1、反比例函数与一次函数综合题反比例函数与一次函数综合题【例1】(2020广东）如图3-44-1，点B是反比例函数y （x0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C反比例函数y （x0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG（1）填空：k_；（2）求BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形2 2解：（解：（2 2）连接）连接OD,OD,则则BDFBDF的面积的面积OBDOBD的面积的面积S SBOABOA-S-SOADOAD 8-8-2 23.3.（3 3）设点）设点 则点则点点点G G与点与
2、点O O关于点关于点C C对称，故点对称，故点G G（8m8m，0 0），则点），则点E E设直线设直线DEDE的表达式为的表达式为y ysx+n.sx+n.将点将点D,ED,E的坐标代入，得的坐标代入，得 解得解得直线直线DEDE的表达式为的表达式为=ms+n,=ms+n,=4ms+n.=4ms+n.令令y y0 0，则，则x x5m5m，故点，故点F F（5m5m，0 0）.FGFG8m-5m8m-5m3m3m，而，而BDBD4m-m4m-m3m3mFG.FG.又又FGBDFGBD，四边形四边形BDFGBDFG为平行四边形为平行四边形二次函数综合题二次函数综合题【例2】(2019深圳)如图
3、3-44-3,抛物线yax2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，3），且OBOC.（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图3-44-3，点D，E是直线x1上的两个动点，且DE1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图3-44-3，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分，求点P的坐标.解：（解：（1 1）OBOBOCOC，点点B B（3 3，0 0）.设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y ya a（x+1x+1）（）（x-3x-3）a a（x x2 2-2x-3-2x-3）axax2 2-2ax-3a.-2ax-3a.将将(0
4、,3)(0,3)代入，得代入，得-3a-3a3.3.解得解得a a-1.-1.故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为y y-x-x2 2+2x+3.+2x+3.（2 2）四边形）四边形ACDEACDE的周长为的周长为AC+DE+CD+AEAC+DE+CD+AE，其中，其中ACAC DEDE1 1是常数，是常数，故当故当CD+AECD+AE最小时，四边形最小时，四边形ACDEACDE的周长最小的周长最小.如答图如答图3-44-13-44-1，取点，取点C C关于函数关于函数对称点对称点CC（2 2，3 3），），则则CDCDCD.CD.取点取点AA（-1-1，1 1），），则则ADADAEAE，故
5、故CD+AECD+AEAD+DCAD+DC，则当，则当AA，D D，CC三点共线时，三点共线时，CD+AECD+AEAD+DCAD+DC最小，周长也最小最小，周长也最小.四边形四边形ACDEACDE的周长的最小值为的周长的最小值为AC+DE+CD+AEAC+DE+CD+AE +1+AD +1+AD+DC+DC +1+AC +1+AC +1+1+（3 3）如答图）如答图3-44-23-44-2，设直线，设直线CPCP交交x x轴于点轴于点F.F.直线直线CPCP把四边形把四边形CBPACBPA的面积分为的面积分为3535两部两部分，且分，且S SPCBPCBSSPCAPCA FB FB（y yC
6、 C-y-yP P）AF AF（y yC C-y-yP P）BFAFBFAF，则则BFAFBFAF3535或或53.53.AB=4,AB=4,AFAF则点则点F F的坐标为的坐标为设直线设直线CFCF的解析式为的解析式为y=kx+3,y=kx+3,将点将点F F的坐标代入，得的坐标代入，得k=-2k=-2或或-6.-6.直线直线CFCF的解析式为的解析式为y y-2x+3-2x+3或或y y-6x+3.-6x+3.联立，解得联立，解得x x4 4或或8 8或或0 0（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.故点故点P P的坐标为（的坐标为（4 4，-5-5）或（）或（8 8，-45-45）.1.（
7、2019广东）如图3-44-2，一次函数yk1x+b的图象与反比例函数y 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（4，n）（1）根据图象，直接写出满足k1x+b 的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且SAOPSBOP12，求点P的坐标解：由图象可得解：由图象可得k k1 1x+bx+b的的x x的取值范围是的取值范围是x x-1-1或或0 0 x x4.4.（2 2）反比例函数反比例函数y y 的图象过点的图象过点A A（-1-1，4 4），），B B（4 4，n n），），kk2 2-1-14 4-4-4，k k2 24n.4n.n
8、n-1.-1.BB（4 4，-1-1）.一次函数一次函数y yk k1 1x+bx+b的图象过点的图象过点A A，B,B,解得解得一次函数的解析式为一次函数的解析式为y y-x+3-x+3，反比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为y yk k1 1+b=4,+b=4,4k4k1 1+b=+b=1.1.k k-1-1，b b3.3.（3 3）如答图）如答图3-44-3.3-44-3.设直线设直线ABAB与与y y轴的交点为轴的交点为C C，CC（0 0，3 3）.SSAOCAOCSSAOBAOBS SAOCAOC+S+SBOCBOC 3 31+1+3 34 4SSAOPAOPSSBOPBOP1
9、212，SSAOPAOPSSCOPCOP 1.1.3x3xp p1 1，即，即x xp p点点P P在线段在线段ABAB上，上，yyP PPP2.(2020天水改编）如图3-44-4，拋物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（-2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x1点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1m4），连接AC，BC，DC，DB（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD的面积等于AOC的面积的 时，求m的值.解：（解：（1 1）由题意）由题意,得得=1,=1,4a4a2b+c=0,2b+c=0,c=6.c=6.解得解得
10、a=a=b=b=c=6.c=6.抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y y x+6.x+6.（2 2）如答图）如答图3-44-4,3-44-4,过点过点D D作作DExDEx轴于点轴于点E E，交，交BCBC于点于点G G，过，过点点C C作作CFEDCFED交交EDED的延长线于点的延长线于点F.F.点点A A的坐标为（的坐标为（-2-2，0 0），点），点C C的坐标为（的坐标为（0 0，6 6），），OAOA2 2，OCOC6.6.SSAOCAOC OAOC OAOC 2 26 66.6.SSBCDBCD S SAOCAOC 6 6 当当y y0 0时，时，+6 +60 0，解得，解
11、得x x1 1-2-2，x x2 24.4.点点B B的坐标为（的坐标为（4 4，0 0）.设直线设直线BCBC的函数表达式为的函数表达式为y ykx+n.kx+n.直线直线BCBC的函数表达式为的函数表达式为y y x+6.x+6.点点D D的横坐标为的横坐标为m m（1 1m m4 4），），点点D D的坐标为的坐标为则则4k+n=0,4k+n=0,n=6.n=6.解得解得k=k=n=6.n=6.点点G G的坐标为的坐标为DGDG=3m=3m，CFCFm m，BEBE4-m.4-m.SSBCDBCDS SCDGCDG+S+SBDGBDG DGCF+DGBE DGCF+DGBE DG DG（
12、CF+BECF+BE）（m+4-mm+4-m）m m2 2+6m.+6m.解得解得m m1 11 1（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），m m2 23.m3.m的值为的值为3.3.3.（2018大庆）如图3-44-5，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作ABx轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积解：（解：（1 1）将点）将点A A（4 4，3 3）代入）代入y=y=得得k=12.k=12.则反比例函数则反比例函数的解析式为的解析式为y=y=（2 2）如
13、答图）如答图3-44-53-44-5，过点，过点A A作作ACxACx轴于点轴于点C.C.则则OC=4OC=4，AC=3AC=3，OA=OA=5.=5.ABxABx轴，且轴，且AB=OA=5AB=OA=5，点点B B的坐标为（的坐标为（9 9，3 3）.（3 3）点点B B的坐标为（的坐标为（9 9，3 3），），OBOB所在直线的解析式为所在直线的解析式为y=x.y=x.由由 可得点可得点P P的坐标为（的坐标为（6 6，2 2）.如答图如答图3-44-5,3-44-5,过点过点P P作作PDxPDx轴，延长轴，延长DPDP交交ABAB于点于点E E，则点，则点E E坐坐标为（标为（6 6，
14、3 3）.AE=2AE=2，PE=1PE=1，PD=2.PD=2.OAPOAP的面积为的面积为 （2+62+6）3-3-6 62 2-2 21=51=5 4.（2019西藏）如图3-44-6，抛物线yax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（-3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）在图3-44-6中过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（解：（1 1）抛物线抛物
15、线y yaxax2 2+bx+3+bx+3过点过点B B（-3-3，0 0），），C C（1 1，0 0），），解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y y-x-x2 2-2x+3.-2x+3.9a-3b+3=09a-3b+3=0，a+b+3=0.a+b+3=0.a=-1,a=-1,b=-2.b=-2.（2 2）如答图）如答图3-44-63-44-6，过点，过点P P作作PHxPHx轴于点轴于点H H，交，交ABAB于点于点F.F.当当x x0 0时，时，y y-x-x2 2-2x+3-2x+33,A3,A（0 0，3 3）.直线直线ABAB的解析式为的解析式为y yx+3.x+3.又又点点
16、P P在线段在线段ABAB上方抛物线上上方抛物线上,设设P P（t t，-t-t2 2-2t+3-2t+3）（）（-3-3t t0 0），），则则F F（t t，t+3t+3）.PFPF-t-t2 2-2t+3-2t+3-（t+3t+3）-t-t2 2-3t.-3t.SSPABPABS SPAFPAF+S+SPBFPBF PFOH+PFBH PFOH+PFBH PFOB PFOB （-t-t2 2-3t-3t）点点P P运动到坐标为运动到坐标为 处时，处时，PABPAB的面积最大的面积最大.（3 3）如答图）如答图3-44-73-44-7，存在点，存在点P P使使PDEPDE为等腰直角三角形为
17、等腰直角三角形.设设P P（t t，-t-t2 2-2t+3-2t+3）（）（-3-3t t0 0），），D D（t t，t+3t+3）,则则PDPD-t-t2 2-2t+3-2t+3-（t+3t+3）-t-t2 2-3t.-3t.抛物线抛物线y y-x-x2 2-2x+3-2x+3-（x+1x+1）2+4,2+4,对称轴为直线对称轴为直线x x-1.-1.PExPEx轴交抛物线于点轴交抛物线于点E,yE,yE Ey yP P，即点，即点E,PE,P关于对称轴对称关于对称轴对称.x xE E-2-x-2-xP P-2-t.PE-2-t.PE|x xE E-x-xP P|-2-2t-2-2t|.
18、PDEPDE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DPEDPE9090,PD,PDPE.PE.当当-3-3t-1t-1时，时，PEPE-2-2t,-t-2-2t,-t2 2-3t-3t-2-2t.-2-2t.解得解得t t1 11 1（舍去），（舍去），t t2 2-2,P-2,P（-2-2，3 3）;当当-1-1t t0 0时，时，PEPE2+2t2+2t，-t-t2 2-3t-3t2+2t.2+2t.解得解得t t1 1 （舍去）（舍去）.PP综上所述，点综上所述，点P P的坐标为（的坐标为（-2-2，3 3）或）或时，时，PDEPDE为等腰直角三角形为等腰直角三角形.5.（2019广州）已
19、知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.解：（解：（1 1）y=mxy=mx2 2-2mx-3=m-2mx-3=m（x-1x-1）2 2-m-3-m-3，抛物线有最低点，抛物线有最低点，二次函数二次函数y=mxy=mx2 2-2mx-3-2mx-3的最小值为
20、的最小值为-m-3.-m-3.（2 2）抛物线抛物线G G：y=my=m（x-1x-1）2 2-m-3-m-3，平移后的抛物线平移后的抛物线G G1 1：y=my=m（x-1-mx-1-m）2 2-m-3.-m-3.抛物线抛物线G G1 1顶点坐标为（顶点坐标为（m+1m+1，-m-3-m-3）.x=m+1x=m+1，y=-m-3.y=-m-3.x+y=m+1-m-3=-2x+y=m+1-m-3=-2，即，即x+y=-2x+y=-2，变形得，变形得y=-x-2.y=-x-2.mm0 0，m=x-1m=x-1，x-1x-10.0.xx1.1.yy与与x x的函数关系式为的函数关系式为y=-x-2
21、y=-x-2（x x1 1）.（3 3）法一：如图）法一：如图3-44-83-44-8，函数，函数H H：y=-x-2y=-x-2（x x1 1）图象为射线）图象为射线.当当x=1x=1时，时，y=-1-2=-3y=-1-2=-3；当；当x=2x=2时，时，y=-2-2=-4.y=-2-2=-4.函数函数H H的图象恒过点的图象恒过点B B（2 2，-4-4）.抛物线抛物线G G：y=my=m（x-1x-1）2 2-m-3-m-3，则当则当x=1x=1时，时，y=-m-3y=-m-3；当；当x=2x=2时，时，y=m-m-3=-3.y=m-m-3=-3.抛物线抛物线G G恒过点恒过点A A（2
22、 2，-3-3）.由图象可知，若抛物线与函数由图象可知，若抛物线与函数H H的图象有交点的图象有交点P P，则，则y yB By yP Py yA A.点点P P纵坐标的取值范围为纵坐标的取值范围为-4-4y yP P-3.-3.法二：由法二：由整理，得整理，得m m（x x2 2-2x-2x）=1-x.=1-x.xx1 1，且当，且当x=2x=2时，方程为时，方程为0=-10=-1不成立，不成立，x2x2，即，即x x2 2-2x=x-2x=x（x-2x-2）0.0.m=m=0.0.xx1 1，1-x1-x0 0，x x（x-2x-2）0.0.x-2x-20 0，即，即x x2.2.11x x2.2.yyP P=-x-2=-x-2，-4-4y yP P-3.-3.y=y=x x2,2,y=mxy=mx2 22mx2mx3.3.
