1、选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系【知识梳理知识梳理】1.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点设点P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换在变换:_:_的作用下的作用下,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,y),P(x,y),称称为平面直角坐标系为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换简称伸缩变换.xx(0),yy(0)2.2.极坐标系与点的极坐标极坐标系与点的极坐标(1)(1)极坐标系极坐标系:在平面内取一个定点在平面内取一个定点O,O,即即_,_,自极点自极点O O引一
2、条射线引一条射线Ox,Ox,即即_;_;再选定一个长度单位、一个角度单位再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度通常取弧度)及其正方及其正方向向(通常取逆时针方向通常取逆时针方向),),就建立了极坐标系就建立了极坐标系.(2)(2)点的极坐标点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点对于极坐标系所在平面内的任一点M,M,若设若设|OM|=|OM|=(0),(0),以以OxOx为始边为始边,OM,OM为终边的角为为终边的角为,则点则点M M可用有序数对可用有序数对_表示表示.极点极点极轴极轴(,)(,)(3)(3)极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式:设点设点P P的直角坐标
3、为的直角坐标为(x,y),(x,y),它的极坐标为它的极坐标为(,),(,),则互化公式为则互化公式为2_,x_,y_,tan_.cossin22xyy(x0)x直线直线极坐标方程极坐标方程图形图形过极点过极点,倾斜角为倾斜角为=_(R)=_(R)或或=_(R)=_(R)(=_(=_和和=_(0)=_(0)3.3.直线的极坐标方程直线的极坐标方程(1)(1)特殊位置的直线的极坐标方程特殊位置的直线的极坐标方程:+直线直线极坐标方程极坐标方程图形图形过点过点(a,0),(a,0),与极轴垂直与极轴垂直_=a_=a过点过点 与极轴平行与极轴平行 _=a(0)_=a(0)(a)2，()22 sins
4、incos cos(2)(2)一般位置的直线的极坐标方程一般位置的直线的极坐标方程:若直线若直线l经过点经过点M(M(0 0,0 0),),且极轴且极轴到此直线的角为到此直线的角为,直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为sin(-)=_sin(-)=_._.0 0sin(-sin(-0 0)4.4.半径为半径为r r的圆的极坐标方程的圆的极坐标方程(1)(1)特殊位置的圆的极坐标方程特殊位置的圆的极坐标方程:圆心的圆心的极坐标极坐标圆的极坐标圆的极坐标方程方程图形图形(0,0)(0,0)=_=_(02)(02)(r,0)(r,0)=_=_()22 r r2rcos 2rcos 圆心的圆心的极坐
5、标极坐标圆的极坐标圆的极坐标方程方程图形图形=_=_(0)(0)(r,)(r,)=_=_=_=_(2)(2)3()22 2rsin2rsin-2rcos-2rcos-2rsin-2rsin(r,)23(r,)2(2)(2)一般位置的圆的极坐标方程一般位置的圆的极坐标方程:若圆心为若圆心为M(M(0 0,0 0),),半径为半径为r,r,则圆则圆的极坐标方程为的极坐标方程为_._.2220002cos()r0 【小题快练小题快练】1.(20151.(2015南昌模拟南昌模拟)若原点与极点重合若原点与极点重合,x,x轴正半轴与极轴重合轴正半轴与极轴重合,则点则点(-5,-5 )(-5,-5 )的极
6、坐标是的极坐标是()34A.(10,)B.(10,)3322C.(10,)D.(10,)33【解析解析】选选B.B.设点设点(-5,-5 )(-5,-5 )的极坐标为的极坐标为(,),(,),则则tan=tan=因为因为x0,x0,所以最小正角所以最小正角=10.=10.所以极坐标为所以极坐标为35 335，43，2255 3 4(10,).32.(20142.(2014江西高考江西高考)若以直角坐标系的原点为极点若以直角坐标系的原点为极点,x,x轴的非负半轴轴的非负半轴为极轴建立极坐标系为极轴建立极坐标系,则线段则线段y=1-x(0 x1)y=1-x(0 x1)的极坐标方程为的极坐标方程为(
7、)1A.,0cossin21B.,0cossin4C.cossin,02D.cossin,04 【解析解析】选选A.A.把把x=cos,y=sinx=cos,y=sin代入得代入得=而而0 x10 x1可得可得0 .0 .1cossin，23.(20153.(2015惠州模拟惠州模拟)已知圆的极坐标方程为已知圆的极坐标方程为=4cos,=4cos,圆心为圆心为C,C,点点P P的极坐标为的极坐标为 ,则则|CP|=|CP|=.【解析解析】由由=4cos=4cos可得圆的直角坐标方程为可得圆的直角坐标方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4,=4,圆心圆心C(2,0).C(2,0).点
8、点P P的直角坐标为的直角坐标为P(2,2 ),P(2,2 ),所以所以|CP|=2 .|CP|=2 .答案答案:2 2(4,)3333考点考点1 1 伸缩变换伸缩变换【典例典例1 1】将圆将圆x x2 2+y+y2 2=1=1变换为椭圆变换为椭圆 =1=1的一个伸缩变换公式为的一个伸缩变换公式为:求求,的值的值.22xy94xx0,yy0,【解题提示解题提示】先将变换后的椭圆方程改写先将变换后的椭圆方程改写,再将变换公式代入此椭圆再将变换公式代入此椭圆方程方程,整理求得整理求得,的值的值.【规范解答规范解答】将变换后的椭圆方程将变换后的椭圆方程 =1=1改写为改写为=1=1，将伸缩变换公式，
9、将伸缩变换公式:代入上式得代入上式得即即 与与x x2 2+y+y2 2=1=1比较系数得比较系数得解得解得22xy9422xy94xx0,yy(0)2222xy194，2222()x()y132，22()1,3()1,23,2.【互动探究互动探究】本例若改为将椭圆本例若改为将椭圆 =1=1变换为圆变换为圆x x2 2+y+y2 2=1=1的一个伸的一个伸缩变换公式为缩变换公式为:则如何求则如何求m,nm,n的值的值?22xy94xmx m0,yny n0,【解析解析】将变换后的圆将变换后的圆x x2 2+y+y2 2=1=1改写为改写为xx2 2+y+y2 2=1=1，将伸缩变换，将伸缩变换
10、:代入上式得代入上式得m m2 2x x2 2+n+n2 2y y2 2=1=1，与，与 =1=1比较系数得比较系数得 解得解得xmx m0,yny(n0)22xy94221m,91n,41m,31n.2【规律方法规律方法】伸缩变换公式应用时的两个注意点伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点解题时一定要区分变换前的点P P的坐标的坐标(x,y)(x,y)与变换后的点与变换后的点PP的坐标的坐标(x,y),(x,y),再利用伸缩变换公式再利用伸缩变换公式
11、 建立联系建立联系.(2)(2)已知变换后的曲线方程已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,f(x,y)=0,一般都要改写为方程一般都要改写为方程f(x,y)f(x,y)=0,=0,再利用换元法确定伸缩变换公式再利用换元法确定伸缩变换公式.xx(0),yy(0)【变式训练变式训练】求将曲线求将曲线y=sinxy=sinx变换为曲线变换为曲线y=2sin3xy=2sin3x的伸缩变换公式的伸缩变换公式.【解析解析】将变换后的曲线将变换后的曲线y=2sin3xy=2sin3x改写为改写为 y=sin3x,y=sin3x,令令即得伸缩变换公式即得伸缩变换公式123xx,1yy,2 1xx,3y2y.考
12、点考点2 2 极坐标与直角坐标的相互转化极坐标与直角坐标的相互转化【典例典例2 2】(2014(2014广东高考改编广东高考改编)在极坐标系中在极坐标系中,曲线曲线C C1 1与与C C2 2的方程分的方程分别为别为2cos2cos2 2=sin=sin与与cos=1,cos=1,以极点为平面直角坐标系的原点以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为极轴为x x轴的正半轴建立平面直角坐标系轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线求曲线C C1 1与与C C2 2交点的直角坐交点的直角坐标标.【解题提示解题提示】将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标.【规范解答规
13、范解答】由由2cos2cos2 2=sin,=sin,得得222 2coscos2 2=sin,=sin,由由 得得2x2x2 2=y.=y.由由cos=1,cos=1,得得x=1,x=1,代入代入2x2x2 2=y,=y,解得解得x=1,y=2.x=1,y=2.所以曲线所以曲线C C1 1与与C C2 2交点的直角坐标为交点的直角坐标为(1,2).(1,2).xcos,ysin 【规律方法规律方法】1.1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)(1)取直角坐标系的原点为极点取直角坐标系的原点为极点.(2)(2)以以x x轴的非负半轴为极轴轴的非负半
14、轴为极轴.(3)(3)两种坐标系规定相同的长度单位两种坐标系规定相同的长度单位.2.2.直角坐标化为极坐标的关注点直角坐标化为极坐标的关注点(1)(1)根据终边相同的角的意义根据终边相同的角的意义,角角的表示方法具有周期性的表示方法具有周期性,故点故点M M的极的极坐标坐标(,)(,)的形式不唯一的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个即一个点的极坐标有无穷多个.当限定当限定0,0,2)0,0,2)时时,除极点外除极点外,点点M M的极坐标是唯一的的极坐标是唯一的.(2)(2)当把点的直角坐标化为极坐标时当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角求极角应注意判断点应注意判断点M M所在的所在的象限象
15、限(即角即角的终边的位置的终边的位置),),以便正确地求出角以便正确地求出角0,2)0,2)的值的值.【变式训练变式训练】(2014(2014上海高考改编上海高考改编)已知曲线已知曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为(3cos-4sin)=1,(3cos-4sin)=1,求求C C与极轴的交点到极点的距离与极轴的交点到极点的距离.【解析解析】将极坐标方程将极坐标方程(3cos-4sin)=1(3cos-4sin)=1化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为3x-4y=1,3x-4y=1,则则C C与极轴的交点即为直线与与极轴的交点即为直线与x x轴的交点轴的交点 ,极点即为原极点即为原点点,故所
16、求的距离为故所求的距离为 .1(,0)313【加固训练加固训练】1.1.极坐标系中，求直角坐标为极坐标系中，求直角坐标为(-1,)(-1,)的点的极径和的点的极径和极角极角.【解析解析】直角坐标为直角坐标为(-1,)(-1,)的点到极点的距离为的点到极点的距离为=2,=2,又又tan=-,tan=-,且点在第二象限，得且点在第二象限，得=2k+,kZ.=2k+,kZ.于是点于是点(-1,)(-1,)的极坐标为的极坐标为(2(2，2k+)(kZ)2k+)(kZ)，所以此点的极径为所以此点的极径为2 2，极角为，极角为2k+(kZ).2k+(kZ).3322xy323323232.2.在极坐标系中
17、，求点在极坐标系中，求点 关于直线关于直线=的对称点的对称点N N的极坐的极坐标，并求标，并求MNMN的长的长【解析解析】点点 的直角坐标为的直角坐标为(,1)(,1)，直线，直线=的直角坐标的直角坐标方程为方程为tan=1tan=1，即，即x-y=0 x-y=0，点，点M(,1)M(,1)关于直线关于直线x-y=0 x-y=0的对称的对称点点N N的坐标为的坐标为(1,)(1,)，化为极坐标得，化为极坐标得由于点由于点M(,1)M(,1)到直线到直线x-y=0 x-y=0的距离的距离所以所以MNMN的长为的长为|MN|=2d=|MN|=2d=M(2,)64M(2,)634yx33(2,)3，
18、331d2，62考点考点3 3 直线与圆的极坐标方程的应用直线与圆的极坐标方程的应用【典例典例3 3】在极坐标系中在极坐标系中,已知曲线已知曲线C C1 1与与C C2 2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为=2sin=2sin与与cos=-1(02),cos=-1(02),求求:(1)(1)两曲线两曲线(含直线含直线)的公共点的公共点P P的极坐标的极坐标.(2)(2)过点过点P P被曲线被曲线C C1 1截得弦长为截得弦长为 的直线的极坐标方程的直线的极坐标方程.2【解题提示解题提示】(1)(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标
19、极坐标.(2)(2)利用数形结合思想利用数形结合思想,转化为几何性质解决转化为几何性质解决.【规范解答规范解答】(1)(1)由公式由公式 得曲线得曲线C C1 1：=2sin=2sin 与与C C2 2：cos=-1(02)cos=-1(0rdr相切相切一个一个d=rd=r相交相交两个两个drdr【规律方法规律方法】常见的直线与圆的综合问题常见的直线与圆的综合问题(1)(1)直线与圆的位置关系有三种直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交相离、相切、相交.设圆的半径为设圆的半径为r,r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,d,则有则有:(2)(2)若直线与圆相交于点若直线与圆相交于点A,
20、B,A,B,则弦长公式为则弦长公式为|AB|=|AB|=222 rd.【变式训练变式训练】(2015(2015广州模拟广州模拟)在极坐标系在极坐标系(,)(02)(,)(02)中中,求直线求直线=被圆被圆=2sin=2sin截得的弦长截得的弦长.【解析解析】在极坐标系在极坐标系(,)(02)(,)(02)中中,直线直线=的直角坐标的直角坐标方程为方程为x-y=0,x-y=0,圆圆=2sin=2sin的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=2y,=2y,即即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,圆心圆心(0,1)(0,1)到直线的距离为到直线的距离为d=,d=
21、,所以弦长为所以弦长为4412222 rd2.【加固训练加固训练】1.1.已知极坐标系中已知极坐标系中,圆圆C C1 1:=2cos:=2cos与圆与圆C C2 2:=2asin(a0).:=2asin(a0).(1)(1)将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程.(2)(2)若两圆的圆心距为若两圆的圆心距为3,3,求求a a的值的值.【解析解析】(1)(1)由圆由圆C C1 1:=2cos,:=2cos,得得2 2=2cos,=2cos,化为直角坐标方程化为直角坐标方程为为x x2 2+y+y2 2=2x,=2x,即即(x-1)(x-1)2 2+y+y2
22、2=1.=1.圆圆C C2 2:=2asin(a0):=2asin(a0)即即2 2=2asin,=2asin,化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=2ay,=2ay,即即x x2 2+(y-a)+(y-a)2 2=a=a2 2.(2)(2)由于两圆的圆心距为由于两圆的圆心距为3,3,得得 =3,=3,解得解得a=a=2 .2 .21a22.2.已知圆已知圆O O1 1和圆和圆O O2 2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为=4cos,=-sin.=4cos,=-sin.(1)(1)把圆把圆O O1 1和圆和圆O O2 2的极坐标方程化为直角坐标方程的极坐标方程化为直
23、角坐标方程.(2)(2)求经过圆求经过圆O O1 1,圆圆O O2 2的两个交点的直线的直角坐标方程的两个交点的直线的直角坐标方程.【解析解析】以极点为原点以极点为原点,极轴为极轴为x x轴的正半轴轴的正半轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,两两坐标系中取相同的长度单位坐标系中取相同的长度单位.(1)(1)由由x=cos,y=sin,=4cos,x=cos,y=sin,=4cos,得得2 2=4cos,=4cos,所以所以x x2 2+y+y2 2=4x.=4x.即即x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0为圆为圆O O1 1的直角坐标方程的直角坐标方程.同理同理x x2 2+y+y2 2+y=0+y=0为圆为圆O O2 2的直角坐标方程的直角坐标方程.(2)(2)由由 相减得过交点的直线的直角坐标方程为相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.4x+y=0.2222xy4x0,xyy0
