1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A ，2，3， | 1Bx x，xZ，则(AB ) A1 B1，2，3 C 1，0，1 D 1， 0， 1， 2，3 2 （5 分）已知复数z满足2zii，i是虚数单位，则| (z ) A2 B3 C2 D5 3 （5 分）已知非零向量,a b满足|2
2、 | |2|abab，且| | | |ab，则a与b的夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 378 里路，第 一天健步走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天到达目的地 则 此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )里 A198 B191 C63 D48 5 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则 乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 1
3、 6 D 1 12 6 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx，满足 3 ()() 44 ff ，且在 3 , 44 内恰有一个最 大值点和一个最小值点，则的值为( ) A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，M为双曲线上一 点，若 12 1 cos 4 FMF， 12 | 2|MFMF，则此双曲线渐近线方程为( ) A3yx B 3 3 yx Cyx D2yx 8 （5 分）某几何体三视图如图所示，其体积为 4 3 ，则该几何体的外接球体积为( ) 第 2 页（共 19 页） A 9 4 B 9
4、2 C9 D12 9 （5 分）已知等差数列 n a，( nm aman nm，n， *) mN，数列 n b满足 2121nnn baa ，则 20202019 (bb ) A1 B2 C4 D8 10 （5 分）已知( )f x是偶函数，当0x时， 2 , 02 ( ) 82 ,2 x x f x xx ，若(1 )( 1 )f af，则a 的取值范围是( ) A( 1,1) B( 2，0)(2，4) C(，3)( 1，1)(3，) D(，2)(0，2)(4，) 11 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点和左焦点分别为A和F，| 3AF ，直 线ykx交椭圆
5、于P，Q两点(P在第一象限） ，若线段AQ的中点在直线PF上，则该椭圆 的方程为( ) A 22 1 95 xy B 22 1 1615 xy C 22 4 1 8118 xy D 22 1 8145 xy 12 （5 分）已知 2 1 ( )cos 2 f xxax，当1a 时，( )f x在(0, )上( ) A有最大值没有最小值 B有最小值没有最大值 C既有最大值也有最小值 D既无最大值也无最小值 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若变量x，y满足 2 233 0 xy xy x ，且2zxy，则z的最大值是
6、 14 （5 分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出x（单位： 第 3 页（共 19 页） 万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示 年广告支出/x万元 2 3 5 7 8 年销售额/y万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程6.418yx，则a的值为 15 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 1 ( 1) (2) n nn aa ，则 41n S 16 （5 分）如图，M点在正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 CC上（不含端点） ，给出下列五个 命题： 过M点有且只有一
7、条直线与直线AB， 1 AD都是异面直线； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都相交； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都垂直； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都相交； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都平行； 其中真命题是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17
8、（12 分）某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生的数学成绩，按成绩分组：第 1 组75，80)，第 2 组80，85)，第 3 组85，90)， 第 4 组90，95)，第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示 （1）由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到0.01)； （2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀”等 第 4 页（共 19 页） 次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 18 （ 12 分 ） 已 知ABC的 内
9、 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c 已 知 s i nc o sc o ss i ns i naBCbACcA （1）求B的取值范围； （2）当B取最大值时，若6ac，求ABC的面积 19 （12 分）在直角坐标系xOy中，抛物线 2 2xy的焦点为F，过点F的直线l交抛物线 于M，N两点 （1）求OM ON的值； （2） 若点P在线段MN（不含端点） 上运动，2OQOP， 求四边形OMQN面积的最小值 20（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD， 3 ABC ， M是PC上一动点 （1）求证：平面PAC 平面MBD； （2）若PBPD，
10、三棱锥PABD的体积为 6 24 ，求四棱锥PABCD的侧面积 21 （12 分）已知函数( )(1)(1) x f xxeax，其中aR （1）当1a 时，求( )f x的最小值； 第 5 页（共 19 页） （2）若( )( ) x g xf xe在R上单调递增，则当0x 时，求证： 9 ( ) 8 x f xex （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系xOy中，曲线C的参
11、数方程为 32cos ( 12sin x y 为参数） ，在 以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P 到极点O的距离为 4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 2 ( )4|3|1|f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm，求 22 pq的 最小值 第 6 页（共 19 页） 2020 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科） 参
12、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A ，2，3， | 1Bx x，xZ，则(AB ) A1 B1，2，3 C 1，0，1 D 1， 0， 1， 2，3 【解答】解：1A，2，3， | 11Bxx 剟， 1xZ ，0，1， 1AB ，0，1，2，3 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足2zii，i是虚数单位，则| (z ) A2 B3 C2 D5 【解答】解：由2zii
13、，得 2 12 i zi i ， |5z， 故选：D 3 （5 分）已知非零向量,a b满足|2 | |2|abab，且| | | |ab，则a与b的夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：非零向量,a b满足|2 | |2|abab，且| |ab，设a与b的夹角为， 则 2222 4444aa bbaa bb，且 22 ab， 求得0a b ， 2 ， 故选：D 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 378 里路，第 一天健步走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一
14、天的一半， 走了 6 天到达目的地 则 此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )里 A198 B191 C63 D48 【解答】解：根据题意，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半， 第 7 页（共 19 页） 则设此人第六天走了a里，则第五天走了2a里，依次下去，构成一个等比数列，其公 比为 2； 而所有路程之和为 6 (12 ) 378 12 a S ，解可得6a ， 则此人第 1 天和第 2 天共走了1632288aa里，后 4 天走了 90 里， 故后 4 天比前两天少了 198 里 故选：A 5 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
15、则 乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 12 【解答】解：现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件总数 22 242 2 2 2 6 C C nA A ， 乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 222 222 2mC CA， 乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 21 63 m p n 故选：B 6 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx，满足 3 ()() 44 ff ，且在 3 , 44 内恰有一个最 大值点和一个最小值点，则的值为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：函数(
16、)sin(0)f xx，满足 3 ()() 44 ff ，且在 3 , 44 内恰有一个最大 值点和一个最小值点， 当0时，若( )f x的第一个最大值出现在 2 x ，第一个最小值出现在 3 2 x ， 则第二个最大值出现在 5 2 x ， 由于函数( )f x在 4 ， 3 4 上恰有一个最大值点和一个最小值点， 也就是 42 且 335 242 ， 解得：2，此时不满足 3 ()() 44 ff ，不合题意； 第 8 页（共 19 页） 若( )f x的第一个最小值出现在 3 2 x ，第一个最大值出现在 5 2 x ， 则第二个最小值出现在 7 2 x ， 由于函数( )f x在 4
17、， 3 4 上恰有一个最大值点和一个最小值点， 也就是 3 42 且 537 242 ， 解得 1014 33 ，结合题目中的选项知：4， 此时满足 3 ()()0 44 ff ，满足题意 故选：D 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，M为双曲线上一 点，若 12 1 cos 4 FMF， 12 | 2|MFMF，则此双曲线渐近线方程为( ) A3yx B 3 3 yx Cyx D2yx 【解答】解：由题意， 12 | 2MFMFa，又 12 | 2|MFMF， 1 | 4MFa， 2 | 2MFa， 222 12 1644
18、1 cos 2424 aac FMF aa ， 化简得： 22 4ca，即 222 4aba， 22 3ba，得3 b a 此双曲线渐近线方程为3yx 故选：A 8 （5 分）某几何体三视图如图所示，其体积为 4 3 ，则该几何体的外接球体积为( ) A 9 4 B 9 2 C9 D12 第 9 页（共 19 页） 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥，其中PA 底面ABCD， 底面为矩形，ABm，2AD ，2PA， 由 14 22 33 P ABCD Vm ，得1m 把该四棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长为 222 2213， 该几何体的外接球的半径为 3 2 R ，
19、 体积 3 439 ( ) 322 V 故选：B 9 （5 分）已知等差数列 n a，( nm aman nm，n， *) mN，数列 n b满足 2121nnn baa ，则 20202019 (bb ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d，则由 nm aman， 得() mm anm dman，即1d 又 2121nnn baa ， 202020194041403940394037 ()()bbaaaa 40414037 44aad 故选：C 10 （5 分）已知( )f x是偶函数，当0x时， 2 , 02 ( ) 82 ,2 x x f x xx ，若(1
20、 )( 1 )f af，则a 的取值范围是( ) A( 1,1) B( 2，0)(2，4) C(，3)( 1，1)(3，) D(，2)(0，2)(4，) 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：( )f x是偶函数，且当0x时， 2 , 02 ( ) 82 ,2 x x f x xx ， 故当0x 时，0x ， 2 , 20 ()( ) 82 ,2 x x fxf x x x ， 由(1)( 1)f aff（1）2， 若012a 即13a 时，可得 1 (1)22 a f a ， 解可得，2a ， 此时12a ， 若1 2a 即3a时，(1)82(1)1022f aaa， 解可得，4a ，
21、此时4a ， 则a的取值范围4a 或12a ， 同理，当10a 时，可得a的范围01a 或2a ， 综上可得，a的范围(，2)(0，2)(4，) 故选：D 11 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点和左焦点分别为A和F，| 3AF ，直 线ykx交椭圆于P，Q两点(P在第一象限） ，若线段AQ的中点在直线PF上，则该椭圆 的方程为( ) A 22 1 95 xy B 22 1 1615 xy C 22 4 1 8118 xy D 22 1 8145 xy 【解答】解：由题意知3ac，3ac，(,0)Aa，(,0)Fc，设( ,)P x y， 则由题意知，(,)Q
22、xy，设AQ的中点为D，则( 2 xa D ，) 2 y ， 因为线段AQ的中点在直线PF上，所以FPFD，即(xc ，)( 2 xa yc ， 3 )( 22 yxc ，) 2 y ， 2 3 22 xcy xcy ，3xcxc，整理23c ， 第 11 页（共 19 页） 3 2 c， 9 3 2 ac， 222 18bac， 所以椭圆的方程为： 22 4 1 8118 xy ； 故选：C 12 （5 分）已知 2 1 ( )cos 2 f xxax，当1a 时，( )f x在(0, )上( ) A有最大值没有最小值 B有最小值没有最大值 C既有最大值也有最小值 D既无最大值也无最小值 【
23、解答】解：由 2 1 ( )cos 2 f xxax得，( )sinfxxax，令 1 yx， 2 sinyax， 在同一坐标系中作出 1 yx， 2 sinyax的图象，如图， 当 0 0xx时， 12 yy，即( )sin0fxxax，故( )f x单调递减； 当 0 xx时， 12 yy，即( )sin0fxxax，故( )f x取最小值； 当 0 xx时， 12 yy，即( )sin0fxxax，故( )f x单调递增， ( )f x有最小值无最大值 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若变量x，y
24、满足 2 233 0 xy xy x ，且2zxy，则z的最大值是 19 5 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由2zxy得2yxz ， 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点B时，直线2yxz 的截距最大， 此时z最大 由 2 233 xy xy ，解得 9 (5A， 1) 5 ， 将 9 (5A， 1) 5 的坐标代入目标函数2zxy， 得 9119 2 555 z 即2zxy的最大值为19 5 故答案为： 19 5 14 （5 分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出x（单位： 万元）与年销
25、售额y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示 年广告支出/x万元 2 3 5 7 8 年销售额/y万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程6.418yx，则a的值为 55 【解答】解： 23578 5 5 x ， 28376070195 55 aa y ， 样本点的中心坐标为 195 (5,) 5 a ， 代入6.418yx，得 195 6.4518 5 a ，解得55a 故答案为：55 15（5 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，13a ， 1 ( 1) (2) n nn aa ， 则 41n S 43n 第 13 页（共 19 页） 【解
26、答】解： 1 3a ， 1 ( 1) (2) n nn aa ， 可得 21 21aa ， 32 23aa ， 43 25aa ， 54 23aa， 65 21aa ， 76 23aa ， 87 25aa ， 可得数列 n a为最小正周期为 4 的数列，而一个周期的项的和为 4， 可得 41 43 n Sn 故答案为：43n 16 （5 分）如图，M点在正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 CC上（不含端点） ，给出下列五个 命题： 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都是异面直线； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都相交； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1
27、AD都垂直； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都相交； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都平行； 其中真命题是 【解答】解：连接 1 BC， 1 AD，由题意可得 11 / /BCAD，所 第 14 页（共 19 页） 以 11 ABC D共面， 1 MCC， （不含端点） ，所以M不在面 11 ABC D，在面 11 ABC D任取一点E 不在直线AB， 1 AD，得到的直线ME与直线AB， 1 AD都是异面直线； 所以不正确； 只有过A，即只有MA是过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都相交；所以正确； 过M做面 11 ABC D的垂线垂足为Q， 即仅有一条过M点有
28、且只有一条直线与直线AB， 1 AD 都垂直；所以正确； 过M由无数多个平面与面 11 ABC D相交， 所以过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都相交， 所以正确； 而过M点仅有一个平面与面 11 ABC D平行， 所以过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都平 行不正确，即不正确； 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答
29、（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生的数学成绩，按成绩分组：第 1 组75，80)，第 2 组80，85)，第 3 组85，90)， 第 4 组90，95)，第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示 （1）由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到0.01)； （2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀”等 次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 【解答】解： （1）设这 50
30、 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为m，n， 因为前 2 组的频率之和为0.40.5， 第 15 页（共 19 页） 因为前 3 组的频率之和为0.70.5，所以8590m， 由0.40.06 (85)0.5m，得86.67m 77.550.0182.550.0787.550.0692.550.0497.550.0287.25n ， 所以，这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 86.67，87.25 （2）因为样本中 90 分及以上的频率为(0.040.02) 50.3， 所以该校高一年级 1000 名学生中， 根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为0.
31、3 1000300 人 18 （ 12 分 ） 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c 已 知 s i nc o sc o ss i ns i naBCbACcA （1）求B的取值范围； （2）当B取最大值时，若6ac，求ABC的面积 【解答】解： （1）由已知可得sin (sincoscossin)sinsinBACACCA， 可得 2 sinsin()sinsinsinBACBCA， 可得 2 bac， 可得 22222 1 cos 222 acbacac B acac ， 又(0, )B， 故(0, 3 B （2）由（1）知 3 B ，易得ac； 又6ac， 所
32、以3abc； 所以ABC的面积 1139 3 sin3 3 2224 SacB 19 （12 分）在直角坐标系xOy中，抛物线 2 2xy的焦点为F，过点F的直线l交抛物线 于M，N两点 （1）求OM ON的值； （2） 若点P在线段MN（不含端点） 上运动，2OQOP， 求四边形OMQN面积的最小值 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题知 1 (0, ) 2 F，设 1 : 2 l ykx，代入到 2 2xy中， 得 2 210xkx 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2xxk， 12 1x x ， 所以 22 12 12 1 44 x x
33、 y y 所以 1212 3 4 OM ONx xy y （2） 因为2OQOP， 所以P是线段OQ的中点， 从而点O与点Q到直线MN的距离相等， 所以四边形OMQN的面积等于2 MON S 而 22 121212 11 22|()41 22 MON SOFxxxxx xk 所以0k 时，四边形OMQN的面积最小，最小值为 1 20（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD， 3 ABC ， M是PC上一动点 （1）求证：平面PAC 平面MBD； （2）若PBPD，三棱锥PABD的体积为 6 24 ，求四棱锥PABCD的侧面积 【解答】解： （1）证明：
34、PA 平面ABCD，BD 平面ABCD， PABD底面ABCD是菱形，BDAC 又PAACA，PA平面PAC，AC 平面PAC， BD平面PAC 又BD 平面MBD，平面PAC 平面MBD （2）解：设菱形ABCD的边长为x， 3 ABC ， 2 3 BAD 在ABD中， 222222 1 2cos22()3 2 BDADABAD ABBADxxx， 3BDx又PA 平面ABCD，ABAD，PBPD， 第 17 页（共 19 页） 6 2 PBPDx， 2 2 PAx 又 22 1123 sinsin 2234 ABD SAB ADBADxx ， 2 32611 334224 ABDP ABD
35、 VSPAxx 三棱锥 ，1x， 26 , 22 PAPBPD， 3 ABC ，1ACAB 又PA 平面ABCD， 6 2 PCPB， 四棱锥PABCD的侧面积为： 2 1216152 222(1()1) 222242 PABPBC SSS 21 （12 分）已知函数( )(1)(1) x f xxeax，其中aR （1）当1a 时，求( )f x的最小值； （2）若( )( ) x g xf xe在R上单调递增，则当0x 时，求证： 9 ( ) 8 x f xex 【解答】解： （1）当1a 时，( )(1)( )(2) xx f xxefxxe， 当2x 时( )0fx，( )f x在(,
36、 2) 上单调递减； 当2x 时( )0fx，( )f x在( 2,)上单调递增 2 1 ( )( 2) min f xf e （2）证明：( )( )(1) xx g xf xexeax， ( )(1)1 0 x g xxea 恒成立， 1(1) x axe恒成立 则由（1）可得： 2 1 1a e 又0x ， 第 18 页（共 19 页） 9 ( )(1)(1) 88 xxxxx x xx f xxeax xeexeex e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一
37、题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 32cos ( 12sin x y 为参数） ，在 以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P 到极点O的距离为 4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 【解答】解： （1）曲线C的普通方程为 22 (3)(1)4xy， 点P的极坐标为(4,) 3 ，直角坐标为(2,2 3) （2） （方法一）圆心( 3,1)C， 3 :30 3 OC yxxy， 点P到OC的距离 |23 2 3| 2 2 d ，且|
38、 2OC ， 所以 1 |2 2 OCP SOC d （方法二） 圆心( 3,1)C， 其极坐标为(2,) 6 ， 而( 4 , )3P ， 结合图象利用极坐标的几何含义， 可得 366 COP ，| 2OC ，| 4OP ， 所以 11 | |sin2 4 sin2 226 OCP SOCOPCOP 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 2 ( )4|3|1|f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm，求 22 pq的 最小值 【解答】解： （1）依题意可知二次方程 2 4|3|1
39、| 0xxaa有解， 164(|3|1|) 0aa，即|3|1|4aa 当1a 时，314aa ，解得0a，0a ，1)； 第 19 页（共 19 页） 当13a 时，31 4aa ，解得2 4恒成立，1a ，3)； 当3a时，24 4a ，解得4a，3a ，4 综上所述，可得0a，4； （2）由（1）知4pq， 方法一：利用基本不等式 222222222 ()2()()2()pqpqpqpqpqpq， 22 8pq， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号； 方法二：利用二次函数求最值 4pq，4qp ， 222222 (4)28162(2)8 8pqppppp ， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号； 方法三：利用柯西不等式 222222 () (11 ) (11)()16pqpqpq ， 22 8pq， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号
