1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数 二次函数 拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题(重、难点)3.能运用二次函数的图象与性质进行决策导入新课导入新课情境引入 我校九年级学生小明同学怀着激动的心情前往广州参观.现在先让我们和小明一起逛逛美丽的广州吧！如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO导入新课导入新课问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是
2、抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？讲授新课讲授新课利用二次函数解决实物抛物线形问题一建立函数模型建立函数模型这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二线，所以应当是个二次函数次函数你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？合作探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为2ya x-2-421-2-
3、1A如何确定a是多少？已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出因此，其中 x是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化212yx 222a g12a 解得由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而因此拱顶离水面高1.125m32x21391.125228y 2.452.45x现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？我们来比较一下我们来比较一下（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（
4、-2，2）谁最谁最合适合适yyyyooooxxxx知识要点建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25
5、).数学化B(1,2.25)(0,1.25)CDoAxy 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理，点 D的坐标为(-2.5,0).设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=(x-1)2+2.25.B(1,2.25)(0,1.25)DoAxyC 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；OACDByx20 mh解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.该抛物线过(10,-
6、4),-4=100a，a=-0.04y=-0.04x2.练一练利用二次函数解决运动中抛物线型问题二例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.xyO解得 a=0.2，k=3.5，设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k，即y=ax2
7、+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.当当 x=2.5时，y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.2.25a+k=3.05，k=3.5，xyO1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2113822yxxxyO2当堂练习当堂练习3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起
8、见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50m B.100m C.160m D.200mC4.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2.点B（6，5.6）在抛物线的图象上，5.6=36a，抛物线的表达式为745 a.2745 yx.（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6
9、m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，t=5.6（1.6）=4 ，解得k=，即k15.07，k25.07CD=5.07210.14（m）设最多可安装n扇窗户，1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得n4.06则最大的正整数为4答：最多可安装4扇窗户.27445 k6 357课堂小结课堂小结转化转化回归回归（二次函数的图象和性质）拱 桥 问 题运动中的抛物 线 问 题（实物中的抛物线形问题）建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.实 际 问 题数 学 模 型转化的关键
