+1)-1-1？思考：思考：121212121212二次函数二次函数y=-y=-(x+x+1)2-1的的图象可以看作是抛物线图象可以看作是抛物线y=-y=-x x2 2先沿着先沿着x x轴向轴向左左平移平移1 1个单位个单位,再沿直线再沿直线x=-1=-1向向下下平移平移1 1个单位后得到的个单位后得到的.二次函数二次函数y y=(x x+1+1)2 2 1 1的图象和抛物的图象和抛物线线y y=x x
4、，y y=(x x+1+1)2有什么关系有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么是什么?对称轴仍是平行于对称轴仍是平行于y y轴的直线轴的直线(x x=-1).=-1).顶点是顶点是(-1,-1)(-1,-1).开口向下开口向下,当当x x=-1=-1时时y有有最大值，且最大值，且最大值是最大值是 -1.-1.y yx x1212y y=-=-xy y=-=-(x x+1)-112121212121.1.在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y y=-=-3(3(x x-1)1)2 2+2 2,y y=-=-3(3(x x-1)-1)
5、2 2-2,-2,y=-y=-3 3x x和和y y=-=-3 3(x x-1)-1)2 2的图象的图象.二次函数二次函数y y=-=-3(3(x x-1)-1)2 2+2+2与与y y=-=-3 3(x x-1 1)2 2-2和和y y=-=-3 3x x,y y=-=-3 3(x x-1)1)2 2的图象有什么关系的图象有什么关系?它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗?它的开口方向、对它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么称轴和顶点坐标分别是什么?当当x取哪些值时，取哪些值时，y y的值随的值随x x值的增值的增大而增大大而增大?当当x x取哪些值时，取哪些值时，y y的值随的值随x x值的
6、增大而减小值的增大而减小?2132xy对称轴仍是平行于对称轴仍是平行于y轴的直线轴的直线(x x=1).=1).顶点分别是顶点分别是(1,2)(1,2)和和(1,-2)(1,-2).二次函数二次函数y y=-3(=-3(x x-1)-1)2 2+2+2与与y=-3(=-3(x-1)-1)2 2-2-2的图象可的图象可以看作是抛物线以看作是抛物线y=-3=-3x2 2先沿着先沿着x轴向右平移轴向右平移1 1个个单位单位,再沿直线再沿直线x=1=1向上向上(或向下或向下)平移平移2 2个单位后个单位后得到的得到的.213 xy开口向下开口向下,当当x x=1=1时时y y有有最大值最大值:且且最大
7、值最大值=2=2(或最大值或最大值=-2).=-2).2132xyy23xyx=1与与y y=-3=-3x x有关有关二次函数二次函数y y=-3(=-3(x x-1)-1)2 2+2+2与与y y=-3(=-3(x x-1)-1)2 2-2-2的图象和抛的图象和抛物线物线y y=-3=-3x x,y y=-3(=-3(x x-1)-1)2 2有什么关系有什么关系?它的开口方它的开口方向、对称轴和顶点坐标分向、对称轴和顶点坐标分别是什么别是什么?【规律方法规律方法】二次函数二次函数y y=a a(x-hx-h)+k k与与y=axy=ax的关系的关系一般地一般地,由由y=axy=ax的图象便可
8、得到二次函数的图象便可得到二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)+k k的的图象图象.y=ay=a(x-hx-h)+k+k(a a0)0)的图象可以看成的图象可以看成y=axy=ax的图象先的图象先沿沿x x轴整体向左轴整体向左(右右)平移平移|h h|个单位个单位(当当h h00时时,向右平移向右平移;当当h h000时向上平移；当时向上平移；当kk0a0向上向上x=hx=h（h h，k k）a0a0向下向下x=hx=h（h h，k k）确定二次函数的表达式学习目标学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）（重点）2、能根据已知条件，设出
9、相应的二次函数的、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）达式。（难点）课前复习课前复习二次函数有哪几种表达式？二次函数有哪几种表达式？一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0)(a0)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k (a0)(a0)交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(a0)例题选讲例题选讲解：解：所以，设所求的二次函数为所以，设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)1)2 2-6-6由条件得：由条件得：点点(2,3)(2,3)在抛物线上，在抛物线上，代入上式，得代入上式，得3=
10、a3=a（2+12+1）2 2-6,-6,得得 a=1a=1所以，这个抛物线表达式为所以，这个抛物线表达式为 y=(xy=(x1)1)2 2-6-6即：即：y=xy=x2 2+2x+2x5 5例例 1 1例题例题封面封面因为二次函数图像的顶点坐标是因为二次函数图像的顶点坐标是（1 1，6 6），），已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，6 6），与轴交点为），与轴交点为（2 2，3 3）求抛物线的表达式？）求抛物线的表达式？例题选讲解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将将A、B、C三点坐标代入得：三点坐标代入得：a-b+c=616a+4b+c=69a+3b
11、+c=2解得：解得：所以：这个二次函数表达式为：所以：这个二次函数表达式为：a=1,b=-3,c=2y=x2-3x+2已知点已知点A（1,6）、）、B（2,3）和）和C（2,7），），求经过这三点的二次函数表达式。求经过这三点的二次函数表达式。oxy例例 2例题例题封面封面例题选讲解：解：所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)(x1)(x1 1）由条件得：由条件得：已知抛物线与已知抛物线与X X轴交于轴交于A A（1 1，0 0），），B B（1,01,0）并经过点并经过点M M（0,10,1），求抛物线的表达式？），求抛物线的表达式？yox点点M(0,1)M(0
12、,1)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(0+1)(0-1)=1a(0+1)(0-1)=1得：得：a=-1a=-1故所求的抛物线表达式为故所求的抛物线表达式为 y=y=-(x(x1)(x-1)1)(x-1)即：即：y=y=x x2 2+1+1例题例题例例 3 3封面封面因为函数过因为函数过A A（1 1，0 0），），B B（1,01,0）两点两点：小组探究小组探究1、已知二次函数对称轴为、已知二次函数对称轴为x=2，且过（，且过（3，2）、）、（-1,10）两点，求二次函数的表达式。）两点，求二次函数的表达式。2、已知二次函数极值为、已知二次函数极值为2，且过（，且过（3，1）、）、（-1,1
13、）两点，求二次函数的表达式。）两点，求二次函数的表达式。解：设解：设y=a(x-2)y=a(x-2)2 2-k-k解：设解：设y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+2+2例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所示如图所示)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4 4设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为y=axy=ax2 2bxbxc c，解：解：根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0(0，0)0)，(20(20，1
14、6)16)和和(40(40，0)0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a a、b b、c c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a a、b b、c c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂，评价评价封面封面练习练习例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所示如图所示)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)
15、216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上，通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵式求解，方法比较灵活活 评价评价 所求抛物线表达式为所求抛物线表达式为 封面封面练习练习用待定系数法求函数表达式的一般步骤用待定系数法求函数表达式的一般步骤:1、设出适合的函数表达式；、设出适合的函数表达式；2 2、把已知条件代入函数表达式中，得到关于、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；待定系数的方程或方程组；3 3、解方程（组）求出待定系数的值；解方程（组）求出待定系数的值；4 4、写出一般表达式。写出一般表达式。课堂小结课堂小结求二次函数表达式的一般方法：求二次函数表达式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值 通常选择顶点式通常选择顶点式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式。通常选择交点式。yxo封面封面确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。恰当地选用一种函数表达式。
