1、3.43.4函数的应用函数的应用(一一)学习目标学习目标1.1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.2.在实际情境中在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,培养数培养数学建模、数据分析和数学运算素养学建模、数据分析和数学运算素养.知识梳理知识梳理自主探究自主探究师生互动师生互动合作探究合作探究知识梳理知识梳理自主探究自主探究知识探究知识探究1.1.一次函数模型一次函数模型形如形如y=kx+b(ky=kx+b(k0)0)的函数模型是一次函数模型的函数模
2、型是一次函数模型,一次函数的图象为直线一次函数的图象为直线,应用一次函数的性质应用一次函数的性质,可以求参数值及函数解析式等可以求参数值及函数解析式等.2.2.二次函数模型二次函数模型(1)(1)形如形如y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的函数模型是二次函数模型的函数模型是二次函数模型.(2)(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次依据实际问题建立二次函数的解析式后函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂利用配方法求最值简单易懂,有时可以依据二次函数的单有时可以依据二次函数的单调性求最值调性求最值,从而
3、解决最大、最小等问题从而解决最大、最小等问题.3.3.分段函数模型分段函数模型(1)(1)分段函数模型分段函数模型分段函数是指函数解析式由几段组成的函数分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同根据自变量取值范围的不同,由由题设确定出不同的函数关系式题设确定出不同的函数关系式.(2)(2)分段函数模型的应用分段函数模型的应用分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区即明确自变量的取值区间间,对每一区间进行分类讨论对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式从而写出函数解析式,需注意分段函数的最值需注意分段函数的
4、最值,是各区间上解析式取得的最大值或最小值是各区间上解析式取得的最大值或最小值.要注意结合实际问题的实际意义要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解有时还可结合图象去求解.师生互动师生互动合作探究合作探究探究点一探究点一一次函数模型一次函数模型 例例1 1 甲、乙两家农贸商店甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节龙虾节”期间期间,甲、乙两家商店都让利酬宾甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额付款金额y y甲甲,y,y乙乙(单位单位:元元)与与原价原价x(x(单位单位:元元)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示.(1
5、)(1)写出写出y y甲甲,y,y乙乙关于关于x x的函数关系式的函数关系式;例例1 1 甲、乙两家农贸商店甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节龙虾节”期间期间,甲、乙两家商店都让利酬宾甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额付款金额y y甲甲,y,y乙乙(单位单位:元元)与与原价原价x(x(单位单位:元元)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示.(2)(2)“龙虾节龙虾节”期间期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?解解:(2)(2)当当0 x2 0000 x2 000时时,0.8x
6、x,0.8xx,到甲商店购买更省钱到甲商店购买更省钱;当当x x2 0002 000时时,若若到甲商店购买更省钱到甲商店购买更省钱,则则0.8x0.7x+600,0.8x0.7x+600,解得解得x6 000;x0.7x+600,0.8x0.7x+600,解得解得x6 000;x6 000;若到甲、乙两商店购买花钱一若到甲、乙两商店购买花钱一样样,则则0.8x=0.7x+600,0.8x=0.7x+600,解得解得x=6 000;x=6 000;故当购买金额按原价小于故当购买金额按原价小于6 0006 000元元时时,到甲商店购买更省钱到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于当购买金额按原价大
7、于6 0006 000元时元时,到乙商店到乙商店购买更省钱购买更省钱;当购买金额按原价等于当购买金额按原价等于6 0006 000元时元时,到甲、乙两商店购买花到甲、乙两商店购买花钱一样钱一样.方法总结方法总结建立一次函数模型建立一次函数模型,常设为常设为y=kx+b(ky=kx+b(k0),0),然后用待定系数法求出然后用待定系数法求出k,bk,b的值的值,再根据单调性求最值或利用方程、不等式思想解题再根据单调性求最值或利用方程、不等式思想解题.针对训练针对训练1:1:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超若超过规定的质量过
8、规定的质量,则需购买行李票则需购买行李票,行李费用行李费用y(y(单位单位:元元)是行李质量是行李质量x(x(单位单位:kg):kg)的一次函数的一次函数,其图象如图所示其图象如图所示.(1)(1)根据图象数据根据图象数据,求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式;针对训练针对训练1:1:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超若超过规定的质量过规定的质量,则需购买行李票则需购买行李票,行李费用行李费用y(y(单位单位:元元)是行李质量是行李质量x(x(单位单位:kg):kg)的一次函数的一次函数,其图象如图所示其图
9、象如图所示.(2)(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?解解:(2)(2)根据题意根据题意,当当y=0y=0时时,0,0 x x30.30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.30 kg.探究点二探究点二二次函数模型二次函数模型 例例2 2 某农家旅游公司有客房某农家旅游公司有客房160160间间,每间房单价为每间房单价为200200元时元时,每天都客满每天都客满.已知每间已知每间房单价每提高房单价每提高2020元元,则客房出租数就会减少则客房出租数就会减少1010间间,若不考虑其他因素若不考虑其他因素,旅游
10、公司把每旅游公司把每间房单价提到多少时间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高每天客房的租金总收入最高?解解:设每间房单价提高设每间房单价提高x x个个2020元时元时,每天客房的租金总收入为每天客房的租金总收入为y y元元.此时每间房单价为此时每间房单价为(200+20 x)(200+20 x)元元,而客房出租数将减少而客房出租数将减少10 x10 x间间,即为即为(160-10 x)(160-10 x)间间,因此因此y=(200+20 x)(160-10 x)=200(10+x)(16-x)y=(200+20 x)(160-10 x)=200(10+x)(16-x)=200(-x=20
11、0(-x2 2+6x+160)=200-(x-3)+6x+160)=200-(x-3)2 2+169=-200(x-3)+169=-200(x-3)2 2+33 800.+33 800.从而可知从而可知,当当x=3x=3时时,y,y的最大值为的最大值为33 800.33 800.因此每间房单价提到因此每间房单价提到200+20200+203=2603=260元时元时,每天客房的租金总收入最高每天客房的租金总收入最高.方法总结方法总结(1)(1)二次函数与二次方程之间有密切的关系二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束解题时要注意题目中的约束条件条件.(2)(2)求解二次函数
12、问题应注意二次函数图象的对称性与单调性求解二次函数问题应注意二次函数图象的对称性与单调性.(3)(3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式还需掌握一些常见的关系式,如利润如利润=(=(商品销售单价商品销售单价-商品成本单价商品成本单价)销售销售量等量等.针对训练针对训练2:2:某公司试销一种成本单价为某公司试销一种成本单价为5050元元/件的新产品件的新产品,规定试销时销售单规定试销时销售单价不低于成本单价价不低于成本单价,又不高于又不高于8080元元/件件.经试销调查经试销调查,发
13、现销售量发现销售量y(y(单位单位:件件)与与销售单价销售单价x(x(单位单位:元元/件件)的关系可近似看作一次函数的关系可近似看作一次函数y=kx+b(y=kx+b(如图所示如图所示).).(1)(1)根据图象根据图象,求一次函数求一次函数y=kx+by=kx+b的解析式的解析式;针对训练针对训练2:2:某公司试销一种成本单价为某公司试销一种成本单价为5050元元/件的新产品件的新产品,规定试销时销售单规定试销时销售单价不低于成本单价价不低于成本单价,又不高于又不高于8080元元/件件.经试销调查经试销调查,发现销售量发现销售量y(y(单位单位:件件)与与销售单价销售单价x(x(单位单位:元
14、元/件件)的关系可近似看作一次函数的关系可近似看作一次函数y=kx+b(y=kx+b(如图所示如图所示).).(2)(2)设公司获得的利润为设公司获得的利润为S(S(单位单位:元元)()(利润利润=销售总价销售总价-成本总价成本总价,销售总价销售总价=销销售单价售单价销售量销售量,成本总价成本总价=成本单价成本单价销售量销售量).).试用销售单价试用销售单价x x表示利润表示利润S;S;解解:(2)(2)由由(1)(1)知知,S=xy-50y=(-x+100)(x-50),S=xy-50y=(-x+100)(x-50)=-x=-x2 2+150 x-5 000(50+150 x-5 000(5
15、0 x x80).80).针对训练针对训练2:2:某公司试销一种成本单价为某公司试销一种成本单价为5050元元/件的新产品件的新产品,规定试销时销售单价不低于规定试销时销售单价不低于成本单价成本单价,又不高于又不高于8080元元/件件.经试销调查经试销调查,发现销售量发现销售量y(y(单位单位:件件)与销售单价与销售单价x(x(单位单位:元元/件件)的关系可近似看作一次函数的关系可近似看作一次函数y=kx+b(y=kx+b(如图所示如图所示).).(2)(2)设公司获得的利润为设公司获得的利润为S(S(单位单位:元元)()(利润利润=销售总价销售总价-成本总价成本总价,销售总价销售总价=销售单
16、价销售单价销售量销售量,成本总价成本总价=成本单价成本单价销售量销售量).).当销售单价定为多少时当销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润该公司可获得最大利润?最大利润是多少最大利润是多少?此时的销售量是此时的销售量是多少多少?解解:由可知由可知,S=-(x-75),S=-(x-75)2 2+625(50+625(50 x x80),80),其图象开口向下其图象开口向下,对称轴为直线对称轴为直线x=75,x=75,所以当所以当x=75x=75时时,S,Smaxmax=625,=625,即该公司可获得的最大利润为即该公司可获得的最大利润为625625元元,此时相应的销售单价为此时相应的销售单价
17、为7575元元/件件,销售量为销售量为2525件件.探究点三探究点三 例例33 现计划建造一个室内面积为现计划建造一个室内面积为1 500 m1 500 m2 2的矩形温室大棚的矩形温室大棚,并在温室大并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留左、右内墙各保留1.5 m1.5 m宽的通道宽的通道,两养殖池之间保留两养殖池之间保留2 m2 m宽的通道宽的通道.设温室设温室的一边长度为的一边长度为x m,x m,如图所示如图所示.(1)(1)将两个养殖池的总面积将两个养殖池的总面积y y表
18、示为表示为x x的函数的函数,并写出定义域并写出定义域;例例33 现计划建造一个室内面积为现计划建造一个室内面积为1 500 m1 500 m2 2的矩形温室大棚的矩形温室大棚,并在温室大并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留左、右内墙各保留1.5 m1.5 m宽的通道宽的通道,两养殖池之间保留两养殖池之间保留2 m2 m宽的通道宽的通道.设温室设温室的一边长度为的一边长度为x m,x m,如图所示如图所示.(2)(2)当温室的边长当温室的边长x x取何值时取何值时,总面积总面积y
19、 y最大最大?最大值是多少最大值是多少?方法总结方法总结针对训练针对训练3 3:某建筑公司打算在一处工地上修建一座简易储物间某建筑公司打算在一处工地上修建一座简易储物间.该储物间该储物间室内地面呈矩形形状室内地面呈矩形形状,面积为面积为50 m50 m2 2,并且一面紧靠工地现有围墙并且一面紧靠工地现有围墙,另三面用另三面用高度一定的矩形彩钢板围成高度一定的矩形彩钢板围成,顶部用防雨布遮盖顶部用防雨布遮盖,其平面图如图所示其平面图如图所示.已知已知该型号彩钢板价格为该型号彩钢板价格为100100元元/米米,整理地面及防雨布总费用为整理地面及防雨布总费用为500500元元,不受地不受地形限制形限
20、制,不考虑彩钢板的厚度不考虑彩钢板的厚度,记与墙面平行的彩钢板的长度为记与墙面平行的彩钢板的长度为x m.x m.(1)(1)用用x x表示修建储物间的总造价表示修建储物间的总造价f(x)(f(x)(单位单位:元元););针对训练针对训练3 3:某建筑公司打算在一处工地上修建一座简易储物间某建筑公司打算在一处工地上修建一座简易储物间.该储物间该储物间室内地面呈矩形形状室内地面呈矩形形状,面积为面积为50 m50 m2 2,并且一面紧靠工地现有围墙并且一面紧靠工地现有围墙,另三面用另三面用高度一定的矩形彩钢板围成高度一定的矩形彩钢板围成,顶部用防雨布遮盖顶部用防雨布遮盖,其平面图如图所示其平面图
21、如图所示.已知已知该型号彩钢板价格为该型号彩钢板价格为100100元元/米米,整理地面及防雨布总费用为整理地面及防雨布总费用为500500元元,不受地不受地形限制形限制,不考虑彩钢板的厚度不考虑彩钢板的厚度,记与墙面平行的彩钢板的长度为记与墙面平行的彩钢板的长度为x m.x m.(2)(2)如何设计该储物间如何设计该储物间,可使总造价最低可使总造价最低?最低总造价为多少元最低总造价为多少元?分段函数模型分段函数模型探究点四探究点四(1)(1)试写出该超市这种商品的日销售额试写出该超市这种商品的日销售额y y与时间与时间t(0tt(0t20)20)的函数表达式的函数表达式;(2)(2)求该超市这
22、种商品的日销售额求该超市这种商品的日销售额y y的最大值与最小值的最大值与最小值.解解:(2)(2)由由(1)(1)知当知当0t0t1010时时,y=-t,y=-t2 2+10t+1 200=-(t-5)+10t+1 200=-(t-5)2 2+1 225,+1 225,函数图象开口向下函数图象开口向下,对称轴为直线对称轴为直线t=5,t=5,该函数在该函数在(0,5(0,5上单调递增上单调递增,在在(5,10(5,10上单调递减上单调递减,所以所以y ymaxmax=1 225(=1 225(当当t=5t=5时取得时取得),y),yminmin=1 200(=1 200(当当t=10t=10
23、时取得时取得););当当10t100.y=0.999 6x,x0.3.3.一种商品的售价上涨一种商品的售价上涨2%2%后后,又下降了又下降了2%,2%,则商品的最终售价则商品的最终售价y y与原来的售与原来的售价价x x之间的关系为之间的关系为.答案答案:y=0.999 6x(x0)y=0.999 6x(x0)答案答案:20020010 00010 000元元备用例题备用例题某家庭某家庭(父亲、母亲和孩子们父亲、母亲和孩子们)去某地旅游去某地旅游,甲旅行社说甲旅行社说:“如果父亲买一张如果父亲买一张全票全票,其余人可享受半票优惠其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说乙旅行社说:“家庭旅行为集体票家庭旅行为集体票,按原价按原价的三分之二优惠的三分之二优惠.”这两家旅行社的原价是一样的这两家旅行社的原价是一样的,根据该家庭中孩子数的根据该家庭中孩子数的不同不同,分别建立表达式分别建立表达式,计算两家旅行社的收费计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠并讨论哪家旅行社更优惠.
