1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 一选择题一选择题（本大题共（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分。每小题只有一个正确选项）每小题只有一个正确选项） 1复数 i i z 1 )2( 2 （i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2命题甲：yx.2x或3y；命题乙：yx,5 yx，则甲是乙的 A.充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件； D.既不是充分条件，也不是必要条件. 3在长为 10 的线段 AB 上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面积介
2、于 25cm2与 49 cm2之间的概率为 （ ） A 5 1 B 5 2 C 5 4 D 10 3 4设a，b，c是空间三条直线，, 是空间两个平面，则下列命题中，逆命 题不成立的是 ( ) A.当c时，若c，则 B. 当b时，若b，则 C.当b，且 c 是 a 在内的射影时，若bc，则ab D.当b，且c时，c，则 bc 5在数列 n a中，若对任意的 n 均有 n a 1n a n a 2为定值 * ()nN，且 7 2a ， 9 3a ， 98 4a则数列 n a的前 100 项的和 S100 ( ) A132 B299 C68 D99 6执行如图所示的程序框图，输出的k值是 ( )
3、A3 B。4 C。5 D。6 7设等差数列 n a满足： 222222 333636 45 sincoscoscossinsin 1 sin() aaaaaa aa ， 公差( 1,0)d . 若当且仅当9n 时，数列 n a的前n项和 n S取得最大值，则首项 1 a的 取值范围是( ) A. 74 , 63 B. 43 , 32 C. 74 , 63 D. 43 , 32 8已知椭圆：)0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x 和圆O： 222 byx，过椭圆上一点P引圆O的两条 切线，切点分别为BA,. 若椭圆上存在点P，使得0PBPA，则椭圆离心率e的取值范 围是（ ） - 2
4、 - - 2 - A) 1 , 2 1 B。 2 2 , 0( C。 2 2 , 2 1 D。) 1 , 2 2 9如图，AB 是圆 O 的直径，C、D 是圆 O 上的点，CBA=60，ABD=45 CDxOAyBC，则xy （ ） A 3 3 B 1 3 C 2 3 D3 10 设函数)(xf的定义域为R,若存在常数0k,使 2013 | | )(| xk xf对一切实数x均成立,则称 )(xf为“好运”函数.给出下列函数: 2 )(xxf;xxxfcossin)(; 1 )( 2 xx x xf;13)( x xf. 其中)(xf是“好运”函数的序号为 . A 。 B。 C。 D。 二、二
5、、填空题：填空题： （本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 ，共，共 20 分。分。 ） 11 3 2 () n x x 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则它的常数项是 12已知 M，N 为平面区域 360 20 0 xy xy x 内的两个动点 向量a=（1，3）则MNa的最大值是 13设随机变量服从正态分布 N（3，4） ，若 P（2a3）P（a2） ，则 a 的值为 _. 14研究问题： “已知关于x的不等式0 2 cbxax的解集为（1，2） ，解关于x的不等式 0 2 abxcx” ，有如下解法：由0) 1 () 1 (0 22 x c x bacbxa
6、x，令 x y 1 ， 则) 1 , 2 1 (y， 所以不等式0 2 abxcx的解集为），（1 2 1 。 类比上述解法， 已知关于x的 不 等 式0 kxb xaxc 的 解 集 为( 2, 1)(2,3)， 则 关 于x的 不 等 式 0 1 1 1 cx bx ax kx 的解集为 . 三、选作题三、选作题：本小题：本小题 5 分。分。 15 （1） 若关于x的不等式|)32|12(|1|xxa的解集非空，则实数a的取值范围 是 。 - 3 - - 3 - （2）. 直线l的参数方程是 24 2 2 2 2 ty tx （其中t为参数） ，圆C的极坐标方程为 ) 4 cos(2 ，
7、过直线上的点向圆引切线， 则切线长的最小值是 。 四、四、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。分。 16 （本小题满分 12 分） 设函数axxxxf 2 coscossin3)(. （）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （）当 3 , 6 x时，函数)(xf的最大值与最小值的和为 2 3 ，求)(xf的解析式； （）将满足（）的函数)(xf的图像向右平移 12 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，再向下平移 2 1 ，得到函数)(xg，求)(xg图像与x轴的正半轴、直线 2 x所围成图形 的面积。 17. （本小题满分 12 分） 在 2013 年
8、全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从 6 道备选 题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中 2 题 的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答，2 题不能回答；考生乙每题正确回 答的概率都为2 3，且每题正确回答与否互不影响 (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力 18 (本小题满分12分) 已知几何体BCDEA的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形 ()求此几何体的体积； ()求异面直线DE与AB
9、所成角的余弦值； ()探究在DE上是否存在点Q，使得BQAQ ，并说明理由 - 4 - - 4 - 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xx， 若存在( )g x使得 g xf x恒成立， 则称 g x 是( )f x的一个 “下界函数” (I)如果函数 ln t g xx x （t 为实数）为 f x的一个“下界函数” ， 求 t 的取值范围； （II）设函数 12 x F xf x eex ，试问函数 xF是否存在零点，若存在，求出零点个 数；若不存在，请说明理由 20. （本小题满分 13 分） 已知点F是椭圆)0( 1 1 2 2 2 ay a x 的右焦点， 点( ,0
10、)M m、(0, )Nn分别是x轴、y 轴上的动点，且满足0NFMN若点P满足POONOM 2 ()求点P的轨迹C的方程； ()设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点， 直线OA、OB与直线ax分 别交于点S、T（O为坐标原点） ，试判断FS FT是否为定值？若是，求出这个定值；若不 是，请说明理由 - 5 - - 5 - 21 （本小题满分 14 分） 已知 A(,)， B(,)是函数 的图象上的任意两点 （可以重合） ， 点 M 在直线上，且. （1）求+的值及+的值 （2）已知，当时，+，求； （3）在（2）的条件下，设=，为数列的前项和，若存在正整数、， 使得不等式成立，求和的值
11、. - 6 - - 6 - 参考答案参考答案 三、选作题三、选作题：本小题：本小题 5 分。分。 15.(1) , 53,; 15.(2) 26 三、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。分。 16.（本小题满分 12 分） 设函数axxxxf 2 coscossin3)(. （）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （）当 3 , 6 x时，函数)(xf的最大值与最小值的和为 2 3 ，求)(xf的解析式； - 7 - - 7 - （）将满足（）的函数)(xf的图像向右平移 12 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，再向下平移 2 1 ，得到函数)(xg
12、，求)(xg图像与x轴的正半轴、直线 2 x所围成图形 的面积。 解（） 2 1 ) 6 2sin( 2 2cos1 2sin 2 3 )( axa x xxf ， （2 分） T. 由 kxk2 2 3 6 22 2 ，得 kxkx 3 2 6 . 故函数)(xf的单调递减区间是)( 3 2 , 6 Zkkk . （6 分） （2）1) 6 2sin( 2 1 . 6 5 6 2 6 , 36 xxxQ. 当 3 , 6 x时，原函数的最大值与最小值的和 2 3 ) 2 1 2 1 () 2 1 1aa（， 2 1 ) 6 2sin()(, 0 xxfa. （8 分） （3）由题意知xxgs
13、in)( （10 分） 2 0 2 0 |cossin xxdx=1 （12 分） 17. （本小题满分 12 分） 在全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从 6 道备选题中一 次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中 2 题的便可 通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答，2 题不能回答；考生乙每题正确回答的概 率都为2 3，且每题正确回答与否互不影响 (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力 解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为 、，则 的可能
14、取值为 1，2，3，P( 1)C 1 4C 2 2 C36 1 5，P(2) C24C12 C36 3 5，P(3) C34C02 C36 1 5， 考生甲正确完成题数的分布列为 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 E1 1 52 3 53 1 52.（4 分） 又 B(3，2 3)，其分布列为 P(k)C k 3 (2 3) k (1 3) 3k，k0，1，2，3；Enp32 32.（6 分） (II)D(21)2 1 5(22) 23 5(23) 21 5 2 5， Dnpq3 2 3 1 3 2 3， （8 分） DP(2) （10 分） 从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从
15、回答对题数的方差考查，甲较稳定；从 至少完成 2 题的概率考查， 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验通过能力较强（12 分） 18 (本小题满分12分) 已知几何体BCDEA的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形 ()求此几何体的体积； ()求异面直线DE与AB所成角的余弦值； ()探究在DE上是否存在点Q，使得BQAQ ，并说明理由 解 ： （ ） 由 该 几 何 体 的 三 视 图 可 知AC垂 直 于 底 面B CE D， 且 4ACBCEC，1BD， 104) 14( 2 1 BCED S， 3 40 410 3 1 3 1 AC
16、SV BCED ， 此几何体的体积为 3 40 ； 3 分 解法一： （）过点B作EDBF/交EC于F，连接AF，则FBA或其补角 即 为 异 面 直 线DE与AB所 成 角 ， 在BAF中 ，24AB， 5916 AFBF， 5 22 2 cos 222 ABBF AFABBF ABF；即异面直线DE与AB所成角的余弦值 为 5 22 。 7 分 （）在DE上存在点 Q，使得BQAQ ；取BC中点O，过点O作DEOQ 于 点Q，则点Q为所求点； A B C D E F - 9 - - 9 - 连接EO、DO，在ECORt和OBDRt中， 2 BD OB CO EC ，ECORtOBDRt，
17、BODCEO， 0 90CEOEOC， 0 90DOBEOC， 0 90EOD， 52 22 COCEOE，5 22 BDOBOD， 2 5 552 ED ODOE OQ， 以O为圆心，BC为直径的圆与DE相切，切点为Q，连接BQ、CQ，可得CQBQ ； ACBCED平面，BCEDBQ ，BQAC ，ACQBQ ， AQACQ 平面，BQAQ ； 12 分 解法二： （）同上。 （）以C为原点，以CA、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立 如图所示的空间直角坐标系，则)0 , 0 , 4(A，)0 , 4 , 0(B，) 1 , 4 , 0(D， )4 , 0 , 0(E，得) 3 , 4,
18、0( DE，)0 , 4 , 4(AB， 2 2 cos, 5 DE AB DE AB DEAB ，又异面直线DE与AB所成 角为锐角，可得异面直线DE与AB所成角的余弦值为 5 22 。 （）设存在满足题设的点Q，其坐标为), 0(nm， 则), 4(nmAQ，), 4, 0(nmBQ，)1 ,4 , 0(nmQD， BQAQ ，0)4( 2 nmm ； 点Q在ED上，存在)0(R使得QDEQ， 即)1 ,4 , 0()4, 0(nmnm，化简得 1 4 m， 1 4 n ， 代入得 2 2 )1 ( 16 ) 1 4 ( ，得0168 2 ，4； A B C D E x y z - 10
19、- - 10 - 满足题设的点Q存在，其坐标为) 5 8 , 5 16 , 0(。 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xx， 若存在( )g x使得 g xf x恒成立， 则称 g x 是( )f x的一个 “下界函数” (I)如果函数 ln t g xx x （t 为实数）为 f x的一个“下界函数” ， 求 t 的取值范围； （II）设函数 12 x F xf x eex ，试问函数 xF是否存在零点，若存在，求出零点个 数；若不存在，请说明理由 解： （）lnln t xx x 恒成立，0x ，2 lntxx， 2 分 令( )2 lnh xxx，则 ( ) 2(1ln
20、)h xx， 4 分 当 1 (0, )x e 时， ( ) 0h x ，( )h x在 1 (0, ) e 上是减函数，当 1 ( ,)x e 时， ( ) 0h x ， ( )h x在 1 ( ,) e 上是增函数， min 12 ( )( )h xh ee 2 t e 6 分 （）由（I）知， 2 2 lnxx e 1 ln x ex exe xfxF x 21 ， 12111 1 ln() xxx x F xx exexx eeee ， 令 1 x x G x ee ，则 1 xexG x ， 8 分 则(0,1)x时， 0Gx ， ( )G x上是减函数，(1,)x时， 0Gx ，
21、( )G x上是增函数， ( )(1)0G xG， 10 分 12111 1 ln()0 xxx x F xx exexx eeee ，中等号取到的条件不 同， 0F x，函数 F x不存在零点. 12 分 20. （本小题满分 13 分） 已知点F是椭圆)0( 1 1 2 2 2 ay a x 的右焦点， 点( ,0)M m、(0, )Nn分别是x轴、y - 11 - - 11 - 轴上的动点，且满足0NFMN若点P满足POONOM 2 ()求点P的轨迹C的方程； ()设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点， 直线OA、OB与直线ax分 别交于点S、T（O为坐标原点） ，试判断FS F
22、T是否为定值？若是，求出这个定值；若不 是，请说明理由 解：() 椭圆)0( 1 1 2 2 2 ay a x 右焦点F的坐标为( , 0)a， (1 分) ( ,)NFan(, )MNm n ， 由0NFMN，得0 2 amn (2 分) 设点P的坐标为),(yx，由POONOM 2，有( ,0)2(0, )(,)mnxy ， . 2 , y n xm 代入0 2 amn，得axy4 2 (4 分) （）解法一：设直线AB的方程为xtya， 2 1 1 (,) 4 y Ay a 、 2 2 2 (,) 4 y By a ， 则x y a ylOA 1 4 :，x y a ylOB 2 4 :
23、 (5 分) 由 ax x y a y, 4 1 ，得 2 1 4 (,) a Sa y ， 同理得 2 2 4 (,) a Ta y (7 分) 2 1 4 ( 2 ,) a FSa y ， 2 2 4 ( 2 ,) a FTa y ，则 4 2 12 16 4 a FS FTa y y (8 分) 由 axy atyx 4 , 2 ，得044 22 aatyy， 2 12 4y ya (9 分) 则044 )4( 16 4 22 2 4 2 aa a a aFTFS (11 分) 因此，FS FT的值是定值，且定值为0 (13 分) 解法二：当ABx时， ( , 2 )A aa、( ,2
24、)B aa，则:2 OA lyx， :2 OB lyx 由 2 ,yx xa 得点S的坐标为(,2 )Saa，则( 2 ,2 )FSaa - 12 - - 12 - 由 2 ,yx xa 得点T的坐标为(, 2 )Taa，则( 2 , 2 )FTaa ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 20FS FTaaaa (6 分) 当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为()(0)yk xak，), 4 ( 1 2 1 y a y A、 ), 4 ( 2 2 2 y a y B，同解法一，得 4 2 12 16 4 a FS FTa y y (8 分) 由 2 (), 4 yk xa yax ，得 22 4
25、40kyayka， 2 12 4y ya (9 分) 则044 )4( 16 4 22 2 4 2 aa a a aFTFS (11 分) 因此，FS FT的值是定值，且定值为0 (13 分) 21.（本小题满分 14 分） 已知 A(,)， B(,)是函数 的图象上的任意两点 （可以重合） ， 点 M 在 直线上，且. （1）求+的值及+的值 （2）已知，当时，+，求； （3）在（2）的条件下，设=，为数列的前项和，若存在正整数、， 使得不等式成立，求和的值. 解。 （）点 M 在直线 x=上，设 M. 又，即， +=1. 当=时，=，+=； - 13 - - 13 - 当时， +=+= = 综合得，+. 3 分 （）由（）知，当+=1 时, + ，k=. n2 时，+ ， ， 得，2=-2(n-1),则=1-n. 当 n=1 时，=0 满足=1-n. =1-n. 7 分
