1、绝密启封前 2020 年全国高等学校统一招生考试二月调考仿真模拟年全国高等学校统一招生考试二月调考仿真模拟 数数 学学 试试 卷（文科）卷（文科） 考试时间：2020 年 2 月 27 日 15:00-17:00 试卷满分：150 分 一、单选题 1已知集合 A=x|lnx2，B= x|y= 2x ，则 BACR)(（ ）. A (0,e2 )(0,e 2 C2,e 2 D(2,+ ) 2已知复数 z 满足 z(1-i)2=1+i(i 为虚数单位)，则z = ( ) Ai 2 1 2 1 Bi 2 1 2 1 Ci 2 1 2 1 Di 2 1 2 1 3某中学有高中生 4200 人，初中生
2、1200 人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从 该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为（ ） A100 B150 C200 D90 4设 x，y 满足 02 022 022 yx yx yx ，则 z=x-3y 的最小值是（ ） A8 B-2 C-4 D-8 5已知 n a为等差数列,若 a1+a 5+a 9=8 ,则 cos(a2+a8)的值为（ ） A- 2 1 B 2 3 2 1 D 2 3 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4 B 2 C D2 7右图是一个算法的程序框图，如果输入 i=0，S=0，那么输出的结果为
3、A 3 2 B 4 3 C 5 4 D 6 5 8设 ba, 为向量，则“|baba”是“ab ”（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整 数满分 100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不是满分， 则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A 5 3 B 9 5 C 5 2 D 4 3 10 已知函数 )0 , 3 1 (), 22 , 0)(sin(3)(Axxf 为其图象的对称中心,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点
4、,若 BC=4,f(x)的解析式为( ). A ) 124 sin(3)( xxf B) 12 5 4 sin(3)( xxf C ) 62 sin(3)( xxf D) 32 sin(3)( xxf 11若双曲线 C : 2 2 2 2 b y a x =1(a，b0)的两条渐近线与抛物 C :y2=2px(p0)交于 A、O、B 三点（点 O 为坐标原点），且直线 AB 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B 5 C3 D5 12在三棱锥 P-ABC 中，AP=2，AB=3 3 ，PA面 ABC，且在三角形 ABC 中，有 ccosB=(2a-b)cosC（其中 a,b,c
5、 为ABC 的内角 A,B,C 所对的边），则该三棱锥外接球的 表面积为（ ） A40 B20 C12 3 20 二、填空题 13曲线 f(x)=xlnx 在点 x=1 处的切线方程为_ 14已知向量ba, 满足| a =1，|b=2，13|2| ba ，则a与b 的夹角为_. 15已知函数 )0( 13 )0)(log )( 2 x xx xf x ，且 f(a)=f(1)=0，则实数 a 的值等于_. 16已知 F 是椭圆 34 22 yx =1 的左焦点，设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于3, 则直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围是_. 三、解答题 17已知数列 n a
6、的前 n 项和为 ).(22 1 NnS n n （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2. log nn ab ，求数列 1 1 nnb b 的前 n 项和 T n. 18如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD=60，SAB 为等边三角 形，G 是线段 SB 上的一点，且 SD/平面 GAC. （1）求证：G 为 SB 的中点； （2）若 F 为 SC 的中点，连接 GA，GC，FA，FG，平面 SAB平面 ABCD，AB=2，求三 棱锥 F-AGC 的体积. 19一项针对某一线城市 3050 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名（200 名
7、女性，300 名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手 表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下： 女性 金额 0.1,0.3) 0.3,0.5) 0.5,0.7) 0.7,0.9) 0.9,1.1) 频数 20 40 80 50 10 男性 金额 0.1,0.3) 0.3,0.5) 0.5,0.7) 0.7,0.9) 0.9,1.1) 频数 45 75 90 60 30 （1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率. （2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”，根
8、据已知条 件完成列联表，并据此判断能否有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？ 高收入人群 非高收入人群 合计 女性 60 男性 180 合计 500 参考公式： 参考附表： 20已知椭圆 E： 2 2 2 2 b y a x =1(ab0)的离心率为 2 3 ，且过点( 3, 2 1 ).直线 l：y=x+m 与 y 轴交 于点 P，与椭圆交于 M，N 两点. （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若 PNMP3 ，求实数 m 的值. 21已知函数 f(x)=(ax-sinx-1) e x (aR) ， )( xf是其导函数 （）当 a=1 时，求)(xf在 x=0 处的切线方程；
9、（ ）若 a1，证明：)( xf在区间(0, )内至多有 1 个零点 22已知曲线 C 的极坐标方程为) 4 sin(22 ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ty tx 2 3 1 2 1 2 （t 为参数）. （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出曲线是什么曲线； （2）若直线与 l 曲线 C 交于 A，B 两点，设 P(2,1) ，求|PA|+|PB| 的值 23已知函数)(xf=|2x-2|-|x+2| (1)求不等式)(xf6 的解集； (2)当 xR 时，)(xf-x+a 恒成立，求实数 a 的取值范围 2020 年年
10、高三月考文科数学高三月考文科数学 参考答案参考答案 1C 【详解】 2 Ax xe，2Bx x， 2 RA x xe， 2 2, RA Be .故选：C 2B 【详解】由于 2 (1)1zii ，因此 2 111 (1)22 iii z ii ，因此 11 z 22 i ，故选 B. 3D 详解：由题得 420070 ,90 4200 1200 n n .故答案为 D. 4C 【详解】画出可行域和目标函数，如图所示： 当直线3zxy经过点2,2时，即2xy时， min 23 24z . 故选：C 5A 【详解】设等差数列的公差为 d，an为等差数列，a1+a5+a9=8， 3a1+12d=8，
11、 2811 816 28242 33 aaadad （） ， cos（a2+a8）=cos 16 3 =cos 2 3 =- 1 2 故选 A. 6B 【详解】由题知：几何体为半径为1，高为2的圆柱的 1 4 . 2 1 =12= 42 V .故选：B 7C 【解析】模拟程序框图运行过程，如下； 当 i=1 时, 1 1 2 S ，满足循环条件，此时 i=2； 当 i=2 时, 11 1 22 3 S ，满足循环条件，此时 i=3； 当 i=3 时, 111 1 22 33 4 S ，满足循环条件，此时 i=4； 当 i=4 时, 1111 1 22 33 44 5 S ，不满足循环条件， 此
12、时 1111111111114 11 1 22 33 44 5223344555 S 本题选择 C 选项. 8C 【详解】根据向量数量积运算，a b a b cos 若a ba b，即 a b cos=a b 所以cos= 1，即=0180或所以/ /ab 若/ /ab，则ab与的夹角为 0 或 180 ，所以“0a ba b cosa b 或180a ba b cosa b 即 a ba b cos 所以“a ba b”是“ / /ab”的充分必要条件所以选 C 9A 【详解】由题意可得甲的平均数： 1 88+87+85+92+93+95 =90 6 x 被污损的数字设为x，则乙的平均数为：
13、 2 858686889099 89 66 xx x 满足题意时， 12 xx，即9089 6 x ，解得6x 即x可能的取值为0,1,2,3,4,5x ， 由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为： 63 105 p 故选：A 10C 【详解】解：因为BC是该图象上相邻的最高点和最低点，4BC ， 由勾股定理可得： 2 2 2 2 34 2 T ，即 2 2 1216 ，求得 2 . 又因为 1 ,0 3 A 为其图象的对称中心， 可知 1 , 2 3 kkZ ，解得 6 . 所以 f x的解析式为 3sin 26 xfx .故选：C. 11B 【详解】 双曲线 22 1 22 :10,
14、0 xy Cab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2: 20Cypx p 交于A、O、B三点，且直线AB经过抛物线的焦点，可得, 2 p Ap ，则A在双曲线的渐 近线上，双曲线的一条渐近线方程： 0bxay ，所以0 2 pb pa，即2ba，可得 222 4caa ，所以双曲线的离心率为：5 c e a 故选：B 12A 【解析】设该三棱锥外接球的半径为R. 在三角形ABC中，cos2coscBabC（其中, ,a b c为ABC的内角, ,A B C所对的边） . coscos2 coscBbCaC 根据正弦定理可得sincossincos2sincosCBBCAC，即 sin()2si
15、ncosBCAC. sin0A 1 cos 2 C (0, )C 3 C 由正弦定理， 3 3 2 sin 3 r ，得三角形ABC的外接圆的半径为3r . PA 面ABC 222 22PArR 2 10R 该三棱锥外接球的表面积为 2 440SR 故选 A. 13y=x-1 【解析】由题意可得： ln1fxx ，则 10 1 1f ， 函数在1x 处的函数值： 11 ln10f ， 据此可得，切线方程过点 1,0 ，切线的斜率为1k ， 切线方程为： 1yx . 1460 【详解】设a与b的夹角为， 由213ab，所以 22 213ab 即 22 4413aba b，又1a ，2b ， 可知
16、 1a b 所以 11 cos 1 22 a b a b 又0 ,180 所以 60 故答案为：60 15 1 4 【详解】当0a 时，因为 10f af， 所以 2 log3 10a ，即 2 log2a ， 得到 1 4 a ； 当0a 时，因为 10f af， 所以3120 a ，即31 a ， 方程无解. 综上所述， 1 4 a .故答案为： 1 4 16 【解析】 由椭圆方程 22 1 43 xy ，可求得 1,0F ，由 22 31 1 43 yx xy ，得 12 83 3 0, 3 , 55 PP ， 过F作x轴垂线与椭圆交于 12 33 0,0, 22 AA ， 则P 在弧
17、1122 ,PA P A上时，符合题意， 122 000 333 3 , 228 AAP kkk ， OP斜率的取 值范围是 33 3 3 , 282 ，故答案为 33 3 3 , 282 17（1）2 n n anN（2） 41 n nN n 【详解】 （1）由 1 22 n n S 可得：当2n时， 1 22 n n S ，上述两式相减可得2n n a . 当1n 时： 1 11 11 2222aS 成立 故所求2n n anN； （2）2n n a ， 2 2 log2 nn ban 1 111 11 22241 nn b bnnnn 故所求 111111111 1 41223141 n
18、 T nnn 41 n nN n . 18(1)见解析(2) 1 4 【解析】 （1）证明：如图，连接BD交AC于点E，则E为BD的中点，连接GE， / /SD平面GAC，平面SDB平面GACGE，SD平面SBD， / /SDGE，而E为BD的中点，G为SB的中点. （2）解：F，G分别为SC，SB的中点， 11 22 FAGCSAGCC AGS VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 11 44 C ABSSABC VV 三棱锥三棱锥 1 8 SABCD V 四棱锥 . 取AB的中点H，连接SH， SAB为等边三角形，SHAB， 又平面SAB 平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，SH 平面SAB，
19、 SH 平面ABCD， 而3SH ， 1 22 2sin602 3 2 ABCD S 菱形 ， 1 3 SABCDABCD VSSH 四棱锥菱形 1 2 332 3 ， 11 84 FAGCSABCD VV 三棱锥四棱锥 . 19（1） 16 25 （2）见解析，有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关. 【详解】解析： （1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的频数为： 80 50 10 9060 30320， 所以该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率为： 32016 50025 P . （2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有 140 人，
20、男性有 180 人， 非高收入人群中女性有 60 人，男性有 120 人， 完成列联表如下： 高收入人群 非高收入人群 合计 女 140 60 200 男 180 120 300 合计 320 180 500 根据列联表中的数据，计算得 2 2 500 (140 12060 180) 5.2083.841 200 300 180 320 K 故有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关. 20 （1） 2 2 1 4 x y（2） 85 17 m 【详解】 （1）离心率 2 3 1 2 b a 且 E 过点 1 3, 2 ，即 22 31 1 4ab 解得 2 4a ， 2 1b ，故所求椭
21、圆 E 的方程为： 2 2 1 4 x y； （2）设 11 ,M x y， 22 ,N xy，0,Pm 由 2 2 1 4 x y yxm 联立化简得： 22 58440xmxm 12 8 5 m xx ， 2 12 44 5 m xx 又 3MPPN ， 1122 ,3,x myxym 12 3xx 与 12 8 5 xxm 联立解得： 2 4 5 xm， 1 12 5 xm 代入 2 12 44 5 m xx 解得： 2 5 17 m ， 85 17 m 验证：当 85 17 m 时，成立，符合题意 故所求 85 17 m . 21（）1 0xy ； （）证明见解析. 【解析】 【详解】
22、 解： （）当1a 时，( )(sincos ) x fxxxxe，则 01 f ， 又(0)1f ， 则 f x在0x 处的切线方程为：1yx ， 即10xy （）( )(sincos1) x fxaxxxae， 又0 x e ，设 ( )sincos1g xaxxxa， ( )0fx，( )0g x ( )cossin2sin 4 g xaxxxa ， 因(0, )x，故2sin( 1,2 4 x ， 又1a ，故( )0g x 对(0, )x恒成立，即 g x在区间0,单调递增； 又(0)2ga，( )(1)0ga； 故当12a时，(0)20ga，此时 fx 在区间0,内恰好有1个零点
23、当2a 时，(0)20ga，此时 fx 在区间0,内没有零点； 综上结论得证 22（1） 22 (1)(1)2xy，此曲线为圆（2）5 【详解】 解： （1）因为2 2sin() 4 所以 22 2 2(sincos )2sin2cos 22 所以 2 2 sin2 cos 因为 cos sin x y ， 所以 22 22xyxy，即 22 (1)(1)2xy， 则曲线C的直角坐标方程为 22 (1)(1)2xy， 此曲线为以1,1为圆心， 2为半径的圆. （2）将直线l的参数方程 1 2 2 3 1 2 xt yt （t为参数）代入曲线C中， 得 2 10tt 其1 ( 4)0 所以 1
24、2 1t t ， 12 1tt 则 22 1212121 2 ()()| |45PAPBttttttt t 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的转化，利用直线的参数的几何意义求线段长度，属于中档题. 23(1) ( ,210,) (2) (, 2 试题解析： （1）当2x时， 4f xx ， 646f xx 2x，故 2x； 当21x 时， 3f xx ， 636f xx2x，故x； 当1x 时， 4f xx， 646f xx10x，故10x； 综上可知： 6f x 的解集为 ,210,. （2）由（1）知： 4,2 3 , 21 4,1 xx f xxx xx ， 【解法一】 如图所示：作出函数 f x的图象， 由图象知，当1x 时，13a ，解得：2a， 实数a的取值范围为, 2 . 【解法二】 当2x时，4xxa 恒成立，4a， 当21x 时，3xxa 恒成立，2a， 当1x 时，4xxa 恒成立，2a， 综上，实数a的取值范围为, 2 .
