1、高三数学不等式选讲专题复习题含答案典型题一【母题原题1】【2018新课标1，理23】已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.【母题原题2】【2017新课标1，理23】已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f
2、(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.【母题原题3】【2016新课标1，理24】已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;()求不等式|f(x)|1的解集.【解析】()f(x)=y=f(x)的图像如图所示. 母题揭秘：【绝对值不等式的解法与性质】1|axb|c，|axb|c型不等式的解法（1）若c0，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根据a，b的取值求解即可；（2）若c0）型不等式的解法零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相
3、应的根；将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集几何法（利用|xa|的几何意义）由于|xa|+|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|+|xb|c（c0）或|xa|xb|c（c0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键3|f（x）|g（x），|f（x）|0）型不等式的解法：|f（x）|g（x）f（x
4、）g（x）或f（x）g（x）；|f（x）|g（x）g（x）f（x）g（x）4：绝对值的三角不等式 |a |-|b|ab|a|+|b| 等号成立条件当且仅当 等号成立条件当且仅当 ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当 【证明不等式的常见方法】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等（1）如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；（2）如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；（3）如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明跟踪练习
5、一1【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知函数，关于的不等式的解集记为.（1）求；（2）已知，求证：.2【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知函数(1)解不等式.(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.3.【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围4【河南省南阳市第一中学2018届高三第十八次考试】已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2），求的取值范围.典型题二【母题原题1】【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】已知函数。（1）当时，解不等式；（2）求函
6、数的最小值。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得，再根据基本不等式求最小值.试题解析：（1）， 原不等式为，或或或或，原不等式的解集为.【母题原题2】【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】函数（）当时，求不等式的解集；（）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围【答案】（）不等式解集为；（） .【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用。（）根据零点分区间法将绝对值不等式化为不等式组求解。（）由绝对值的三角不等式可得，根据换元法可得的最大值为，所以实
7、数的取值范围为。试题解析：（）因为 （当且仅当时，等号成立）。设， ，设， ，当等号成立。要使的解集为,则 实数的取值范围为。 【母题原题3】【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】（1）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；（2）若均为正数，求证： .【解析】(1) 令，可知，故要使不等式的解集不是空集，有. （2）由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时， ，可得，当时， ，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立. 母题揭秘：【均值不等式及柯西不等式的应用】一：均值不等式：若a、b均为正实数，则，当且仅当a=b时等号成立。若a、b均为正实数，则
8、，当且仅当a=b时等号成立。若a、b、c均为正实数，则，当且仅当a=b=c时等号成立。二：柯西不等式： 等号成立条件当且仅当或 （1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当 （2）柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式： 式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。跟踪练习二1【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】（1）比较与的大小；（2）已知，且，求证： 2【2017-2018学年四川省成都市第七中学高三上学期半期考试】已知函数,且的解集为.(1)求的值;(2)若为正数,且,求证.3【贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年
9、高三上学期第二次月考】已知函数,(1)解不等式(2)若对于,有,求证: .4【安徽省黄山市普通高中2018届高三11月“八校联考”】已知函数（）求不等式;（）若函数的最小值为，且，求的取值范围参考答案跟踪练习一1.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向2.点睛：（1）本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最
10、值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.3. （2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以解得，故所求实数的取值范围是4. 【解析】分析：（1）当时，得，分类讨论，即可求解不等式的解集；（2）当时，即，分类讨论，转化为时，恒成立，利用二次函数的性质即可求解.详解：（1）当时，当时，令，即，此时无解； 当时，令/，即，所以；当时，点睛：点本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及不等式的恒成立问题的求解与转化，着重考查了分类讨论的数学思想方法和
11、转化与化归思想方法的应用，试题综合性强，有一定的思维难度，属于中档试题.跟踪练习二1. 试题解析：（1）因为，所以 ；（2）证明：a+b+c=1，a，b，cR+，当且仅当a=b=c时，取等号。2. 试题解析：(1) ,设,则当时, ;当时, ;当时, 所以.(2) 由柯西不等式, 所以.3. 4.解析：（1）不等式f（x）4，即|2x1|4，即42x14，求得x，故不等式的解集为x|x （2）若函数g（x）=f（x）+f（x1）=|2x1|+|2（x1）1|=|2x1|+|2x3|（2x1）（2x3）|=2，故g（x）的最小值为a=2， m+n=a=2（m0，n0），则=+2=+，故求+的取值范围为+，+）第 15 页 共 15 页
