1、 两角和正弦公式的折纸证法两角和正弦公式的折纸证法教学设计教学设计 中山市南朗理工学校中山市南朗理工学校 张贺珍张贺珍 一、折纸教学背景一、折纸教学背景 二、教材分析二、教材分析 中职类学生数学基础极其薄弱，数学学习兴趣严重缺乏。实际上 数学是有趣的，数学是在实践活动中提炼出来的，让数学回归到实践 活动中可以激发他们对数学的学习热情，也有利于培养他们的实践创 新能力。 折纸活动之中蕴含大量的数学知识，非常适合在操作实践中学习 数学。折纸的直观功能让数学变得生动形象，而数学也为折纸提供了 广泛的理论基础， 因而折纸与数学有密切关系。 折纸让学生在“学中做、 做中学”，让学生亲身参与问题的探索、分
2、析和研究思考的过程。 目前我校正在开展中职折纸数学教学实践的课题研究，从高 一开始进行针对中职生的初高中知识衔接，然后逐步地寻找折纸与高 中知识的结合点，目前我校所开展的折纸课已成为一个系统（参看附 录 1） 经过两年的教学实践，课题研究已初现成效：学生对于数学每每 谈起都不再是谈虎色变，而是兴致满满。他们每每遇到数学课都会期 待与折纸相遇，显然折纸能激发学生学习数学的欲望，目前发现折纸 也能增强学生的思维创造能力和实践操作能力，尤其是在折纸课后期 的折纸工艺创作中学生思维非常活跃。 由此我认为在中职学校开展折纸教学有可推广性。依托于我校的 课题研究，我将本次说课的课题定为引入两角和正弦公式的
3、折纸证法。 两角和的正弦公式是中等职业教育课程改革国家规划新教材 数 学拓展模块第一章第 1 节的内容，是三角函数诱导公式之后，学习 的又一组重要的三角公式之一。 该公式的证明需由两角差的余弦公式 以及诱导公式进行证明， 而两角差的余弦公式需由两角和的余弦公式 和诱导公式进行推导， 两角和的余弦公式的证明又需要三角函数的定 义，角的终边与单位圆的交点坐标，向量的坐标表示以及向量的数量 积的两种表示方法。显然想要完整地证明两角和的正弦公式，对大多 数中职学生来说就是一种挑战，本节课旨在利用折纸剪拼法，让学生 通过自己的思考、 分析与探究， 最终直观地表达出两角和的正弦公式。 【教学目标】 1、认
4、知目标：能够通过已有的折纸经验去思考数学知识的折纸 表达方法，并通过折纸证明两角和的正弦公式。 2、能力目标：培养学生的动手能力、观察能力、思考能力和创 造性思维能力。 3、情感目标：体验折纸表达数学知识的成就感，激发学生通过 折纸深入学习数学的兴趣。 【教学重点和难点】 重点：两角和的正弦公式及其折纸剪拼法证明； 难点：如何引导学生思考折纸剪拼证明两角和的正弦公式。 三、学情分析三、学情分析 四、教法与学法指导四、教法与学法指导 授课班级为 14 设计班，该班学生男女生比例为 3:2， 总体活泼好动，数学基础薄弱，尤其不喜欢纯理论的数学 教学。但他们拥有较好的美术功底，由于折纸与艺术设计 之
5、间有相通之处，所以他们很喜欢我所开设的折纸数学课 程。他们从高一开始接触折纸数学课程，已经有了较好的 折纸数学探究学习的功底，并在长期的折纸数学探究学习 中，大幅度提升了他们初中数学与折纸相关的理论知识， 学生的动手操作能力也越来越强。 鉴于折纸数学教学以探究学习为主，小组合作探究是 比较好的组织学习形式。为此，我制定了数学课堂的分组 座位表，注重男女生以及性格的搭配，以活泼带动沉闷的 学生，以积极带动消极的学生。 教法指导：在教法上，我主要采取问题教学法，尝试教学法，活动教学法。 本节课全程教学中都采取问题引发思考，思考伴随探究，活动引领学习的教学模 式。利用折纸这一载体将数学与操作实践结合
6、在一起，将数学课堂变得生动活泼， 符合中职设计专业学生的认知特长，也达到了提高创新意识的情感目标。另外也 达到了提高学生的观察与实践能力的教学目标。 学法指导：课前，要求学生回顾折纸教学中曾提到关于角的正余弦的表达， 勾股定理的折纸政法，两角和正弦公式的表达。 课上，我把时间充分地留给学生进行合作交流、操作实践、讨论分析，而教 师只作为引导者的角色，协助学生抽丝剥茧突破本课的重难点，真正地体现以生 为本。看到学生都在积极地动手参与，讨论分析，连平时较为内向的学生也积极 地参与到课堂中。 课上，我也充分地利用多媒体课件，视频资料等教学手段来整合课堂，激发 学生的学习兴趣。 五、教学过程五、教学过
7、程 环 节 教学内容 操作思路与师生互动 设计意图 复 习 回 顾 1、回忆两角和的正弦公式； 2、分析公式中的一些特点. 1、老师提问，学生回答 2、老师根据学生的回答进行补充 为下一个环节提 供必要的知识储备。 a b c A B C y x MO P 探 究 1 1、 从上述公式中可以看出， 要 想通过折纸证明它，必须在折 纸上表现出sin，cos； 2、 围绕利用矩形折纸表现 sin，cos展开课堂学习. 1、若学生能通过自己的讨论、 分析、 尝试解决问题， 教师就只需做陪伴者即可； 2、若学生不能够解决问题，则根据学生讨论、分析、尝试所达 到的情况进行有梯度的问题提示，教师做学生的引
8、领者； 3、问题提示（视学生情况有选择地提示） ； 1）想一想初中接触sin，cos时，通过什么图形介绍的？ 2）既然直角三角形使我们接触sin，cos的第一站，那 么我们就思考一下如何才能利用直角三角形直观地表 达出sin，cos？ 3）结合一下我们高中学习三角函数时曾经提到三角函数 线的内容去思考问题 2； 4、动一动，结合上述大家的所思所想所做，同学们一起尝试在折纸上表现出 sin，cos. A DC AB N O DC AB N O 注：如图可以折出一个直角三角形，我们可以假设 ON=1，设AON,则sinAN、 cosAO 1、教师尽可能作为陪 伴者、 引导者的角色与 学生一同完成本
9、环节； 2、充分彰显学生的主 体性，让学生有所思， 有所动，有所悟； 3、问题引发讨论，讨 论引发思考， 思考引发 操作探究， 操作探究引 发新思路， 让学生有一 个开阔的思维； 4、小组内的合作与小 组间的思维碰撞让课 堂变得生动。 探 究 2 1、从探究 1 中我们我们知道需 要借助折纸上的直角折出一个 直角三角形，并假设直角的斜 边为 1， 其中一个锐角为，则 两条直角边恰好表示出sin， cos； 2、我们继续分析回忆两角和的 正弦公式，在公式中我们还看 到了sin，cos， 接下来我们 需要思考如何在折纸上表现出 cossin，sincos； 3、围绕在矩形折纸上如何表现 出coss
10、in，sincos展 开本环节的教学. 1、 若学生能通过自己的讨论、 分析、 尝试解决问题， 教师就只需做陪伴者即可； 2、若学生不能够解决问题，则根据学生讨论、分析、尝试所达到的情况进行有 梯度的问题提示，教师做学生的引领者； 3、问题提示（视学生情况有选择地提示） ： 1）在一张折纸中同时表现出sin，cos，sin，cos并不困难，只需要折 出两个斜边相同（斜边长均设为 1 即可）的形状略有不同的直角三角形即可， 两个直角三角形的直角边就可以表示出sin，cos，sin，cos；但是如何 能表现出cossin，sincos？请同学们思考； 2）大家可以回忆一下我们曾经讲过勾股定理的折纸
11、证法，其中曾经提到过乘方 在折纸的表达中用到了正方形面积，而这里我们用线段长分别表达了sin， cos，sin，cos，那么我们该怎样表现cossin， sincos？ 3）请大家思考仅有两个斜边相同（斜边长 均设为 1 即可） 的形状略有不同的直角三角 形能否同时表现出cossin，sincos （可借助勾股定理的折纸证法进行思考） ？ 4、动一动，结合上述大家的所思所想所做， 同学们一起尝试用折纸表现出cossin， sincos. 1、 教师的引导与组内 互动、组间碰撞、师生 互动， 让课堂教学内容 自然生成； 2、 整个环节教学的流 程由问题引发讨论， 讨 论引发思考， 思考引发 操作
12、探究， 操作探究引 发新思路； 3、 焕发学生学习数学 的热情，变“要我学” 为“我要学” ； G DC N E AB K M 探 究 3 1、 从探究 2 中我们知道直接 用折纸剪出四个斜边相等（均 设为 1） 且两组全等的直角三角 形，就可以拼出cossin， sincos，现在老师提出一 个问题：如何利用矩形折纸折 出四个满足要求的直角三角 形？ 2、 围绕在矩形折纸上折出四 个满足要求的直角三角形展开 本环节的教学. 1、 若学生能通过自己的讨论、 分析、 尝试解决问题， 教师就只需做陪伴者即可； 2、若学生不能够解决问题，则根据学生讨论、分析、尝试所达到的情况进行有 梯度的问题提示，
13、教师做学生的引领者； 3、问题提示（视学生情况有选择地提示） ： 1）假设通过折叠在折纸上获得满足条件的四个斜边相等的直角三角形，且这四 个直角三角形的斜边恰好围成一个图形，那么这个图形是什么图形？ 学生回答：四个边相等的四边形叫做菱形 2） 菱形有哪些判定性质？ 如：菱形的对角线互相垂直等； 3）请同学们利用菱形的对角线互相垂直折出满足条件的四个直角三角形；4） 如果仍然不能折出，请参考勾股定理的折纸证法，我们曾用正方形折出四个全 等的直角三角形，想想它能为我们带来哪些提示？ 如：四个直角三角形的直角来自于折纸的四个直角；折叠过程中需要想找到折 纸的中心；通过折纸的中心任意折叠获得一条经过折
14、纸一组对边的折痕，并将 折痕进行对折获得第二条折痕等等； 5）动一动，结合上述大家的所思所想所做，同学们一起尝试用折纸折出四个斜 边相等（均设为 1）且两组全等的直角三角形，并予以证明.(此处可以观看微视 频) 附图： 1、 教师的引导与组内 互动、组间碰撞、师生 互动， 让课堂教学内容 自然生成； 2、整个环节教学的流 程由问题引发讨论， 讨 论引发思考， 思考引发 操作探究， 操作探究引 发新思路； 3、焕发学生学习数学 的热情，变“要我学” 为“我要学” ； O DC AB F O DC AB E 图 1 图 2 H G F O DC AB E H G F O DC AB E 图 3 图
15、 4 探 究 4 1、 探究 3 中我们已经折出了 四个斜边相等（均设为 1）且两 组全等的直角三角形，并且很 容易看出它们的斜边一起围成 了 1 个菱形； 2、 探究 2 中我们则利用四个 斜边相等 （均设为 1）且两组全 等的直角三角形，拼出了两个 矩形，面积分别为cossin， sincos； 3、 将探究 2 中所使用的四个 直角三角形换成与探究 3 中完 全相同的直角三角形，仔细观 察两组图形，你能通过它们获 得两角和正弦公式吗？ 1、 若学生能通过自己的讨论、 分析、 尝试解决问题， 教师就只需做陪伴者即可； 2、若学生不能够解决问题，则根据学生讨论、分析、尝试所达到的情况进行有
16、梯度的问题提示，教师做学生的引领者； 3、问题提示（视学生情况有选择地提示） ： H G F DC AB E G DC N E AB K M 1）通过两组图形，你能够从视觉上获得什么结论？ 学生回答：两组图形中的空白区域显然相等. 2）第二组图形中的空白区域总面积显然为cossin+sincos. 那么第一组图形中的菱形空白区域如果能够表示为)sin(， 显然就能够直观 地得出两角和正弦公式)sin(=cossin+sincos.因此我们现在的耽 误之急就是计算菱形空白区域的面积； 3）菱形的面积公式有两个：S边长高，S边长 2 菱形的内角）sin(，我们 知道第一组图形中的菱形边长为 1，利
17、用第二个公式可以知道空白区域的面积 1、教师的引导与组内 互动、组间碰撞、师生 互动， 让课堂教学内容 自然生成； 2、 整个环节教学的流 程由问题引发讨论， 讨 论引发思考， 思考引发 操作探究， 操作探究引 发新思路； 3、焕发学生学习数学 的热情，变“要我学” 为“我要学” ； 可以表示为S边长 2 菱形的内角）sin(=菱形的内角）sin(，现在只需确定菱形 中有一内角恰好为即可；从图中我们很容易可以分析得出这一结论； 4）获得两角和正弦公式的直观证明. 六、课后评价六、课后评价 七、反思本堂课的设计七、反思本堂课的设计 量化评价表量化评价表 所属小组_评价人_ 最喜欢部分 讨论分析
18、动手参与 最佳组员 每部分最佳组员 每部分你给自己打多少分？ 最大收获 最大不足 有何建议 我认为本节课充分体现了“以生为本”的教学理念，引导学生主动参 与，主动思考，主动反思。在设计上做到了“数学与操作实践相结合， 四个探究活动一环扣一环，学生主动参与、教师及时引导，根据学生 的反应生成一堂趣味横生的数学课” ，本设计主要突出三个特色， “设 计活，有层次、有递进；学生活，有交流、有互动；课堂活，有探索， 有生成” 。 八八、 【板书及课室设计】【板书及课室设计】 黑板设计格局黑板设计格局 课室设计格局课室设计格局 多媒体屏幕区 学生最终成果展示区 （展示结果顺序号） 1 2 3 4 5 6
19、 7 【设计说明】从学生人数方面考虑 将学生分成七组，依次命名为第一 组、第二组、.、第七组，每 组是四张台并在一起围坐 6 人（个 别组不足 6 人） ，将七组摆成肋骨 型。这样既便于小组合作，又确保 老师照顾到每一个学生，师生的的 交流空间和生生的交流展示空间 都增大了，同时减少学生对课堂的 恐惧感。分组是充分考虑了学生的 学习能力、男女性别、学生性格等各方面的因素，尽可能达到每个小组的成员之间互补， 又使得组间差异不大的效果. . 中职折纸数学教学实践活动内容 教学安排 教学实践活动内容 课时安排 教学安排 教学实践活动内容 课时安排 第一课 折纸数理学的缘起与发展 3 第十三课 用折纸
20、剪拼的方法证明勾股定理 4 第二课 折纸公理与尺规作图 3 第十四课 用正方形折纸做尽可能大的无盖长方体纸 盒 2 第三课 芳贺定理 2 第十五课 用矩形折纸折尽可能大的菱形 2 第四课 折纸求任意三角形的内心 2 第十六课 用折纸剪拼方法证明两角和的正弦公式 1 第五课 通过折纸分解图形 3 第十七课 折纸建构、初识正四面体（用信封折出正四 面体） 2 第六课 折特殊角 2 第十八课 用多张矩形折纸制作尽可能大的正四面体 2 第七课 折特殊三角形、菱形及等腰梯形 4 第十九课 制作“凯利环”（Kaleidocycle） 2 第八课 填补图形游戏 2 第二十课 用折纸制作对比几何画板制作圆锥曲线 4 第九课 七巧板游戏 1 第二十一课 制作漂亮的便签条 2 第十课 补位合成图形 3 第二十二课 制作美丽的礼品盒 2 第十一课 折正五边形、正六边形制作足球 2 第二十三课 折纸拼图工艺品制作 4 第十二课 用折纸方法证明三角形的内角和 1 1
