1、 1 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式-教材分析与教学建议教材分析与教学建议滨州实验中学滨州实验中学 吕延芳吕延芳 1本章教材的地位与作用2本章教材与原教材的区别和联系3本章教材的编写特点4本章教材的教学建议目目 录录CONTENTS5单元整体教学6夯实四基、提高四能，六大核心素养的措施与办法一、本章一、本章教材的地位与教材的地位与作用作用1.不等式内容作为一个工具性知识在整个高中数学学习中有着不可或缺的作用，即不等式知识起到了承上启下的初高中知识的过渡作用。2.三个“二次”是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法，体
2、现了数学知识之间的整体性和联系性，为学生高中阶段的学习做好思想方法、学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，更好的完成初、高中数学学习的过渡。3.本章的学习过程，学生将获得数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养能力，学会抓住事物的本质，学会用统一的方法处理看似无关的事物，进而把握事物的共性和相互关系,为高中数学教学提供了范例和方向。二、新旧教材的区别和联系二、新旧教材的区别和联系新旧课标的本章内容要求新旧课标的本章内容要求 旧课标强调要加强应用，数学教学要理论联系实际，新课标在将不等新课标在将不等式与实际情境结合的基础上，更加重视数学思想方法的教学。式与实际情境结合的基础上，更加重
3、视数学思想方法的教学。1.设置预备知识，优化课程结构设置预备知识，优化课程结构区别与联系区别与联系3.3.知识表述严谨，知识结构符合学生认知心理；知识表述严谨，知识结构符合学生认知心理；2.2.完善小节布局，栏目设置丰富；完善小节布局，栏目设置丰富；4.4.例题示范性更强，习题层次分明例题示范性更强，习题层次分明（一）主要区别概述（一）主要区别概述1.设置预备知识，优化课程结构设置预备知识，优化课程结构2.2.完善小节布局，栏目设置丰富完善小节布局，栏目设置丰富（一）主要区别概述（一）主要区别概述 新课程标准的修订考虑到了学段的知识衔接和学生的心理过渡，更加关注数学学科的特点，强调数学知识的逻
4、辑体系，将不等式内容安排在了预备知识部分。不等式知识作为工具性知识为后续学习奠定了坚实的基础，同时不等式学习中渗透的数学思想方法也能够使初高中数学思维的衔接更加顺畅。新教材的每一小节布局均为：引入正文（包括思考、探究等栏目）概念性质例题习题习题应用（例题）习题，每一个知识点之后都有相应的练习题，讲练结合更有利于学生更快的理解和掌握所学知识。新教材的探究、思考和提示框数量有所增加，这表明新教材更加注重学生的自主学习能力。3.3.知识表述严谨，知识结构符合学生认知心理；知识表述严谨，知识结构符合学生认知心理；（一）主要区别概述（一）主要区别概述 例如，对一元二次不等式的求解，新旧教材都要求用框图（
5、程序框图）表示其求解过程。旧教材的结构为：二次函数的图象与一元二次方程、不等式的解的对应关系用程序框图表示求解一元二次不等式的过程例1、例2（求不等式的解）；新教材部分的结构为二次函数的图像与一元二次方程、不等式的解的对应关系例1、例2、例3（求不等式的解）用程序框图表示求解一元二次不等式的过程.经过对比发现，新教材更加注重数学思想方法的教学，这样的设置能够培养学生从特殊到一般的归纳总结能力，这也为后续高中数学的学习提供思想方法的奠基.4.4.例题示范性更强，习题层次分明例题示范性更强，习题层次分明（一）主要区别概述（一）主要区别概述 新教材的例题和习题数量相对旧教材都有所增加，其中基本不等式
6、这一节增加的最多。新教材的例题还增加了分析部分，将解题思路和解题方法都呈现出来，不止教会学生“怎么做”，更要让学生理解“为什么这么做”。旧教材的习题分为“A组”和“B组”，新教材中的习题，分为“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”，层次更加分明，更有利于因材施教，满足不同层次学生的练习需求。3.13.1不等关系与不等式3.23.2一元二次不等式及其解法3.33.3二元一次不等（组）与简单的线性规划问题3.43.4基本不等式旧教材（必修五第三章）新教材（必修一第二章）2.12.1等式性质与不等式性质2.22.2基本不等式2.32.3二次函数与一元二次方程、不等式本节名称发生变化新增（二）具体内
7、容对比（二）具体内容对比 章引言章引言 （二）（二）具体内容对比具体内容对比新旧教材均简要说明了不等式知识与生活与数学的重要联系，言简意赅地介绍了本章的主要知识内容，让学生感受到数学源于生活又应用于生活的同时，为学生提供了新的知识领域的知识框架，让学生提前做到心中有数.而新教材章引言的表述更加明确具表述更加明确具体，更加注重初高中知识体，更加注重初高中知识的衔接，介绍了类比、函的衔接，介绍了类比、函数的思想，为学生学习本数的思想，为学生学习本章初步指明方向章初步指明方向.小节引入语小节引入语 （二）（二）具体内容对比具体内容对比 新教材每一节的引入部分都是由引言引言和问题情境或探究情境组成，而
8、旧教材除了第一节，其余小节都没有设置引言，直接由问题情境或探究情境引入新知.新教材更加注重知识间的联系更加注重知识间的联系.3.13.1不等关系与不等式2.12.1等式性质与不等式性质（二）（二）具体内容对比具体内容对比 引入的问题删除了原教材的问题1和问题3，增加了（3），（4）这两个问题是初中就学过的知识，背景更背景更熟悉，列式更熟悉，列式更容易容易.3.13.1不等关系与不等式2.12.1等式性质与不等式性质（二）（二）具体内容对比具体内容对比 在叙述“实数的大小比较”时，增加了数轴图示叙述，更加直观直观形象形象，便于理解.而且，新教材对作差比较描述的更具体“可以转化为比较它们的差与0的
9、大小”，旧教材则是“可以考查这两个实数的差”.3.13.1不等关系与不等式2.12.1等式性质与不等式性质增加了作差法比较大小的例题（二）（二）具体内容对比具体内容对比1.让学生明确作差法的步骤；2认识到作差法是不等式证明的基本方法3.13.1不等关系与不等式2.12.1等式性质与不等式性质（二）（二）具体内容对比具体内容对比新教材更注重数学思想方法的渗透，更利于学生核心素养的形成与发展.2.22.2基本不等式旧教材本节练习1 1（二）（二）具体内容对比具体内容对比 新教材的例1为旧教材的练习，由于学生还没有学习单调性和最值的概念，所以在例例1 1分析分析的过程中加入了对最小值概念的解释，又在
10、例1后面对能否取得最小值进行了辨析.还增加了例2基本不等式解决最值问题的两类基本模型，为后续基本不等式实际问题的解决总结了方法和规律.3.23.2一元二次不等式及其解法2.32.3二次函数与一元二次方程、不等式（二）（二）具体内容对比具体内容对比 开篇问题引入更换为学生更熟悉熟悉的应用题背景，并且把一元二次不等式的定义和基本形式写进了教材，便于学生清晰了解一元二次不等式.2.32.3二次函数与一元二次方程、不等式 例题：原教材例题仅有“对应方程 的不等式”，新教材增加了“对应方程 的不等式”，更全面、系统。,00 0新教材增加了提示框，提醒新教材增加了提示框，提醒读者读者“对于二次项系数是负对
11、于二次项系数是负数的不等式，可以先把二次数的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解项系数化为正数，再求解”（二）（二）具体内容对比具体内容对比 练习：增加了一元二次不等式的实际应用（课本54页）.旧教材旧教材新教材新教材总体而言，新教材的内容编排总体而言，新教材的内容编排更加符合学生的认知规律，适更加符合学生的认知规律，适应教师的从教习惯，优化了知应教师的从教习惯，优化了知识点描述的过程，对例题和习识点描述的过程，对例题和习题的配备更加合理，突出了培题的配备更加合理，突出了培养学生数学核心素养这一宗旨。养学生数学核心素养这一宗旨。（二）（二）具体内容对比具体内容对比新教材在问题前增加了内容
12、回顾和思想点拨的段落三三、本章教材的编写特点本章教材的编写特点1 注重数学知识的整体性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性.22 更加注重初高中的衔接，引导方式更明确，语言表述更准确，更加符合学生认知发展规律.3 从不同角度阐释不等式，揭示不等式的本质.4 注重类比，突出研究一个数学对象的基本路径.5 注重函数观点看问题，体现数学知识的整体性和联系性.6 注重数学核心素养的渗透，更有利于引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.四四、本章本章的教学建议的教学建议（一）课时安排：（一）课时安排：本章约8课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1 等式性质与不等式
13、性质 约2课时2.2 基本不等式 约2课时2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 约2课时 小结与复习 约2课时 四四、本章本章教材的教学建议教材的教学建议1.不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异.2.基本不等式的定义、证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题.3.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.1.类比等式的基本性质及蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质.2.用不等式性质证明一些简单的命题.3.基本不等式的几何解释，用基本不等式解决最值问题.4.二次函数与一元二次方程、不等式联系，借助二次函数求解一元二次不等式.重点重点难点难点（二）重点
14、难点（二）重点难点2.2.在不等式教学中渗透数学思想方法；在不等式教学中渗透数学思想方法；5.5.控制教学难度，注重因材施教控制教学难度，注重因材施教；1.备课过程注重备学生，培养学生好的学习习惯；备课过程注重备学生，培养学生好的学习习惯；教学建议教学建议4.4.充分发挥例题示范及强化功能；充分发挥例题示范及强化功能；3.3.让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验；让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验；6.6.注重章引言，小节引言，课堂小结和章小结注重章引言，小节引言，课堂小结和章小结.1.1.备课过程注重备学生，培养学生好的学习习惯；备课过程注重备学生，培养学生好的学习习惯；（1）在不
15、等式的教学过程中要考虑到学生心理，学习习惯和学习方法的初高中衔接问题，为学生做好数学知识和思维方法的奠基。授课前帮助学生回顾容易遗忘的初中知识，例如：韦达定理、二次函数的图象画法、求一元二次方程根韦达定理、二次函数的图象画法、求一元二次方程根的多种方法（公式法，分解因式（的多种方法（公式法，分解因式（十字相乘法）十字相乘法）等）等）.初中数学教学形象生动，高中数学相对抽象严谨，教学过程中可以先利用数轴、图形等直观工具辅助教学，再逐渐增强教学的理论性和抽象性，给学生一个习惯和缓冲的过程.（2）学生原有的学习方法、习惯已不适应高中数学的学习，教师前期的引导要具体而明确。如：课上必须使用练习本，练习
16、本如何用练习本如何用；错题本该整理什么样的错题本该整理什么样的题目，怎么整理题目，怎么整理？间隔多久复习一次；课堂笔记记什么，什么时间记课堂笔记记什么，什么时间记；教师批阅完的习题必须自己先初步改错，会而不对的题目自己找到错因等等.（3）要加强审题教学，教会学生“四想”，即回想、联想、猜想、感想；要规范学生的表达，训练学生书写整洁，详略得当，有因有果；要加强运算的教与学，训练学生科学、合理、熟练的解题；要加强分类讨论的思想，给学生讲清楚什么情况下才会分类讨论，原因何在。类比实数比较大小的基本事实解决多项式比较（证明）大小问题。类比等式的基本性质得到不等式的基本性质。类比乘法公式替换字母得到完全
17、平方公式和平方差公式的过程，替换重要不等式中的字母得到基本不等式。类比一元一次函数、方程、不等式之间的关系，引导学生发现一元二次函数、方程、不等式之间的联系，进而解决一元二次不等式的求解问题。2.2.在不等式教学中渗透数学思想方法在不等式教学中渗透数学思想方法（1）教学中注重类比方法的运用，让知识自然生成。（2）注重从数的角度，形的角度，数形结合帮助学生多维度理解问题。2 2.在不等式教学中渗透数学思想方法 基本不等式这一节，给出了基本不等式的文字描述两个正数的算数两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数平均数不小于它们的几何平均数，这个描述指出了基本不等式的不等号两边代表的含义，暗示了基本
18、不等式最初可能是用来刻画两个正数的不同均值之间的关系的，与学生熟悉的“算术平均数”和“几何平均数”建立联系，便于学生记忆，又给出了基本不基本不等式的几何解释，相当于给出了基本等式的几何解释，相当于给出了基本不等式的一个动态几何模型，动态展不等式的一个动态几何模型，动态展示了基本不等式中示了基本不等式中“不等不等”到到“相等相等”的转化过程。的转化过程。（3）引导学生探究三个“二次”关系时渗透函数的思想。探究三个“二次”间的联系时于学生而言是一个难点，因此可以通过和学生一起回顾梳理三个通过和学生一起回顾梳理三个“一次一次”间的关系来引导学生，间的关系来引导学生，进一步感受函数观点看方程和不等式，
19、进一步感受函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解一元二次不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.2.在不等式教学中渗透数学思在不等式教学中渗透数学思想方法教学片段教学片段难点突破难点突破 课本上的探究真正放手让学生去研究讨论，用自己的语言给出结论，教师只需要用明确具体的问题加以引导即可。这一过程不仅会加深学生对知识的理解，更利于其掌握，而且能够提高学生的学习兴趣和学习信心，有利于培养学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。3.3.让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验教学教学片段片段问题1 回忆等式有哪些基本性质。师生活动：学生自由回
20、答，相互补充，教师板书在黑板上。不等式的性质难点突破不等式的性质难点突破学生梳理等式性质小组讨论总结共性类比得到不等式的基本性质（自身特性的不变性得到性质（1）（2），运算下的不变性得到性质（3）（4）引导学生证明（依据实数比较大小的基本事实）引导学生得到不等式的常用性质.3.3.让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验让学生充分经历研究过程，积累基本活动经验（1 1）例题讲解注重分析环节）例题讲解注重分析环节 不等式的应用是学生理解的难点，因此在例题的讲解过程中要注重“分析”环节，如教材中的例3给出的分析，有利于帮助学生举一反三，起到良好的示范作用。4.4.充分发挥例题示范及强化功能充分发挥
21、例题示范及强化功能难点突破难点突破（2 2）精讲例题，及时总结）精讲例题，及时总结 在教学中尽量采用教材中的例题，由浅入深的讲解，引导学生重视教材，回归教材。不是每道题都细讲，要有详有略有详有略，最重要的是学生掌握方法。同时，例题中蕴含的思想方法和实际背景能够提高学生的解题能力和应用意识，讲完一道例题或一组例题后，引导学生自己总结，教师适当补充，提升学生的总结能力。例:2.3二次函数与一元二次方程、不等式的例1，例2，例3都是求不等式解集的例题，在讲解例1时，教师需要详细讲解每一个步骤，将每一步与刚学习过的三个“二次”间的关系联系起来，实现例题的强化功能。例2，例3由学生自己解决，教师只需指出
22、容易出错的地方。3道例题都解决后，引导学生自己归纳总结引导学生自己归纳总结求解一元二次不等式的具体步骤，并画出框图求解一元二次不等式的具体步骤，并画出框图。4.4.充分发挥例题示范及强化功能充分发挥例题示范及强化功能（1 1）补充预备知识要充分考虑生源实际情况）补充预备知识要充分考虑生源实际情况 教学过程一定要充分考虑到生源的实际情况，并据此调整在各个班级中需要给学生补充的预备知识。例如：探究三个“二次”间的联系时，在和学生一起回顾梳理三个“一次”间的关系时，如果生源较差，学生直接回顾得到关系图有困难，可进一步细化：5.5.控制教学难度，注重因材施教。控制教学难度，注重因材施教。问题设置示例（
23、2 2）教学过程要注意控制难度）教学过程要注意控制难度作差法作差法分析法和综合法分析法和综合法5.5.控制教学难度，注重因材施教。控制教学难度，注重因材施教。例如不等式的证明方法：教科书只介绍了三种不等式的证明方法一作差法、综合法和分析法，而且每种方法都是蕴含在具体例子里的，教科书对方法本身都没有特别说明。这样编排主要是为了不冲淡本章的主题。因此教学中也没有必要补充过多的方法和过难的问题。在基本不等式的证明中，可以让学生用作差法自己完成证明，然后教师讲解课本给出的分析法和综合法，进一步让学生体会三种方法的不同。（3 3）精简习题，分层训练）精简习题，分层训练 学生通过“题海战术”对知识进行巩固
24、，效率低，负担重，不符合新课标的理念。近年来，越来越多的教材改编题目出现在了高考试卷中，因此教师应重视教材中的练习题要充分利用好课本习题。精简编排精简编排。数学课程内容多，课时紧张，要想将习题都留给课堂不切实际，因此教师可对教材习题进行提炼，选出适量真正适合学生巩固知识、提升能力的习题，精选精练，提高学生的学习效率。积极开展分层教学积极开展分层教学。新教材的课后习题分组分为了3个层次，即：复习巩固、综合运用、拓广探索，教师应让不同层次的学生完成适合自己能力的习题。习题分层布置满足学生的个性化需求，符合新课标教学理念，即“不同的人在数学上得到不同的发展”。5.5.控制教学难度，注重因材施教。控制
25、教学难度，注重因材施教。6.6.注重章引言，小节引言，课堂小结和章小结注重章引言，小节引言，课堂小结和章小结 章引言简要说明了不等式知识与生活和数学的重要联系，言简意赅地介绍了本章的主要知识内容，让学生感受到数学源于生活又应用于生活的同时，为学生提供了新的知识领域的知识框架，让学生提前做到心中有数.介绍了本章涉及的主要思想方法，为学生学习本章初步指明方向.每节课的引入要与前后知识建立联系，尽可能点明本节内容的主要研究方法。每节课的小结，教师通过问题引导学生回顾学习过程，总结思想方法，进一步巩固所学.鼓励学生画出各节的知识结构图.通过章小结梳理本章的知识结构，进行内容回顾和思想点拨有利于学生形成
26、整体意识，厘清知识间的上下位关系，更明确其内在联系.五五、单元整体教学建议、单元整体教学建议 高中不等式部分既是初中不等式知识的延伸与发展，也是高中阶段解题必不可少的工具性知识，这部分内容很好的反映了函数与不等式、方程之间的内在联系和相互转化.不等式部分包括两方面内容：一是用不等式刻画不等关系、研究不等式的性质；二是用函数来理解不等式与不等关系，建立“基本不等式模型”或“一元二次不等式模型”来解决问题.主要研究方法是类比类比：类比等式性质得到不等式性质，再通过逻辑推理进行证明；类比乘法公式得到基本不等式，再通过逻辑推理进行证明；类比三个“一次”的关系发现三个“二次”的联系，并得到了一种利用函数
27、的零点求一元二次不等式解集的便捷方法.1.类比等式研究不等式，渗透研究一个数学对象的基本路径 等式的研究路径大致是“现实背景相等关系与等式等式性质方程及其解法应用”，这个过程实际是“获取代数对象获取代数对象性质运算应用性质运算应用”，据此，可以在学习本章内容之前，先让学在学习本章内容之前，先让学生在回顾和总结初中等式学习过程生在回顾和总结初中等式学习过程的基础上，的基础上，类比得到类比得到不等式的研究不等式的研究路径路径.2.用函数观点看待方程与不等式 用函数理解方程和不等式有利于从整体上从整体上认识这三者的关系，是数学的基本思想方法基本思想方法.求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代
28、数方法代数方法，即通过对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式的求解问题转化为一元一次不等式组的求解问题；而函数方法借助函数图象能解决代数方法不适用判别的情况.而且学生在以后的学习中，可以类比用一元二次函数求解一元二次不等式的思维过程，研究其他类型函数的相关求解问题.1.用问题启迪学生思维，提升思维品质用问题启迪学生思维，提升思维品质；3.3.注重数学思想方法的渗透及总结注重数学思想方法的渗透及总结；2.2.抓住关键点，让学生充分经历研究过程；抓住关键点，让学生充分经历研究过程；4.4.教学过程中注重学生数学核心素养的培养教学过程中注重学生数学核心素养的培养.六、夯实六、夯实“四基四基”，提
29、升，提升“四能四能”，培养，培养“六大核心素养六大核心素养”六、夯实六、夯实“四基四基”，提升，提升“四能四能”，培养，培养“六大核心素养六大核心素养”1.用问题启迪学生思维，提升思维品质用问题启迪学生思维，提升思维品质 通过让学生体验环环相扣的“问题串”揭示问题本质的过程，自然生成知识，掌握基本技能、体会基本思想，训练学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升学生思维品质.2.2.抓住关键点，让学生充分经历研究过程抓住关键点，让学生充分经历研究过程本章的重点内容是不等式基本性质的发现过程及性质本身，以及二次函数与一元二次方程、不等式的联系。对这两个内容的教学都要注意在初高中内容之
30、间建立连接，并提升对已学内容的认识，在此基础上进行拓展，也就是“回顾、梳理提炼迁移”的过程，其中“提炼”是关键。具体说来，对于二次函数与一元二次方程、不等式的联系的教学，可以先让学生回顾三个“一次”间的联系，体会三者的联系中蕴含的一般规律：函数图象与轴的交点的横坐标即是相关方程的根，在轴上方或下方的点的横坐标的取值范围就是相应不等式的解集，再引导学生借助这个规律，探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生将不难从二次函数图象的关键点上去寻找解决问题的“突破口”.六、夯实六、夯实“四基四基”，提升，提升“四能四能”，培养，培养“六大核心素养六大核心素养”3.注重数学思想方法的渗透及总结注重数
31、学思想方法的渗透及总结本章蕴含着丰富的数学思想方法，特别是类比、数形结合、分类讨论、函数与方程等思想方法。类比方法的运用可以让学生发现旧知与新知之间的联系，使得知识生成更加自然，符合学生的认知发展规律；利用数轴、图形等直观工具辅助教学，数形结合有助于学生更好的理解知识；在研究一元二次不等式的解的情况时，运用到了分类讨论的思想方法，一定要注意给学生讲清楚进行分类讨论的原因是什么，何时要分类讨论；探究三个“二次”间的联系，及一元二次不等式的求解过程中都蕴含着函数与方程的思想，引导学生在学习过程中进一步体会数学知识的整体性和联系性。六、夯实六、夯实“四基四基”，提升，提升“四能四能”，培养，培养“六大核心素养六大核心素养”本章是多种数学素养培养的载体，具体可以用下表表示：4.教学过程中注重学生数学核心素养的培养教学过程中注重学生数学核心素养的培养
