1、人教版九年级上册24.124.1圆、垂径定理、圆心角、圆周角（圆、垂径定理、圆心角、圆周角（1 1）24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角学习目标：1.理解圆周角定义，了解圆周角与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明。3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动过程，体验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？顶点在圆心的角叫圆心角。能仿照圆心角的定义，给下图中象ACB 这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相
2、交的角叫做圆周角 PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不在顶点不在圆上。圆上。顶点在圆上，两顶点在圆上，两边和圆相交。边和圆相交。两边不和圆两边不和圆相交。相交。有一边和圆不相有一边和圆不相交。交。问题探讨：判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。ABCO有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?圆心在一边上圆心在角内圆心在角外 如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?OABCOABCOABC圆周角和圆心角的关系同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.OABC第二种情况：如果圆心不在
3、圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心O在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?n提示:能否转化为1的情况?n过点B作直径BD.由1可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.21ABCDnABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.OABC第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心O在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?n提示:能否也转化为1的情况?n过点B作直径BD.由1可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.21你能写出这个命题吗你能
4、写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.DnABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121ABC巩固练习：如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。在同圆或等圆中，ABC1OC2C3归纳：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半定理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2.如图
5、，圆心角AOB=100，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角X的度数AO.X120AO.X120 C C D B练习：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等?O?F?B?A?C?E?GBACDEE EO OB BD DC CA A规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半AC所对的圆周角 AEC ABC ADC的大小有什么关系？结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.ABCD在同圆或等圆中相
6、等的圆周角所对的弧相等.则 D=AABCD如图,若 AC=BD 问题1：如图，AB是O的直径，请问：C1、C2、C3的度数是 。ABOC1C2C3 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直90的圆周角所对的弦是直径。问题2：若C1、C2、C3是直角，那么AOB是 。90180探究与思考：1、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（）A、50；B、80；C、90；D、100ACBOD2、如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则BPC等于（）A、30；B、60；C、90；D、45CABPB练一练3、如图，A=50，AOC=60 BD是O的直径，则AEB等于（）A、70
7、；B、110；C、90；D、120BACBODE练一练3、如图，、如图，A=50，?AOC=60?BD是是 O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（?）A、70；?B、110；C、90；?D、120B4、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上，上，C30?，AB2，则则 O的半径是的半径是?。ACBODECABO解：连接解：连接OA、OBC=30?，AOB=60?又又OA=OB?，AOB是等边三角形是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。23.已知O中弦AB的等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。OAB圆心角为60度圆周角为 30 度或 150 度。在
8、O中，CBD=30,BDC=20,求A在O中，CBD=30,BDC=20,求A2、如图，在O中，AB为直径，CB=CF,弦CGAB，交AB于D，交BF于E求证：BE=EC?P?D?B?O?A?C例:如图，AB是O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的平分线交O于点D.求 BC,AD,BD 的长.106练习:如图 AB是O的直径,C,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.ABOCD405.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB例例2 2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门
9、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MNMN进进攻，当甲带球冲到攻，当甲带球冲到A A点时，乙已跟随冲到点时，乙已跟随冲到B B点点(如图如图2)2)此时甲是自己此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带
10、球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出BMN，显然，A点在BMN外，设MA交圆于C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.ABECOD 如图所示，已知ABC的三个顶点都在O上，AD是AB
11、C的高，AE是O的直径.求证：BAECAD 回顾：圆周角定理及推论？思考：判断正误：1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）2.相等的圆周角所对的弧相等（）3.90角所对的弦是直径（）4.直径所对的角等于90（）5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30（）第二课时应用例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221 052(c m)22A DB DA B解：解：AB是直径，是直径，?ACB=?ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD O
12、ABCD例题3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：ABC 为直角三角形.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，12且且CO=ABABCO证明：CO=AB,12以AB为直径作O，AO=BO，AO=BO=CO.点C在O上.又AB为直径,ACB=180=90.12 ABC 为直角三角形.1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？OABC2.2.如图，如图，A A、B B、C C、D D是是O O上的四个点，且上的四个点，且BCD=100
13、BCD=100，求，求BODBOD（所对的圆心角）所对的圆心角）和和BADBAD的大小。的大小。OBDCA课堂练习3、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O于点F，点F不与点A重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由。ACBDFO探究ACBDFOABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证明：连接AD又DC=BD，AB=AC。（2）ABC是锐角三角形。由（1）知，B=C90 连接BF，则AFB=90，A90 AB是直径，ADB=90，1.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=
14、AB，如果ADB=35，求BOC的度数。2 2、如图，在、如图，在O O中，中，BC=2DEBC=2DE，BOC=84BOC=84，求求 A A的度数。的度数。BOC=140BOC=140 A=21A=21 4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x-30)，则x=_ _；3.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；20205050拓展练习如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。（1）求证P AQB（2）如果点P在O内，P与AQB有怎样的关系？为什么？OBpQA作业：1.课本p88页练习：1、2、3、4题。2.
15、课本p88页习题：5、6、14题。蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组
16、诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的胡笳十八拍郭璞的游仙诗鲍照的拟行路难庾信的拟咏怀都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的幽逼诗四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
