1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 15 排列组合强化训练排列组合强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2016 年上海预赛】将 90 000个五位数 10 000,10 001, ,99 999 打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位 数，有些卡片上所打印的数(如 19 806倒过来看是 90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。则不会引起混淆 的卡片共有_张。 【答案】88060 【解析】 09 这十个数字中，倒过来也能表示数字的有 0、1、6、8、9 五个. 因为第一位不能放 0，最后一位也不能放 0，
2、所以，这种倒过来也能看的五位数共有 4x5x5x5x4=2 000 个. 这 2000 个五位数中还要除去倒读与正读不会混淆的五位数(如 10 801 ,60 809). 现将五位数的数字分成三组. 第一组首位与末位一组共有四种：(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)； 第二组第二位与第四位一组共有五种：(0,0)，(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)； 第三组第三位可取 0、1、8 三种. 故倒读与正读一样的五位数有 4x5x3=60 个. 从而，不会引起混淆的五位数有 90 000-(2 000-60) =88 060(个). 2 【2016 年上海预赛】红、蓝、绿、白四
3、个色子，每个色子的六个面上的数字分别为 1、2、3、4、5、6同 时掷这四个色子使得四个色子朝上的数的乘积等于 36，共有_种可能 【答案】48 【解析】 对 于 上 述 每 一 种 情 形 ， 分 别 有 种可能 综上，共有 48 种可能 3 【2016 年上海预赛】如图，有 16 间小三角形的房间甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形 的房间则他们在不相邻（没有公共边）房间的概率为_（用分数表示） 【答案】 【解析】 易知，顶点处的房间各与一间房相邻，在大三角形边上（不过顶点）的房间各与两间房相邻， 余下的房间各与三间房相邻因此，两房相邻的可能数为 故所求概率为 4 【2016 年四川
4、预赛】在的展开式中，的系数是_ 【答案】180. 【解析】因为二项式，展开式的通项公式为，而对于 的展开式，其中，都 为 自 然 数 ， 令， 解 得， 所 以 展 开 式 的 系 数 为 。 5 【2016 年辽宁预赛】在的展开式中,x 的幂指数是整数的各项系数之和为_. 【答案】 【解析】 注意到, 由 x 的幂指数为整数,知 r 为奇数. 记. 又 , 以上两式相减得. 6 【2016 年江苏预赛】在的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个的子 方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的则所有不同的均衡的染法有_种 【答案】1896 【解析】 均衡染法如图 若第
5、一个的子方格表中四个格分别染 A、B、C、D 色，则第三列上面两个格只能染 A、C 色 若第三列第一个格染 C 色，则第三列第二个格染 A 色，然后，第三行第二个格只能染 B 色，第三行第一个 格只能染 A 色，第三行第三个格只能染 C 色，依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两 色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现 当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有种染法；当每行中两色交错出现时， 类似地，有种染法 又重复的情形有种，故不同的染法数为 7 【2016 年湖南预赛】观察下列等式： ， ， ， ， 由以上等式推测出一般的结论：对于_. 【答案】 【
6、解析】 右边为两项之和，前一项依次为 后一项为, , 因此. 8 【2016 年湖北预赛】以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有_个(注：全等的三角形 视为形状相同). 【答案】14 【解析】 正十三边形的顶点将其外接圆分成 13 等份，设三角形的三个顶点之间(按逆时针方向)所含圆弧的份数分 别为 a、b、c则，且 要考虑形状不同的三角形的个数，只需确定数组(a，b)有多少种可能的取值 为使得到的三角形两两形状不同，可设 则 1a4，且. 当 a=1 时，有六种可能的值； 当 a=2 时，b 有四种可能的值； 当 a=3 时，b 有三种可能的值； 当 a=4 时，b 有一种可能的值 因
7、此，以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形个数为 9 【2016 年河南预赛】过正四面体的顶点 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所 成的角为。这样的截面共可作出_个。 【答案】18 【解析】 不妨设正四面体的棱长为 1，正的中心为 . 在内，以 为圆心、为半径作圆.则所求截面与平面的交线为改圆的切线. 分三种情形讨论. （1）切线与的一边平行时，有六个这样的截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，则截面为等腰三角形，这样的截 面有六个； （3）过点的切线，与交于点 ，由，对应为等腰三角形，这样 的截面有六个. 综上，满足条件的截面共有 18 个. 10 【2016 年甘肃
8、预赛】如图，a 为程序框图中输出的结果.则二项式的展开式中含项的系数 为_. 【答案】 【解析】 当时，. 注意到，. 从而，项的系数为. 11 【2016 年福建预赛】将 16 本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数 量互不相同.则不同的分配方法种数为_(用数字作答). 【答案】216. 【解析】 将 16 分解成四个互不相同的正整数的和有 9种不同的方式： 16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7， 16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7， 16=2+3+5+6. 故
9、符合条件的不同分配方法数为 9=216. 12 【2016 年吉林预赛】学校 5 月 1 日至 5 月 3 日拟安排六位领导值班，要求每人值班 1 天，每天安排两 人.若六位领导中的甲不能值 2 日，乙不能值 3 日，则不同的安排值班的方法共有_种. 【答案】42 【解析】 分两类： （1）甲、乙同一天值班，则只能排在 1 日，有种排法. （2）甲、乙不在同一天值班，有种排法. 故共有 42 种方法. 13 【2016 年山东预赛】在的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为_. 【答案】 【解析】 令， . 由二项式定理，知 P、Q 中的 x 的整数次幂项之和相同，记作 S（x） ，非整数次幂项
10、之和互为相反数.故 令.则所求的系数和为. 14【2016 年山东预赛】 设为 （1， 2， ， 20） 的一个排列， 且满足. 则这样的排列有_个. 【答案】 【解析】 因为，所以， . 原式化简得. 注意到， ，且为（1，2，20）的一个排列. 于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次. . 故 . 从而， . 由分布计数原理，排列的个数为. 15 【2016 年新疆预赛】平面上 个圆两两相交,最多有_个交点. 【答案】 【解析】 两个圆相交时,最多有 个交点; 三个圆相交时,最多有个交点; 四个圆相交时,最多有个交点; 个圆相交时,最多有个交点. 16 【2016 年天津预赛】甲
11、、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课 程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为_. 【答案】155 【解析】 甲、乙共同选修的课程有种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用表示其余四门 课程中甲选 门、乙选 门的情形. 则由,知共有六种情形. 于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为 . 17 【2018 年安徽预赛】在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求 此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 【答案】 【解析】 设 N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全
12、相同的三角形数目， 是以第 i 个顶点为端点的红色线段数目，则有.当且仅当每个=1008或 1009时，N取得最小值. 是可以取到的，例如：把线段）染成红色，其他 线段染成蓝色. 18 【2018 年浙江预赛】如图所示将同心圆环均匀分成 n()格.在内环中固定数字 1n.问能否将数字 1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？ 【答案】见解析 【解析】 设对应于内环 1，2，n 的外环数字为 i1，i2，in，它是数字 1，2，n 的一个排列.对 k=1，2， n，记外环数字 ik在按顺时针方向转动 jk格时，和内环数字相同，即 ,k=1，2，n. 根据题意，j
13、1，j2，jn应是 0，1，2，n-1 的排列.求和 . 于是 n 必须是奇数. 对于奇数 n，我们取 in=n，im=n-m，(m=1，2，n-1)，可以验证 jn=0, jn-1=2，jn-2=4， j1=n-2, jn-1=n-4，j3=n-6， 符合题目要求. 19 【2016 年浙江预赛】设正整数，对格点链中的个结点用红（ ） 、黄（ ） 、蓝（ ）三种颜 色染色， 左右端点中的三个结点已经染好色， 如图。 若对剩余的个结点， 要求每个结点恰染一种颜色， 相邻结点异色，求不同的染色方法数。 【答案】见解析 【解析】 设右端点染色为，如图 2. 图 2 记（或 ） 、时的染色数为； 记
14、（或 ） 时的染色数为； 记 时的染色数为. （1）若右端没有约束时，每增加一个格均有三种不同的染色方法，则. （2）由对称性，即将图形上下翻转，且颜色互换，知. （3）考虑相互的递推特征，如图 3，则. 图 3 从而，.故，即为问题所求的 不同的染色方法数. 20 【2016 年湖南预赛】已知互异的正实数满足. 证明：从中任取三个数作为边长，共可构成四个不同的三角形. 【答案】见解析 【解析】 由，知结论等价于任取三个数作为边长，均可构成不同的三角形. 接下来用反证法证明. 若存在某三个数为边长不能构成三角形，由对称性，不妨设这三个数为，且. 由均值不等式知 . 由 . 设，得 . 由条件得
15、 . 这与时， ，矛盾. 从而，原命题成立. 21 【2016 年吉林预赛】一次竞赛共有 n 道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两 名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求 n 的最大值. 【答案】7 【解析】 记“T”为 1，“F”为 0，从而，得到一个 8 行 n 列的数表. 显然，交换同一列的 0 和 1，此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为 0. 设第 i 行共有个 0（i=1,2，8）. 则. 下面考虑同一行中的“00”的对数，则 . 由柯西不等式 ， 知. 表 1 为 n 取最大值的情形. 表 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 从而，n 的最大值为 7.
