1、专 题 一专 题 一 分类讨论思想又称分类讨论思想又称“逻辑划分思想逻辑划分思想”，它是把所要研究的数学对象划分成若干不它是把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形，然后再分类进行研究和求解的同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想一种数学思想.1.1.思维程序：思维程序：确定分类确定分类对象、标准对象、标准获得阶段获得阶段性结论性结论分析分析分类讨论分类讨论综合综合 2.2.在历年高考中常见的几种分类：在历年高考中常见的几种分类：（1 1）由数学概念引起的分类由数学概念引起的分类 有的数学概念就是分类给出的，如绝有的数学概念就是分类给出的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等对值
2、、直线斜率、指数函数、对数函数等定义中，包括了分类定义中，包括了分类.有的数学概念在定义有的数学概念在定义时，明确了范围，也将引起讨论，如两直时，明确了范围，也将引起讨论，如两直线所成的角、直线与平面所成的角、二面线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角等角、向量的夹角等.（2 2）由性质、定理及公式引起的分类讨论由性质、定理及公式引起的分类讨论有的数学定理、性质、公式是分类给出的，有的数学定理、性质、公式是分类给出的，在不同的条件下有不同的结论，或在一定在不同的条件下有不同的结论，或在一定的限制条件下才成立的，如等比数列的前的限制条件下才成立的，如等比数列的前n n项和公式、指数函
3、数和对数函数的性质等项和公式、指数函数和对数函数的性质等.（3 3）对于含有参数的问题要对参数的允许值进行对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的讨论这类题首先根据题目条件确定参数的全面的讨论这类题首先根据题目条件确定参数的取值范围，然后再由概念去分类或由变形所需的取值范围，然后再由概念去分类或由变形所需的条件去分类条件去分类,或由运算性质、定理分类，逐段讨论或由运算性质、定理分类，逐段讨论求解求解.（4 4）由图形引起的分类讨论有的图形的类型、位由图形引起的分类讨论有的图形的类型、位置关系要讨论，如点、线、面的位置关系，圆锥置关系要讨论，如点、线、面的位置关系，圆锥曲线的类型分类等曲线的
4、类型分类等.（5 5）由实际意义引起的分类如在排列组合问题中由实际意义引起的分类如在排列组合问题中常需根据实际情况的不同情形分类求解常需根据实际情况的不同情形分类求解.22.1012af xxxa xafaf x设 为实数，函数若例，求 的取值范围；求1.的最小值 01112fa a由，知，然后根据绝对值的定义解此不等式可解得第小题；而第小题利用绝对值的定义化函数为分段函数，然后分别分析：求其最值考点考点1 1 数学概念引起的分类讨论数学概念引起的分类讨论 22222min22min001111.32 02 02 12 0 0332 02 0(1afa aaaxaf xxaxaf aaaaf
5、xaafaaxaf xxaxafaaffaxaa 若，则故当时，则；当时解析：的取值则范围是，22min222 0.2 03 0.2 0aafaaxaaaa 综上，2222()3214 2 12(2 1)1(1)28.612802(,)(,)()0,336(),).2fxxaxaaaaaaaaxxfxf xa ，其判别式若，即，当或时，故在（上为增函数，所以解析：322()(1),01.afxxaxaxa 变 式 题设为 实 数，函 数在（）和（，）上 都 是 增 函 数，求 的 取 值 范 围：22222121212121280()03(),),266(,)(,).2266128022323
6、20.33()()0(2)013)0.af xf xaaaaaaaafxxxxxxxfxf xxxxfxf xxx 若 恒有，在（上为增函数，所以 即若，即，令，解得，当，或，时，为增函数；当，时，为减函数依题意且212260321.2661323.2261)26(1)666()1)2222xaaaxaaaaaa 由得，解得由得，解得 从而，综上，的取值，范围为，即2222_.nnnnnnnnnanSnnbnTbaabb已 知 数 列的 前项 和，数 列的 前项 和，则 数 列的 通 项 公 式 为，数 列的 通 项 公 式 为例 2.1212nnnn分 两 类与进 行 解 答，但 须 注意
7、验 证的 结 果 是 否 在分 析：的 结 果 中 考点考点2 2 由运算的要求或性质、定理、公式的由运算的要求或性质、定理、公式的条件引起的分类讨论条件引起的分类讨论 122*11*1111111222212144(2)1444()121.2222112nnnnnnnnnnnnnnnnaSSnnnnnan nnnaSanaan nnbTbbnbTTbbbbb当时，所以，当时，满足，故数列的通项公式为同理，当时，所以当时，所以，所以数列成等比数列，其首项为，公比为所解，析：NN1*1()()2nnbn以N1 1 212nnnnnSnaaSSnnn 由数学运算性质类型、公式和定理、法则有范围或者
8、条件限制，或者是分类给出的，在解答中注意分类讨论思想的应用本题中利用求出就须分与【评析】讨论221log0()11A(+)B(1+)211C(1)D(0)22aaaa若，则 的取值范围是 ，式，变题：2a因为的大小不确定，所以根据对数运算的单调性知，需对其进行分解析:类讨论 2222221210210211log010111121211log001011111.2aaaaaaaaaaaaaaaaaCaa当，即 时，或，所以；当，即 时，解析：所故选以 32130.31200,1fxaxbxxaabfxafxab已 知 函 数，其 中当、满 足 什 么 条 件 时，取 得 极 值？已 知 ，且在
9、 区 间上 单 调 递 增，试用表 示 出 的 取例 3.值 范 围 1002101fxabaafxaaab第小题首先求导函数，然后利用判别式确定、满足的条件，再分 与 讨论函数的极值问题；第小题须分 与 讨论函数的单调区间，并用 表示出 的分析：取值范围考点考点3 3 由参数字母的取值情况引起的分类讨论由参数字母的取值情况引起的分类讨论 2222222212221221.021021044021024422441.2fxaxbxfxaxbxf xaxbxbabaaxbxbbabbaxaabbabbaxaafxa xxxx 由已知得令，得，要取得极值，方程必须有解，所以，即 ，此时解析：方程的
10、根为，所以 1200af xxxa 当 时，所以在，处分别取得极大值和极小值当时，x(-，x1)x1(x 1，x 2)x 2(x 2，+)f(x)+0-0+f(x)增函数增函数极大值极大值减函数减函数极小值极小值增函数增函数x(-，x 2)x 2(x 2，x 1)x 1(x 1，+)f(x)-0+0-f(x)减函数减函数极小值极小值增函数增函数极大值极大值减函数减函数 1222max2220,12100,110,1221().22111222222f xxxabbaf xf xfxaxbxaxbxxaxbxa xaxaag xgxxxx 所以在，处分别取得极大值和极小值综上，当，满足 时，取得
11、极值要使在区间上单调递增，需使在上恒成立即在上恒成立，所以设，110()11101(0)01221(1012211().gxxxaaaxgxaaaxg xxxgxaaxg xxxg xagabaa 令，得或舍去，当 时，当，时，是单调增函数当，时，是单调减函数，所以当时，取得最大值，最大值为，所以 101100,110,1221111.22101.12agxaaxg xaabaaxxg xaagbb 当 时，此时在区间上恒成立，所以在区间上单调递增当时，取得最大值，最大值为，所以综当 上；当，时，时 12a解含有参数的问题时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于对参数数值要运用不同的
12、求解或证明方法，此时必须根据参数的不同取值范围进行讨论本题解答中分类讨论思想体现在两个方面【评析：二次函数首项系数的讨论；研究函数的单调性时对】的讨论 212xef xaxaxaf xaf xf xRR设函数，其中 为实数若的定义域为，求 的取值范围；当的定义域变式为 时，求的题：单调减区间 22220400404.2.020002.040200122xf xxaxaaaaaf xx xaefxxaxafxx xafxxxaaafxxa 的定义域为，所以恒成立，所以，所以，即当时，的定义域为令，得；由，得或又因为，所以当时，由，解得；析：RR 2024020020,2242,0afxafxax
13、af xaaf xa当时，；当时，由，得，故当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为 22221(0)3321.212xyCababFlCABlOlabCPlFOPOAOBPl 已知椭圆：的离心率为，过右焦点 的直线 与 相交于、两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为求，的值；上是否存在点，使得当 绕 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的坐标与 的方程；若不存在，说备选例题：明理由 22,010|00|21.32.23312F clxyccOlccaeaabc 设，当 的斜率为 时，其解析：，方程为，则原点 到 的距离为，所以由，得 12xlxlx第小题利用点到直线的距离与椭圆
14、的离心率可解决；第须根据分直线与 轴的位置关系分直线 垂直 轴与 不垂直 轴析：进行解答 22112212122212122222112212121236.()()1()236232346(6)2 CPlFCxyA xyB xylxlyk xCPOPOAOBPxxyyxxyyxyxyx xy y 上存在点，使得当 绕 转到某一位置时，有成立由知 的方程为设，当 不垂直 轴时，设 的方程为，上的点 使成立的充要条件是 点的坐标为，则，整理，得222211221212.236,2362330.ABCxyxyx xy y又、在 上，即，故2222222122212222121222121212123
15、623636062336234112332.232()222yk xxykxk xkkxxkkx xkky ykxxkkxxkkyyk xxP 将代入，并化简，得，于是，将代入解得，此时于是，即，322()22220322()220.222,032()222(0)2.kPlxykPlxylxOAOBCPOPOAOBCPOPOAOBlxy 因此，当时，的方程为；当时，的方程为当 垂直于 轴时，由知，上不存在点 使成立综上，上存在点，使成立，此时的方程为 1.1.一般来说，分类的原因有两个：一般来说，分类的原因有两个：一是被动分类，一是被动分类，即我们研究的对象（概念、性即我们研究的对象（概念、性
16、质和法则、问题的条件）本身就是需要分类的，质和法则、问题的条件）本身就是需要分类的，也就是说问题的提出本身已经包含了分类的原因也就是说问题的提出本身已经包含了分类的原因;二是主动分类二是主动分类，即问题本身并不包含分类的因，即问题本身并不包含分类的因素，只是因为解决问题的需要，将面对的情况划素，只是因为解决问题的需要，将面对的情况划分成几类，以适合不同的原理或法则的条件，分分成几类，以适合不同的原理或法则的条件，分门别类地采用不同的方式解决问题门别类地采用不同的方式解决问题.2.2.可以说分类讨论思想贯穿于中学可以说分类讨论思想贯穿于中学数学的始终，我们既要重视它，又要数学的始终，我们既要重视
17、它，又要认识到它的过程的繁琐性，因此解题认识到它的过程的繁琐性，因此解题过程中需要我们辩证地对待分类讨论过程中需要我们辩证地对待分类讨论这一思想方法，做到尽可能地简化或这一思想方法，做到尽可能地简化或回避分类讨论回避分类讨论.02 12 1.(201111)1.axaxf xxaxfafaa 已知实数，函数，若，则 的值为_苏卷_江011,1132 112()2011,11122234.aaaaaaaaaaaaaaaa 当 时，所以，解得舍去，当 时，所以，解析：解得221891 25A 4 B 4455C 4 D42.(20)411xykek已知椭圆的离心率，则 的值为或浙江或卷2222228911428911541.94xakbckcekaybkkakck当椭圆的焦点在 轴时，所以，由，得；当椭圆的焦点在 轴时，所以，由，得解析：
