1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 （时间：1 2 0 分钟,分数：1 5 0 分） 第 I 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1已知复数 22 cossin 33 zi （i 为虚数单位） ，则 3 z的虚部为 A-1 B0 Ci Dl 2已知集合 * |2 , |2 , n Ax xnNBx xn nN，则下列不正确的是 AAB BABA C() Z BA DABB 3若实数 1 1 e adx x 则函数( )sincosf xaxx的图像的一条对称轴方程为 Ax=0 B 3
2、 4 x C 4 D 5 4 x 4甲乙丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中选。甲选修 2 门，乙丙各选修 3 门，则不同的选 修方案共有 A36 种 B48 种 C96 种 D1 92 种 5已知不共线向量, ,2,3, .()1,a b aba ba则ba A3 B2 2 C7 D23 6若 22* 1 ( )1, ( )1, ( ), 2 f nnn g nnnnnN n ，则( ), ( ), ( )f n g nn的大小 关系 A( )( )( )f ng nn B( )( )( )f nng n C( )( )( )g nnf n D( )( )( )g nf nn 7从一个正
3、方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ） A64 B122 3 C188 3 D 47 6 8执行如图所示的程序框图，若输出 a= 341，判断框内应填写（ ） Ak4? Bk5? Ck6? Dk0） 的焦点 F 的直线 xmy+m=0 与抛物线交于 A， B 两点， 且OAB （O 为坐标原点）的面积为 22，则 m6+ m4的值为（ ） A1 B 2 C2 D4 11平行四边形 ABCD 中，ABBD=0，沿 BD 折成直二面角 A 一 BDC，且 4AB2 +2BD2 =1， 则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A 2 B 4 C 48 D 2 2
4、4 12已知 R 上的函数 y=f（x） ，其周期为 2，且 x（-1,1时 f（x）=1+x2，函数 g（x） = 1 sin(0) 1 1,(0) x x x x ，则函数 h（x）=f（x）g（x）在区间-5,5上的零点的个数为（ ） A11 B10 C9 D8 第卷 本卷分为必做题和选做题两部分，1321 题为必做题，22、23、24 为选考题。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 410 1 () 4 x 的展开式中常数项的值是 （数字作答） ； 14 已 知 2 2 ()3 (),() 3 fxxfxxfx的 图 像 在 点 22 ( ,( ) 3
5、3 f处 的 切 线 斜 率 是 ； 15ABC 中， 222 sinsin2sinABC，则C 最大值为_ ； 16下列若干命题中，正确命题的序号是 。 “a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y 一 a+7 =0 平行的充分不必要条件； ABC 中，若 acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形； 两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线； 对于命题:PxR 使得 2 10xx ，则:,pxR 均有 2 10xx - 3 - - 3 - 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、或演算步骤） 17 （12 分）已知
6、等差数列 n a中，首项 a1=1，公差 d 为整数，且满足 1324 3,5,aa aa 数列 n b满足 1 1 . n nn b a a 前 n b项和为 n S （1）求数列 n a的通项公式 an； （2）若 S2为 Sl， * () m SmN的等比中项，求正整数 m 的值 18 （12 分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的 4S 店进行，某地大众 汽车 4S 店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记所需 的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下： 登记所需时间（分） 1 2 3 4 5 频率 01 04
7、03 01 01 从第个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率） ， （l）估计第三个车主恰好等待 4 分钟开始登记的概率： （2）X 表示至第 2 分钟末已登记完的车主人数，求 X 的分布列及数学期望 19 （12 分）如图所示，四面体 ABCD 中，ABBD、ACCD 且 AD =3BD=CD=2 （1）求证：ADBC； （2）求二面角 BACD 的余弦值 20 （12 分）若椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆的离心率为2： 2 （1）过点 C（-1,0）且以向量(1, )(0)ak k为方向向量的直线l交椭圆于不同两点 A、 B，若2ACC
8、B，则当OAB 的面积最大时，求椭圆的方程。 （2）设 M，N 为椭圆上的两个动点，OMON，过原点 O 作直线 MN 的垂线 OD，垂 足为 D，求点 D 的轨迹方程 21 （12 分）已知函数 f（x）=1n（2ax+1）+ 3 3 x x 22ax（aR） （1）若 y=f（x）在4，+）上为增函数，求实数 a 的取值范围； （2）当 a= 1 2 时，方程 f（1x）= 3 (1) 3 xb x 有实根，求实数 b 的最大值 ， - 4 - - 4 - 【选考题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答 时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选
9、题目对应的题号涂黑 22 （10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，ABC 内接于O，AB =AC，直线 MN 切O 于点 C，弦 BDMN，AC 与 BD 相交 于点 E （1）求证：ABEACD； （2）若 AB =6，BC =4，求 AE 23 （10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为 2 2 2 2 3 2 xt yt （t 为参数） 。在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以 原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为2 3sin。 （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线l交于点 A，
10、B，若点 P 的坐标为（2，3） ，求|PA|+|PB| 24 （10 分）选修 45，不等式选讲 已知函数 f（x）=|x+l|，g（x）=2|x|+a （1）当 a=0 时，解不等式 f（x）g（x） ； （2）若存在 xR，使得 f（x）g（x）成立，求实数 a 的取值范围 - 5 - - 5 - 参考答案 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C A B C C D C A C 二、 13. 45 14. -1 15. 0 60 16. （1） （3） （4） 三、解答题 17解： （1）由题意，得 11 11 32 , 53 ,
11、 aad adad 解得 3 2 d 5 2 又 dZ，d = 2an=1+(n1)2=2n1 4 分 （2） 1 11 (21)(21) n nn b aann 111 () 2 2121nn ， 111111 (1)()() 23352121 n S nn 11 (1) 22121 n nn 10 分 1 1 3 S ， 2 2 5 S ， 21 m m S m ，S2为 S1，Sm(m N)的等比中项， 2 21m SS S，即 2 21 53 21 m m ， 解得 m=1212 分 18解：设 Y 表示车主登记所需的时间，用频率估计概率，Y 的分布如下： Y 1 2 3 4 5 P
12、0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （1）A 表示事件“第三个车主恰好等待 4 分钟开始登记”，则事件 A 对应三种情形： （1）第一个车主登记所需时间为 1 分钟，且第二个车主登记所需的时间为 3 分钟； （2）第一个车主登记所需的时间为3 分钟，且第二个车主登记所需的时间为1 分钟； （3）第一个和第二个车主登记所需的时间均为 2 分钟。 所以)2()2() 1()3()3() 1()(YPYPYPYPYPYPAP 22. 04 . 04 . 01 . 03 . 03 . 01 . 06 分 （2）X 所有可能的取值为：0,1,2.X=0 对应第一个车主登记所需的时间超过 2 分钟，所
13、 以5 . 0)2()0(YPXP；X=1 对应第一个车主登记所需的时间为 1 分钟且 第二个车主登记所需时间超过 1 分钟，或第一个车主登记所需的时间为 2 分钟， 所以)2() 1() 1() 1(YPYPYPXP49. 04 . 09 . 01 . 0；X=2 对应两个 车主登记所需的时间均为1 分钟，所以01. 01 . 01 . 0) 1() 1()2(YPYPXP； 10 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 - 6 - - 6 - 51. 001. 0249. 015 . 00EX.12 分 19 （1）证明 作 AH平面 BCD 于 H，连接
14、 BH、CH、DH， 易知四边形 BHCD 是正方形，且 AH1，以 D 为原 点，以 DB 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴， 以垂直于 DB，DC的直线为 z 轴，建立空间直角坐 标系， 如图所示， 则B(2,0,0)， C(0,2,0)， 0,0,0D A(2,2,1)， 2分 所以BC 2,2,0，DC0,2,02,0, 1AC ，2,2,1DA4 分 因此BC DA 440 ，所以 ADBC. 6 分 （2）解：设平面 ABC 的法向量为 n1(x，y，z)，则由 n1BC 知：n 1 BC 220xy 同理由 n1AC 知：n 1 AC 20xz， 可取 n11,12，
15、 同理，可求得平面 ACD 的一个法向量为 2 1,0,2n 10 分 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 1430 665 即二面角 BACD 的余弦值为 30 6 12 分 20解： （1） 22 21 22 eba，设椭圆的方程为 222 2xya 依题意，直线l的方程为：(1)yk x 由 22222 222 (1) ,(1 2)420 2 yk x kxk xka xya 设 2 112212 2 4 ( ,), (,) 12 k A x yB xyxx k 12 223ACCBxx 2 1 2 2 2 2 32 12 32 12 k x k k x k 4 分 1212
16、2 31333 2 (0) 1 221242 2 2 ABC kk Syyxxk k k k - 7 - - 7 - 当且仅当 23 2 24 ABC kS 时，取最大值 此时 22 2 (12)51 5 5 2 xy Aa ，椭圆方程为 6 分 （2）设点D的坐标为 00 ()xy， 当 0 0y 时，由ODMN知，直线MN的斜率为 0 0 x y ，所以直线MN的方程为 0 00 0 () x yxxy y ，或ykxm，其中 0 0 x k y ， 2 0 0 0 x my y 点 1122 ( ,)(,)M x y N xy的坐标满足方程组 222 2 ykxm xya ， 得 222
17、 2()xkxma，整理得 2222 (12)420kxkmxma， 于是 12 2 4 12 km xx k ， 22 12 2 2 12 ma x x k 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm 22222 22 222 24 121212 makmma k kkmm kkk 由OMON知 1212 0x xy y 2222 2 3 0 12 maa k k ， 222 3(1)mak将 2 00 0 00 xx kmy yy ， 代入上式，整理得 222 00 1 3 xya 10 分 当 0 0y 时，直线MN的方程为 0 xx， 1122 (
18、,)(,)M x y N xy的坐标满足方程组 0 222 2 xx xya ， 所以 120 xxx， 22 0 1 2 2 ax y ， 由OMON知 1212 0x xy y，即 22 2 0 0 0 2 ax x ， 解得 22 0 1 3 xa 11 分 - 8 - - 8 - 这时，点D的坐标仍满足 222 00 1 3 xya 综上，点D的轨迹方程为 222 1 3 xya12 分 21解： （1）因为函数( )f x在4,上为增函数，所以 22 21 442 0 21 xaxa xa fx ax 在4,上恒成立。 当0a 时， (2)0fxx x在4,上恒成立，所以( )f x
19、在4,上为增 函数，故0a 符合题意。 当0a 时，由函数( )f x的定义域可知，必须有210ax 在4,上恒成立， 故只能0a ，所以 22 21 4420axa xa在4,上恒成立。 （4 分） 令函数 22 21 442g xaxa xa，其对称轴为 1 1 4 x a ，因为0a ， 所以 1 11 4a ，要使 0g x 在4,上恒成立，只要 40g即可，即 2 441620gaa ， 所 以 432432 22 a ， 因 为0a ， 所 以 432 0 2 a 综上所述，a的取值范围为 43 2 0, 2 （6 分） （2）当 1 2 a ，方程 3 1 (1) 3 xb fx
20、 x 可化为 2 ln11 b xxx x 。问题转 化为 2 23 ln11lnbxxxxxxxxxx在0,上有解，即求函数 23 lnyxxxx的值域。令函数 2 ln(0)h xxxxx （10 分） 则 21 11 1 2 xx h xx xx ，所以当01x时， 0h x ，函数 h x在 0,1上为增函数，当1x 时， 0h x ，函数 h x在1,上为减函数，因此 10h xh。而0x ，所以 0bx h x，因此当1x 时，b取到最大值0。 - 9 - - 9 - 12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 解:（）在 ABE 和 ACD 中， ACAB
21、ABE=ACD2 分 又，BAE=EDC BD/MN EDC=DCN 直线是圆的切线，DCN=CAD BAE=CAD ABE ACD（角、边、角） 5 分 （）EBC=BCM BCM=BDC EBC=BDC=BAC BC=CD=4 又 BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8 分 设 AE=x，易证 ABEDEC xDE AB DC x DE 3 2 6 4 又 xECEDBEECAE 6 3 10 )6( 3 2 4 xxxx 10 分 23 （）由2 3sin得 22 (3)3xy 4 分 （）将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 22 22 (2)()3 22 tt， 即 2 2 210tt 由于0 ，故可设 12 ,t t是上述方程的两实根， 所以 12 12 2 2 1 tt t t 故由上式及 t 的几何意义得： |PA|+|PB|= 12 | t |+|t |= 12 t +t =2 2。 10 分 24解： 22 1 122141 3 xxxxxx 所以解集为 1 ,1 3 5 分 （1）即xR ，使得12xxa 成立，令( )12h xxx ，则 max ( )ah x 1,0 ( )31, 10 1,1 x x h xxx xx ， 所以,1a 。 10 分
