1、1.4.2充要条件第一章1.4充分条件与必要条件充要条件一思考:下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，则ac0；(4)若AB是空集，则A与B均是空集.提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.知识梳理如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，
2、此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.pqqppq充要充要条件的判断方法：确定哪个是条件，哪个是结论；尝试用条件推结论；再尝试用结论推条件；最后判断条件是结论的什么条件.注意点：思考:你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？提示首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假.原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件.pq ,qp原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；pq,qp
3、原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.p q,q ppqA是B的充要条件 A BA是B的充分不必要条件 B AA是B的必要不充分条件 A=BA是B既不充分也不必要条件 AB指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).p是q的充分不必要条件.例1(2)p：1x5，q：x1且x5；1x5x1且x5，p是q的充要条件.(3)p：x2y，q：(x2)2y2；由q：(x2)2y2，得x2y且x2y，又p：x2y，故p是q的必要不充分条件.(4)p：a是自然数；q：a是正数.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(
4、1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用pq与qp的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性.反思感悟反思感悟 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；跟踪训练1充要条件；(2)p：O内两条弦相等，q：O内两条弦所对的圆周角相等；必要不充分条件；(3)p：AB，q：A与B
5、之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；必要不充分条件；充分不必要条件.充要条件的证明二求证：一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0.例2必要性：由于方程ax2bxc0(a0)有一正实根和一负实根，ac0.方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根.综上，一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.例3p：2x10，q：1mx1m(m0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，解得m3.
6、又m0，所以实数m的取值范围为m|00).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.解得m9，即实数m的取值范围为m|m9.2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.因为p：2x10，q：1mx1m(m0).故不存在实数m，使得p是q的充要条件.反思感悟反思感悟应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.课堂小结1.知识清单：(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：条件和结论辨别不清.
