1、5.2 图形的相似易错清单1. 在研究三角形相似时,如果没有明确对应关系时,就一定要分类讨论,否则解答不完整.【例1】(2014新疆模拟)将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,那么BF的长度是.【解析】分两种情况讨论.由于CF=BC-BF=BC-BF,可算出BF的长即为BF的长;同理可以计算BF的长.【答案】或2【误区纠错】在判定三角形相似,未明确对应关系时,特别注意不要忘了分类,再根据不同的对应关系分别计算要求的线段.【例2】(2014青海模拟)如图,正方形ABCD的两边
2、BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形,已知AC=3,若点A的坐标为(1,2),则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是().【解析】延长AB交BC于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比.在正方形ABCD中,AC=3,BC=AB=3.延长AB交BC于点E,点A的坐标为(1,2),OE=1,EC=3-1=2=AE.正方形ABCD的边长为1.正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是.【答案】B名师点拨1. 三角形相似的性质与判定.2. 运用相似的知识解决一些实际问题,
3、要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题,要注意培养数学建模的思想.提分策略1. 在平面直角坐标系中,综合运用坐标与图形,相似三角形的判定与性质解决问题.【例1】如图,甲、乙两人分别从A(1,),B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向,乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达点M,乙到达点N.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.(2)当t为何值时,OMNOBA?【解析】此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点,难度较大.(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似的比例
4、式说明;(2)根据两个点到达点O的时间不同分段讨论解答;本题最大误区是易漏解.【答案】(1)因为A的坐标为(1,),所以OA=2,AOB=60.因为OM=2-4t,ON=6-4t,时,解得t=0,即在甲、乙两人到达点O前,只有当t=0时,OMNOAB,所以MN与AB不可能平行;2. 综合运用相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识解决较复杂的问题.【例2】如图,在ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是边BC的中点,点P从点B出发,以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s 的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运
5、动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.若a=2,BPQBDA,求t的值.【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用.由ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD与CD的长,又由a=2,BPQBDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值.【答案】在ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,D是BC的中点,BD=CD=6cm.a=2,BP=2t cm,DQ=t cm.BQ
6、=BD-QD=6-t(cm).BPQBDA,BP BD=BQAB.即2t6=(6-t)10.解得专项训练一、 选择题1. (2014浙江嘉兴模拟)如图,已知AD为ABC的角平分线,DEAB交AC于点E,如果=,那么等于().(第1题)(第2题)2. (2014广西百色模拟)正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则DEK的面积为().A. 10B. 12C. 14D. 163. (2013吉林镇赉县一模)如图,在梯形ABCD中,ADBC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则SAODSBOC等于().(第3题)(第
7、4题)4. (2013安徽淮南洞山中学第四次质量检测)如图,E(-4,2),F(-1,-1),以O为位似中心,按比例尺12,把EOF缩小,则点E的对应点E的坐标为().A. (2,-1)或(-2,1)B. (8,-4)或(-8,4)C. (2,-1)D. (8,-4)二、 填空题5. (2014安徽安庆二模)如图,在ABC中,E,F,D分别是边AB,AC,BC上的点,且满足则EFD与ABC的面积比为.(第5题)(第6题)6. (2014安徽淮北五校联考)如图,在四边形ABCD中,ADBC,BCD=90,ABC=45,AD=CD,CE平分ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE
8、于点G,连接DG交AC于点H,过点A作ANBC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论:CM=AF;CEAF;ABFDAH;GD平分AGC.其中正确的序是.7. (2013浙江湖州模拟) 的比例中项是.(第8题)8. (2013河南西华县王营中学一模)如图,已知ABC是面积为的等边三角形,ABCADE,AB=2AD,BAD=45,AC与DE相交于点F,则AEF的面积等于.(结果保留根号)三、 解答题9. (2014上海杨浦区三模)在梯形ABCD中,ADBC,DCBC,CEAB于点E,点F在边CD上,且BECE=BCCF.(1)求证:AECF=BEDF;(2)若点E为AB中点,求证:ADBC=2
9、EC2-BC2.(第9题)10. (2013河北二模)探究一:如图(1),在正三角形ABC中,E为边AB上任一点,CDE为正三角形,连接AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由.探究二:如图(2),若ABC为任意等腰三角形,AB=AC,E为AB上任一点,CDE为等腰三角形,DE=DC,且BAC=EDC,连接AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由.(第10题)参考答案与解析1. B解析DEAB,AD为ABC的角平分线,AE=DE.ABAC=DEEC=AEEC=23.3. D解析面积比等于相似比的平方.4. A解析位似图形与EOF有可能在点O同侧,也有可能在异侧.9. (1)CEAB,B+B
10、CE=90.DCBC,DCE+BCE=90.B=DCE.BECE=BCCF,BCECEF.BCE=CEF.EFBC.即AECF=BEDF.(2)在梯形ABCD中,EFBC,E为AB中点,EF=(AD+BC).BCECEF,=,即CE2=BCEF.CE2=(AD+BC)BC.整理,得ADBC=2EC2-BC2.10. (1)如图(1),ADBC.ABC与DEC为正三角形,AC=BC,DC=EC,1+2=2+3=60.1=3.在ADC与BEC中,ADCBEC.DAC=B=60.DAC=ACB.ADBC.(1)(2)(第10题)(2)如图(2),ADBC.ABC与DEC为等腰三角形,且BAC=EDC,ABCDEC.ACB=DCE,即1+2=2+3.1=3.ADCBEC.DAC=B.又AB=AC,B=ACB.DAC=ACB.ADBC. 第 - 9 - 页 共 9 页
