1、第四章 指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学目标：教学目标：1.通过具体的实例和学生主体活动探究n次方根的定义及性质，熟练掌握并运用根式的性质解决具体问题。（重点）2.通过建立根式与分数指数幂的联系，了解分数指数幂的意义，将整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。（重点）3.通过具体的实例，说明n次根式表示为分数指数幂的过程中，保证指数幂的运算性质仍然成立，说明了其合理性。（难点）核心素养：核心素养：1.理解n次方根、根式的概念；理解分数指数幂的意义，培养学生数学抽象的核心素养。2.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养学生逻辑
2、推理的核心素养。3.正确运用根式的性质化简求值；会进行分数指数幂与根式的互化，培养学生数学运算的素养。提 出 问 题，创 设 情 境提 出 问 题，创 设 情 境小诗一首余杭良渚已申遗，历经千载阅春秋；要知良渚多古老，试向本课问缘由。良渚古城存在时期为公元前良渚古城存在时期为公元前33003300年年-前前23002300年，那你年，那你知道知道考古学家是如何测定年份的吗？考古学家是如何测定年份的吗？当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半衰期”。当t=5730、57302、57303时，P=？当t=1000、5300、1000
3、0时，P=？提 出 问 题，创 设 情 境提 出 问 题，创 设 情 境1.1.整数指数幂整数指数幂)0(10aa),0(1*Nnaaann求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.)(.*Nnaaaaanna底数底数指数指数幂幂读作读作“a的的n次方次方”或或“a的的n次幂次幂”nmnmaaanmnamaannnbaba)(2 2、整数指数幂的运算性质：、整数指数幂的运算性质：nnnbaba)(nmnmaa温 故 知 新温 故 知 新如果如果 ,那么那么 叫做叫做 的平方根的平方根axax 2如果如果 ,那么那么 叫做叫做 的立方根的立方根ax 3xaa3a3 3、平方根、平方根
4、4 4、立方根、立方根0a 2aa2aaaR33aa33aa温 故 知 新温 故 知 新如果如果 ,那么那么_叫做叫做_的的n次方根次方根axn类似地，类似地，由于由于 ，_就叫做就叫做_的的4次方根次方根16)2(4由于由于 ，_就叫做就叫做_的的5次方根次方根5232学 生 探 究，尝 试 解 决学 生 探 究，尝 试 解 决(n为奇数，aR);nax(n是偶数，且a0).nax axn奇次方根奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数正数的奇次方根是一个正数2.负数的奇次方根是一个负数负数的奇次方根是一个负数偶次方根偶次方根 2.负数没有偶次方根负数没有偶次方根 1.正数的偶次方根有两个且互
5、为相反数正数的偶次方根有两个且互为相反数 na根指数根指数 被被开开方方数数根式根式信 息 交 流，揭 示 规 律信 息 交 流，揭 示 规 律0的n次方根呢？微判断：微判断：运 用 规 律，解 决 问 题运 用 规 律，解 决 问 题根式的性质一：根式的性质一：aann)(运 用 规 律，解 决 问 题运 用 规 律，解 决 问 题为偶数为奇数nanaann|,|,根式的性质二：根式的性质二：信 息 交 流，揭 示 规 律信 息 交 流，揭 示 规 律1.2.3.4.88()ab388,()|,.ab abababba ab运 用 规 律，解 决 问 题运 用 规 律，解 决 问 题例1-8
6、-10思考：?,0510aa则若?412a 2552510aaa510a3443412)(aaa412a当根式的当根式的被开方数被开方数(看成幂的形式看成幂的形式)的指数的指数能被能被根指数根指数整除时，整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式根式可以表示成分数指数幂的形式.思考：思考：当根式的当根式的被开方数的指数不能被根指数整除被开方数的指数不能被根指数整除时，时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？上下 对 里外类 比 推 理，揭 示 规 律类 比 推 理，揭 示 规 律规定，规定，正数的正分数指数幂正数的正分数指数幂的意义是：的意义是：注意注意：（
7、：（1）分数指数幂是根式的另一种表示，）分数指数幂是根式的另一种表示，表示表示相同意义相同意义，只是形式不同，只是形式不同.（2）根式与分式指数幂可以互化）根式与分式指数幂可以互化.)1,0(*nNnmaaanmnm且类 比 推 理，揭 示 规 律类 比 推 理，揭 示 规 律上下 对 里外与与0 0的整数指数幂的意义相仿，规定：的整数指数幂的意义相仿，规定：0 0的的正分数正分数指数幂指数幂等于等于0 0；0 0的的负分数负分数指数幂指数幂没意义没意义.正数的负分数指数幂正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：义相仿，规定：类 比 推 理，揭 示 规
8、律类 比 推 理，揭 示 规 律整数指数幂的运算性质对于整数指数幂的运算性质对于有理指数幂有理指数幂也同样适用，也同样适用，有如下运算性质：有如下运算性质：).,0,0()(3();,0()(2();,0()1(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例2 计算：运 用 规 律，解 决 问 题运 用 规 律，解 决 问 题注意：1、遇到根式化分数指数幂，底数遇到小数化分数，指数遇到负数化正数。2、若有特殊要求，则按要求写出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂，即结果必须化为最简形式。例3 化简（a0,b0）：类比例题，变式出题：当 堂
9、检 测当 堂 检 测1100反 思 小 结，观 点 提 炼反 思 小 结，观 点 提 炼1 1.知识：知识：2.2.数学方法：数学方法：3.3.数学思想：数学思想：分数指数幂分数指数幂的发展：的发展：这就表明，引进正数的正分数指数幂，与已学的整数指数幂的运算法则是相容的。此乃合理性所在，而规定正数的n次方根为正数的正分数指数幂的必要性体现在：1、使得幂指数由整数拓展到正有理数；2、使得整数指数幂的运算法则随之拓展成为正有理数幂的运算法则；3、使得正数的n次方根与正数的n次方同为正有理数指数幂，体现了对立的统一性。另外，由整数指数幂的运算法则(幂的乘方)亦能导出正数的正分数指数幂的意义。3650.99=0.03 3651.01=37.8
