1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）复数 2 43 (2) i i （A）1 （B）1 （C）i （D）i （2）向量 (3,4),( ,2)xab ，若 |a ba，则实数x的值为 （A）1 （B） 1 2 （C） 1 3 （D）1 （3）已知随机变量 X 服从正态分布 N 2 (1,)，若 P(X2)0.72，则 P(X0) （A）0.22 （B）0.28 （C）0.36 （D）0.64 （4）在等差数列 n a 中， 13579 2()3()48a
2、aaaa， 则此数列的前10项的和 10 S （A）10 （B）20 （C）40 （D）80 （5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的 x 值与 输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （6）设函数( )3cos(2)sin(2)(|) 2 f xxx ， 且其图象关于直线0x 对称，则 （A）( )yf x的最小正周期为，且在(0,) 2 上为增函数 （B）( )yf x的最小正周期为，且在(0,) 2 上为减函数 （C）( )yf x的最小正周期为 2 ，且在(0,) 4 上为增函数 （D）( )yf x的最小正周期为 2 ，且在(0,) 4
3、 上为减函数 （7）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）6 （B）5.5 （C）5 （D）4.5 （8）下列叙述正确的个数是 l 为直线，、 为两个不重合的平面，若 l，则 l 若命题 2 000 ,10pxxxR：，则 2 ,10pxxx R： 在ABC 中，“A60”是“cosA 1 2 ”的充要条件 若向量 a，b 满足 a b0，则 a 与 b 的夹角为钝角 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 开始 输入 x 1 y x 输出 y 结束 y2x3 yx2 x5 x2 是 是 否 否 （第 5 题） 正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 2 3 （第 7 题） -
4、 2 - - 2 - （9）双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的两个焦点为 12 ,F F，若双曲线上存在一点P，满足 12 2PFPF，则双曲线离心率的取值范围为 （A）1,3 （B）13， （C）3 ， （D）3, （10）已知球的直径 SC4，A、B 是该球球面上的两点，AB 3，ASCBSC30 ，则 棱锥 SABC 的体积为 （A）3 3 （B）2 3 （C） 3 （D）1 （11）已知长方形 ABCD，抛物线以 CD 的中点 E 为顶点，经过 A、B 两点，记拋物线与 AB 边围成的封闭区域为 M 若随机向该长方形内投入一粒豆子， 落入区域 M 的概率为 p 则 下
5、列结论正确的是 （A）当且仅当 ABAD 时，p 的值最大 （B）当且仅当 ABAD 时，p 的值最小 （C）若 AB AD 的值越大，则 p 的值越大 （D）不论边长 AB，AD 如何变化，p 的值为定值 （12） 定义域为 R 的偶函数( )f x满足对x R， 都有(2)( )(1)f xf xf成立， 且当2,3x 时， 2 ( )21218f xxx 若函数( )log (1) a yf xx在0,上至少 有三个零点，则a的取值范围是 （A） 2 (0,) 2 （B） 3 (0,) 3 （C） 5 (0,) 5 （D） 6 (0,) 6 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13
6、 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答。 第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）已知点 P(x，y)的坐标满足条件 0, 0, 20, x y xy 则 z2xy 的最大值是_ （14）袋中装有分别编号为 1，2，3，4 的 4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球 的编号互不相同的取法有_种（用数字作答） （15）已知 P 是面积为 1 的ABC 内的一点（不含边界）,若PBC，PCA 和PAB 的面积 分别为, ,x y z，则 1xy xyz 的最小值是_ （16）已知等差数列 n a的首
7、项 1 a及公差d都是整数，前n项和为 n S，若 143 1,3,9aaS， 设2, n nn ba则 12n bbb_ - 3 - - 3 - 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且满足2 cos2bCac （）求 B； （）若 ABC 的面积为 3，求 b 的取值范围 （18） （本小题满分 12 分） 某学校对高三学生一次模拟考试的数 学成绩进行分析，随机抽取了部分学生 的成绩，得到如图所示的成绩频率分布 直方图 （）根据频率分布直方图估计这次考 试全校学生数学成绩的众
8、数、中位数和 平均值； （）若成绩不低于 80 分为优秀成绩， 视频率为概率，从全校学生中有放回的 任选 3 名学生，用变量 表示 3 名学生 中获得优秀成绩的人数，求变量 的分 布列及数学期望 E() （19） （本小题满分 12 分） 已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱） 111 ABCABC中，5,4,3ABACBC， 1 4AA ，点D在AB上 （）若D是AB中点，求证： 1 AC平面 1 BCD； （）当 1 5 BD AB 时，求二面角 1 BCDB的余弦值 分数 60 100 50 0.012 0.022 0.04 0.018 0.008 频率 组距 70 80 90 O A
9、A1 B C D B1 C1 - 4 - - 4 - （20） （本小题满分 12 分） 已知点 M、N 的坐标分别是 (2,0)、( 2,0)，直线PM、PN相交于点P，且它们 的斜率之积是 1 2 （）求点P的轨迹方程； （） 直线 l：ykxm与圆 O： 22 1xy相切， 并与点P的轨迹交于不同的两点 A、 B 当 6 4 | , ) 23 AB 时，求OA OB的取值范围 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )(2)(1)2ln( )， x f xa xxg xxe （aR，e 为自然对数的底数） （）当 a1 时，求( )f x的单调区间； （）若函数( )f x
10、在 1 (0, ) 2 上无零点，求 a 的最小值； （）若对任意给定的 0 0xe，在0e，上总存在两个不同的(1,2) i x i ，使得 0 ( )() i f xg x成立，求 a 的取值范围 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时 请写清题号。 （22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，AB是O 的直径，AC是O 的一条弦，BAC的平分线AD交O 于点D， DEAC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F （）求证：DE是O 的切线； （）若 3 5 AC AB ，求 AF DF 的值 A B O E C D
11、 F - 5 - - 5 - （23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的 正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： 2 2 2 2 xmt yt （t是参数） （）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程； （）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|14AB ，试求实数 m 值 （24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数( )214f xxx （）解不等式：( )0f x ； （）若( )34f xxm对一切实数 x
12、 均成立，求 m 的取值范围 - 6 - - 6 - 参考答案 一、选择题 CABCC BCBAC DB 二、填空题 13、4 14、32 15、3 16、 1 2nn 三、解答题 17解：由正弦定理得2sincos2sinsinBCAC， 在ABC中，sinsin()sincossincosABCBCCB， sin(2cos1)0CB，又0,sin0CC， 1 cos 2 B，注意到0, 3 BB 1 sin3,4 2 ABC SacBac ， 由余弦定理得 22222 2cos4bacacBacacac， 当且仅当2ac时，“”成立， 2b 为所求 18、 ()依题意可知 中位数：75，中
13、位数：75 55 0.1265 0.18+75 0.40+85 0.22+95 0.08=74.6 所以综合素质成绩的的平均值为 74.6 ()由频率分布直方图知优秀率为100008+0022 =03 （ ） .， 由题意知 3 (3,) 10 B， 3 3 37 ()() () 1010 kkk pkC 故其分布列为 p 0 1 2 3 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 9 分 39 ( )3 1010 E 19、证明： （1）证明：连结 BC1，交 B1C 于 E，DE 直三棱柱 ABC-A1B1C1，D 是 AB 中点， 侧面 B B1C1C 为矩形，
14、DE 为ABC1的中位线， DE/ AC1 因为 DE平面 B1CD， AC1平面 B1CD， AC1平面 B1CD （2） ACBC， 所以如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 则 B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4) 设 D (a, b, 0)（0a ，0b ） ， - 7 - - 7 - 点 D 在线段 AB 上，且 1 5 BD AB ， 即 1 5 BDBA 124 , 55 ab 所以 1 ( 3,0, 4)BC ，( 3,4,0)BA ， 12 4 (,0) 55 CD 平面 BCD 的法向量为1 , 0
15、 , 0n 设平面 B1 CD 的法向量为 2 ( , ,1)nx y， 由 12 0BC n， 2 0CD n， 得 340 124 0 55 xz xy ， 所以 4 ,4 3 xy ， 2 4 (,4,1) 3 n 设二面角 1 BCDB的大小为， 3 cos 13 a b a b 所以二面角 1 BCDB的余弦值为 3 13 20、 （）设( , )P x y，则 1 (2) 222 MPNP yy kkx xx ， 整理得 2 2 1(2) 2 x yx 4 分 （） 圆 O 与直线 l 相切， 2 | 1 1 m k ，即 22 1mk5 分 当直线l过M或N点时，有20km， 由
16、 22 20, 1, km mk 解得 1k ， 直线l与点P的轨迹交于不同的两点 A、B，且 M、N 不在点P的轨迹上， 1.k （1） 6 分 由 2 2 1 2 x y ykxm 消去 y,得 222 (12)4220kxkmxm ， - 8 - - 8 - 设 1122 ( ,),(,)A x yB x y ， 2 1212 22 422 , 1212 kmm xxxx kk ， 7 分 2222 12121212 |()()1()4ABxxyykxxx x 2 22 22 422 1()4 1 21 2 kmm k kk 将 22 1mk代入上式得 42 42 2() | 2 4()
17、 1 kk AB kk . 9 分 又 6 4 | , ) 23 AB ， 3 2 42 42 8() 4() 1 kk kk 16 9 ，得 42 42 42 42 8()16 4() 19 , 8()3 , 4() 12 kk kk kk kk 22 22 (2)(1)0, (21)(23)0, kk kk 2 1 1 2 k.（2） 由（1）和（2）得 2 1 1 2 k， 10 分 22 121212121212 ()()(1)()OA OBx xy yx xkxm kxmkx xkm xxm 2 22 22 224 (1) 1212 mmk kkmm kk ，将 22 1mk代入，得
18、 OA OB 2 22 111 (1) 12221 k kk 11 分 2 1 1 2 k OA OB 2 3 ( , . 3 4 12 分 21、解： （I）当 2 1,( )12ln ,( )1,af xxxfx x 时则 1 分 由( )0,2;fxx得由( )0,02.fxx得 故( )0,2 ,2,.f x的单调减区间为单调增区间为 3 分 （II）因为 1 ( )0(0, ) 2 f x 在区间上恒成立不可能， - 9 - - 9 - 故要使函数 1 ( )(0, ) 2 f x 在上无零点，只要对任意的 1 (0, ),( )0 2 xf x恒成立， 即对 12ln (0, ),
19、2 21 x xa x 恒成立。 4 分 令 2ln1 ( )2,(0, ), 12 x l xx x 则 22 22 (1)2ln2ln2 ( ), (1)(1) xxx xx l x xx 5 分 22 21 ( )2ln2,(0, ), 2 222(1) ( )0, m xxx x x m x xxx 再令 则 11 ( )(0, ),( )( )22ln20, 22 1 ( )0,( )(0, ) 2 m xm xm l xl x 故在上为减函数 于是 从而,于是在上为增函数, 1 ( )( )24ln2, 2 2ln 2,24ln2, 1 l xl x aa x 所以 故要使恒成立
20、只要 综上，若函数 1 ( )(0, ), 2 f x 在上无零点 24ln2.a则 的最小值为6 分 （III） 111 ( )(1), xxx g xexex e 1 (0,1),( )0,( ); 1,( )0, 0, e xg xg x xeg x 当时函数单调递增 当时函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e e 所以，函数( )0,0,1 .g xe在上的值域为 7 分 2,a 当时 不合题意; 2 (2)() 2(2)2 2 2,( )2,0, 2 ,( )0. 2 ,( )0, 当时 当时 由题意得在上不单调 a x a x a afxaxe xx
21、x xfx a f xe 故 22 0,2 2 即ea ae 9 分 此时，当,( ),( )xfxf x变化时的变化情况如下： - 10 - - 10 - 2 (0,) 2a 2 2a 2 , 2 e a ( )fx 0 + ( )f x 最小值 0 0 ,0 , ( ), 22 ()2ln, ( )(2)(1)2, 22 0,0,(1,2), ( )( ),: i i xf x faf ea e aa eex i f xg xa 又因为当时 所以,对任意给定的x在上总存在两个不同的 使得成立 当且仅当 满足下列条件 22 ()0,2ln0, 22 ( )1,(2)(1)21. fa aa
22、f ea e 即 22 ( )2ln,(,2), 2 2 ( )12ln2ln(2)1,( )0, 22 02, (,0),( )0,( ); 2 (0,2),( )0,( ). 2 ,(,2),( )(0)0, h aaa ae a h aah a aa aa ah ah a ah ah a e ah ah e 令 则令 得或 故当时函数单调递增 当时函数单调递减 所以 对任意有 即对任意 2 (,2)a e 恒成立。 10 分 由式解得： 3 2. 1 a e 综合可知，当 0 3 ,2,0, 1 axe e 时 对任意给定的 在0,(1,2), i ex i 上总存在两个不同的 使 0
23、( )() i f xg x成立。12 分 （22）解： （） 证明：连结OD，可得ODAOADDAC ODAE， 又AEDE DEOD，又OD为半径 DE是O 的切线 5 分 （）过 D 作 DHAB 于 H 则有DOH=CAB cosDOH=cosCAB= 3 5 AC AB 设 OD=5x，则 AB=10x，OH=3x，DH=4x AH=8x AD2=80x2 由AEDADB 可得 AD2=AE AB=AE 10x - 11 - - 11 - AE=8x 8 分 又由AEFDOF 可得 AFDF= AEOD = 8 5 ； AF DF = 8 5 10 分 （I）曲线 C 的极坐标方程是
24、4cos化为直角坐标方程为: 04 22 xyx 直线l的直角坐标方程为：mxy 5 分 （）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0） ，圆的半径 R=2， 圆心到直线 l 的距离 , 2 2 ) 2 14 (2 22 d 1|2| 2 2 2 |02| m m 1 m或3 m 10 分 解法二：把 ty mtx 2 2 2 2 （t是参数）代入方程04 22 xyx， 得04)2(2 22 mmtmt， mmttmtt4),2(2 2 2121 .14)4(4)2(2 4)(| 22 21 2 2121 mmm ttttttAB 1 m或3 m 10 分 24解： （1）当 x4 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+50 得 x-5 所以 x4成立 当4 2 1 x时，f(x)=2x+1+x-4=3x-30 得 x1，所以 1x0 得 x-5 所以 x1 或 x-5 （2）f(x)+43x=|2x+1|+2|x-4|9| )82(12|xx 当时等号成立4 2 1 x 所以 m9
