1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 第 I 卷（选择题，共 50 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选英中，只有 一个是符合题目要求的） 1 2013sin的值属于区间 A)0 , 2 1 ( B) 2 1 , 1( C) 1 , 2 1 ( D 1 (0, ) 2 2下列命题中，真命题是 A 0 0 ,0 x xRe使得 B 2 ,2xxRx C1,11abab是的充分条件 D 2 2 sin3(,) sin xxkkZ x 3由直线 2 22cos(02 ) 2 x yyx与函数的图象围成的封闭图形的面积为 A4
2、 B2 C D 2 4已知复数32 (zi i 为虚数单位）是关于 x 的方程 2 20( ,xpxqp q为实数）的一 个根，则pq的值为 A22 B36 C38 D42 5若直线 ex eyxy 与曲线3相切，则实数 a 的值为 A4 B2 C2 D4 6设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身体 x（单位：cm）具有线性相关关系。根据一组 样本数据（),2 , 1)(,niyx ti ，用最小二乘法建立的回归方程是71.8585. 0xy， 则下列结论中不正确的是 Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（yx,） C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0
3、.85kg D若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 7某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为 A20 B 3 40 C56 D60 - 2 - - 2 - 8已知直线 x=2 与双曲线1 4 : 2 2 y y C的渐近线 交于 E1、E2两点，记 2211 ,eOEeOE，任取双 曲线 C 上的点 P，若),( 21 RbabeaeOP，则 A10 22 ba B 2 1 0 22 ba C1 22 ba D 2 1 22 ba 9假设你家订了一份早报，送报人可能在早上 6：307：30 之间把报纸送到你家，你父亲离 开家去上班的时间在早上 7：008：00
4、 之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率为 A 3 1 B 12 7 C 8 7 D 8 1 10已知函数), 0()0 ,()(是定义在xf上的偶函数，当0x时， 1)(4)( 2),2( 2 1 , 20 , 12 )( | 1| xfxg xxf x xf x 则函数的零点个数为 A4 B6 C8 D10 二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （一）必考题（1114 题） 11在 ABC 中，内角 C=60，则, 3CBAC ABC 的面积 S= . 12执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8， 输出的值为 s，则 22 ) 1
5、 ( x x 的展开式中 4 x项的 系数是 （用数字作答）. 13数式 1 1 1中省略号“”代表无限重复，但原 式是一个固定值，可以用如下方法求得： 令原式t，则 1+ 2 15 , 01, 1 2 tttt t 取正值则， 用类似方法可得222= . 14设函数,sin2)(,cos2)( n axxxgxxxf数列是公差为 8 的等差数列，若 则,7)( 7 1 1 i af 7 1 1) 2 ( i ag ； 21 2 4) ( aa af = . （二）选考题（请考生在第 15、16 题中任选一题作答，如果全选，则按第 15 题作答结果计 - 3 - - 3 - 分） 15 （选修
6、 41，几何证明选讲）如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB， 垂足为 F，若 AB=6，AE=1，则 DF DB= . 16 （选修 44，坐标与参数方程）在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 2 2 ,2 ty tx （t 为参数） ，在以 O 为极 点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的方程 为22) 4 sin( ，则 C1与 C2的交点个数为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知向量),0)(3,cos2(),1), 3 sin(2(
7、 xnxm函数nmxf)(的两条相 邻对称轴间的距离为. 2 （1）求函数)(xf的单调递增区间； （2）当 12 , 6 5 x时，求)(xf的值域. 18 （本小题满分 12 分） PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日匀值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级； 在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；75 微克/立方米以上空气质量为超 标。 某试点城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中顾及机抽取 15 天的 数据作为样本，监测
8、值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）. （1）从这 15 天时 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一 级的概率； （2） 从这 15 天的数据中任取三天数据， 记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数， 求 的分布列及期望 E. - 4 - - 4 - 19 （本小题满分 12 分）已知数列 n a的前 n 项和*)( 2 1 2 NkknnSn，且 n S的最大 值为 8. （1）求常数 k 的值，并求 n a； （2）对任意*Nm，将数列 n a中落入区间)2,4( mm 内的项的个数记为 m b，求数 列 m b的前 m 项和 m T. 20（本小题满分
9、12 分） 如图， 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， ADCD， AB/CD， AB=AD=2 2 1 CD，点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 垂合。 （1）当点 M 是 EC 中点时，求证：BM/平面 ADEF； （2）当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 时，求三棱锥 MBDE 的体 积. - 5 - - 5 - 21 （本小题满分 13 分）设点 A（3，0） ，B（3，0） ，直线 AM、BM 相交于点 M，且 它们的斜率之积为 3 2 . （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）若直线 l 过点 F（1，0）且绕 F 旋转，
10、l 与圆5: 22 yxO相交于 P、Q 两点，l 与 轨迹 C 相交于 R、S 两点，若|PQ|,19, 4求FRS 的面积的最大值和最小值（F为 轨迹 C 的左焦点）. 22 （本小题满分 14 分）已知函数)., 0(ln)(,)( 23 Raaxaxgxxxf （1）求)(xf的极值； （2）若对任意), 1 x，使得xaxxgxf)2()()( 2 恒成立，求实数 a 的取值 范围； （3） 证明： 对*Nn， 不等式 )2013( 2013 )2013ln( 1 )2ln( 1 ) 1ln( 1 nnnnn 成立. - 6 - - 6 - 参考答案 一、选择题（共 50 分） 15
11、 BCBCA 610 DBDCD 二、填空题（25 分） 11、3 2 3 12、70 13、2 14、0， 64 7 15、5 16、2 三、解答题（共 75 分） 17、 （12 分） （）( )4sin()cos3 3 f xm nxx 2 2sincos2 3cos3xxx sin23cos2xx 2sin(2) 3 x 2 2 T 1 ( )2sin(2) 3 f xx 4 分 由222() 232 kxkkz 得 5 1212 kxk 单调递增区间是 5 ,() 1212 kkkz 8 分 （） 5 , 612 x 4 2, 332 x sin(2) 1,1 3 x ( ) 2,2
12、f x 即( )f x的值域是 2,212 分 18、 （12 分） （）15 天中空气质量达到一级的有 5 天， 则恰有一天空气质量达到一级的概率 12 510 3 15 45 91 C C P C 4 分 （）15 天中空气质量超标的天数为 5 天，0,1,2,3 3 10 3 15 24 (0) 91 C P C 12 510 3 15 45 (1) 91 C C P C 21 510 3 15 20 (2) 91 C C P C 3 5 3 15 2 (3) 91 C P C 8 分 分布列为 0 1 2 3 P 24 91 45 91 20 91 2 91 2445202 01231
13、 91919191 E 12 分 - 7 - - 7 - 19、 （12 分） （） 2 22 11 () 222 n k Snknnk 2 max ()8,4 2 n k nkSk当时3 分 2 1 4 2 n Snn 11 7 2 aS 当2n时， 1 9 2 nnn aSSn 数列 n a的通项公式为 9 2 n an6 分 （）依题意有 9 42 2 mm n 99 24 22 mm n 99 (4)(2)42 22 mmmm m b9 分 1 1 4(1 4 )2(1 2 )42 2 1 41 233 mmm m m T 12 分 20、 （12 分） （）以DADCDE、分别为,
14、,x y z轴建立空间直角坐标系 则(2,0,0), (2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)ABCEM ( 2,0,1),BMADEF 面的一个法向量(0,4,0)DC 0BM DC，BMDC。即/BMADEF面4 分 （）依题意设(0, ,2)(04) 2 t Mtt ，设面BDM的法向量 1 ( , , )nx y z 则220DB nxy，(2)0 2 t DM ntyz 令1y ，则 1 2 (1, 1,) 4 t n t ，面ABF的法向量 2 (1,0,0).n 12 12 12 2 |16 |cos,| 642 | | 2 (4) nn n n nn t
15、，解得2t (0,2,1)M为 EC 的中点， 1 2 2 DEMCDE SS ，B到面DEM的距离2h 14 33 MBDEDEM VSh 8 分 21、 （13 分） （）设( , )M x y，则 2 (3) 333 MAMB yy kkx xx 化简 22 1 32 xy 轨迹C的方程为 22 1(3) 32 xy x 4 分 - 8 - - 8 - （）设:1l xmy，Ol到的距离 2 1 1 d m ， 2 1 | 2 54,19 1 PQ m 2 03m ，将1xmy代入轨迹C方程并整理得： 22 (23)440mymy 设 1122 (,),(,)P xyQ xy，则 12
16、2 4 23 m yy m ， 12 2 4 23 y y m 2 2 121212 222 1616 |()4 (23)23 m yyyyy y mm 2 12 22 13(1) | | 4 2(23) m SyyFF m 设 2 11,4mt ，则 1 ( )41,4f tt t 在上递增， 65 ( )5, 4 f t 2 34 3 4 (21)1 4(4) t S t t t min 8 3 9 S， max 4 3 3 S13 分 22、 （14 分） （） 2 ( )320fxxx ， 2 0 3 x 或， 2 ( )(,0) ,(0, ) 3 f x在 2 ( ,) 3 ， 24
17、 ( )(0)0( )( ) 327 f xff xf 极小极大 ，4 分 （） 32 ( )( )(2)(ln)2f xg xxaxaxxxx 化为 易知lnxx， 2 2 ln xx a xx ，设 2 2 ( ) ln xx x xx 2 (1)(22ln ) ( ) (ln ) xxx x xx ，设( )22lnh xxx， 2 ( )1h x x ( )(1,2) ,(2,)h x 在， 2 min ( )(2)42ln0h xh ( )0x，( )1,)x在上是增函数， min ( )(1)1x 1a 9 分 （）由（）知： 2 ln(2)01axaxxx对恒成立， 令 2 1lnaxxx ，则， 1111 ln(1)1xx xxx - 9 - - 9 - 取12,2013xnnn,得 111111111 , ln(1)1 ln(2)12ln(2013)20122013nnnnnnnnn 相加得： 1111111 ()() ln(1)ln(2)ln(2013)112nnnnnnn 11112013 () 201220132013(2013)nnnnn n 14 分
