1、抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲数学归纳法讲数学归纳法【2014年高考会这样考年高考会这样考】1数学归纳法的原理及其步骤数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：骤：(1)证明证明_时命题成立；时命题成立；(2)证明：如果证明：如果nk时命题成立，那么时命题成立，那么_时命题也时命题也成立成立1数学归纳法的定义数学归
2、纳法的定义n1nk1抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考我们有我们有(1)(2)作依据，根据作依据，根据(1)，知，知n1时命题成立，再根时命题成立，再根据据(2)知知n112时命题成立，又由时命题成立，又由n2时命题成立，时命题成立，依据依据(2)知知n213时命题成立这样延续下去，就可时命题成立这样延续下去，就可以知道对任何正整数以知道对任何正整数n命题成立这种证明方法叫作数学命题成立这种证明方法叫作数学归纳法归纳法(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n01或或2等等)时结论正确；时结论正确；(2)假设当假设当nk(kN，且，且kn0)时结论
3、正确，证明当时结论正确，证明当nk1时结论也正确时结论也正确在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始开始的所有正整数的所有正整数n都正确都正确2步骤步骤抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一种表示一种表示数学归纳法的框图表示数学归纳法的框图表示【助学【助学微博】微博】抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 两个防范两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的法，第一步是递推的“基础基础”，第二步是递推
4、的，第二步是递推的“依据依据”，两，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证第一步验证nn0时，时，n0不一定为不一定为1，要根据题目要求选，要根据题目要求选择合适的起始值择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着第二步中，归纳假设起着“已知条件已知条件”的作用，在证明的作用，在证明nk1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑结论一凑假设，二凑结论”抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考三
5、个注意三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn0时成立，要弄清楚命题的含义时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设由假设nk成立证成立证nk1时，要推导详实，并且一定时，要推导详实，并且一定要运用要运用nk成立的结论成立的结论(3)要注意要注意nk到到nk1时增加的项数时增加的项数抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A1 B2 C3 D0解析解析边数最少的凸边数最少的凸n边形是三角形边形是三角形答案答案C考点自测考点自测抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2某个命题与自然数某个命题与自然数n有关，若
6、有关，若nk(kN*)时命题成立，那时命题成立，那么可推得当么可推得当nk1时该命题也成立，现已知时该命题也成立，现已知n5时，该时，该命题不成立，那么可以推得命题不成立，那么可以推得 ()An6时该命题不成立时该命题不成立 Bn6时该命题成立时该命题成立Cn4时该命题不成立时该命题不成立 Dn4时该命题成立时该命题成立解析解析其逆否命题其逆否命题“若当若当nk1时该命题不成立，则当时该命题不成立，则当nk时也不成立时也不成立”为真，故为真，故“n5时不成立时不成立”“n4时不成时不成立立”答案答案C抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3用数学归纳法证明用数学归纳
7、法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从时，从nk到到nk1，左边需增添的代数式是，左边需增添的代数式是 ()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)解析解析当当nk时，左边是共有时，左边是共有2k1个连续自然数相加，个连续自然数相加，即即123(2k1)，所以当，所以当nk1时，左边是共有时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)答案答案D抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4用数学归纳法证明用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被能被8整除时，当整除时，当nk1时，对于时，对于34(k1
8、)152(k1)1可变形为可变形为 ()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析解析因为要使用归纳假设，必须将因为要使用归纳假设，必须将34(k1)152(k1)1分分解为归纳假设和能被解为归纳假设和能被8整除的两部分所以应变形为整除的两部分所以应变形为5634k125(34k152k1)答案答案A抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】(2012天津天津)已知已知an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn，bn
9、是等比数列，且是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；(2)记记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明，证明Tn122an10bn(nN*)审题视点审题视点(1)利用等差数列，等比数列的通项公式，求和利用等差数列，等比数列的通项公式，求和公式建立方程组求解；公式建立方程组求解；(2)可以以算代证，利用错位相减法可以以算代证，利用错位相减法求和，与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明求和，与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明考向一用数学归纳法证明等式考向一用数学归纳法证明等式抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考
10、向揭秘揭秘3年高考年高考(2)证明证明法一法一当当n1时，时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；，故等式成立；假设当假设当nk时等式成立，时等式成立，即即Tk122ak10bk，则当则当nk1时有时有抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即即Tk1122ak110bk1.因此因此nk1时等式也成立时等式也成立由可知，对任意由可知，对任意nN*，Tn1
11、22an10bn成立成立抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 (1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是是几；几；(2)由由nk到到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分时，除等式两边变化的项外还要充分利用利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明的步骤，从而使问题得以证明抓住抓住2个考点个考
12、点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】是否存在正整数是否存在正整数m使得使得f(n)(2n7)3n9对任意自然对任意自然数数n都能被都能被m整除，若存在，求出最大的整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由结论；若不存在，说明理由审题视点审题视点 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项考向二用数学归纳法证明整除问题考向二用数学归纳法证明整除问题抓住抓住2个考点个考点突破
13、突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解由由f(n)(2n7)3n9得，得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：(1)当当n1时，显然成立；时，显然成立；(2)假设假设nk(kN*且且k1)时，时，f(k)能被能被36整除，即整除，即f(k)(2k7)3k9能被能被36整除；当整除；当nk1时，时，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于由于3k11是是2的倍数，故的倍数，故18(3k11)能被能被36整除，这就是说，整除，这就是说，
14、当当nk1时，时，f(n)也能被也能被36整除整除由由(1)(2)可知对一切正整数可知对一切正整数n都有都有f(n)(2n7)3n9能被能被36整除，整除，m的最大值为的最大值为36.抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：一是整除数，二是整除代数式这两类证明最关键的类：一是整除数，二是整除代数式这两类证明最关键的问题是问题是“配凑配凑”要证的式子要证的式子(或是叫做或是叫做“提公因式提公因式”)，即当，即当nk1时，将时，将nk时假设的式子提出来，再变形，可证时假设的式子提出来，再变形
15、，可证抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】(2013南京一模南京一模)已知数列已知数列an满足满足a10，a21，当，当nN*时，时，an2an1an.求证：数列求证：数列an的第的第4m1项项(mN*)能被能被3整除整除证明证明(1)当当m1时，时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当即当m1时，第时，第4m1项能被项能被3整除故命题成立整除故命题成立 抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)假设当假设当mk时，时，a4k1能被能被3整除，则当整除，则当mk1时，
16、时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，显然，3a4k2能被能被3整除，又由假设知整除，又由假设知a4k1能被能被3整除整除3a4k22a4k1能被能被3整除整除即当即当mk1时，时，a4(k1)1也能被也能被3整除命题也成立整除命题也成立由由(1)和和(2)知，对于知，对于nN*，数列，数列an中的第中的第4m1项能被项能被3除除抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】(2012全国全国)函数函数f(x)x22x3.定义数列定义数列xn如下：如下：x12，xn1是过两点是过两点P
17、(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线的直线PQn与与x轴轴交点的横坐标交点的横坐标(1)证明：证明：2xnxn10)，其中，其中r为有理数，且为有理数，且0r1，求，求f(x)的最小值；的最小值；(2)试用试用(1)的结果证明如下命题：的结果证明如下命题：设设a10，a20，b1，b2为正有理数，若为正有理数，若b1b21，则则a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题明你所推广的命题注：当注：当为正有理数时，有求导公式为正有理数时，有求导公式(x)x1.抓住抓住2个考点个考点突破突
18、破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题教你审题(1)求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性，然后再求最值，性，然后再求最值，(2)对于不等式的证明要注意利用第对于不等式的证明要注意利用第(1)问的结论进行突破；问的结论进行突破；(3)本问数学归纳法的运用相对而本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用注意假设条件的恰当运用规范解答规范解答(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令，令f(x)0，解，解得得x1.(1分分)当当0 x1时，时，f
19、(x)1时，时，f(x)0，所以，所以f(x)在在(1，)内是增函数内是增函数 (3分分)故函数故函数f(x)在在x1处取得最小值处取得最小值f(1)0.(4分分)抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)(2)中命题的推广形式为：中命题的推广形式为：设设a1，a2，an为非负实数，为非负实数，b1，b2，bn为正有理数为正有理数若若b1b2bn1，则，则a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbn，用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：a当当n1时，时，b11，有，有a1a1，成立，成立
20、b假设当假设当nk时，成立，即若时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且为正有理数，且b1b2bk1，则则a1b1a2b2akbka1b1a2b2akbk.(10分分)当当nk1时，已知时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且为正有理数，且b1b2bkbk11，此时此时0bk10，抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考a1b1a2b2akbkak1bk1，从而从而a1b1a2b2akbkak1bk1a1b
21、1a2b2akbkak1bk1.故当故当nk1时，成立时，成立(13分分)由由a，b可知，对一切正整数可知，对一切正整数n，所推广的命题成立，所推广的命题成立(14分分)说明：说明：(3)中如果推广形式中指出式对中如果推广形式中指出式对n2成立，则后续证明成立，则后续证明中不需讨论中不需讨论n1的情况的情况抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考阅卷老师手记阅卷老师手记 解决数学归纳法中解决数学归纳法中“归纳归纳猜想猜想证明证明”问题及问题及不等式证明时要特别关注：不等式证明时要特别关注：一是需验证一是需验证n1，n2时结论成立，易忽略验证时结论成立，易忽略验证n2；二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速正确地解决问题正确地解决问题除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分：除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分：1把初始值搞错；把初始值搞错；2在推证在推证nk1时，没有用上归纳假设；时，没有用上归纳假设；3对项数估算的错误，特别是寻找对项数估算的错误，特别是寻找nk与与nk1的关系时，的关系时，项数发生的变化被弄错项数发生的变化被弄错
