1、 2019 年东北三省三校年东北三省三校高三第一次联合模拟考试高三第一次联合模拟考试 文科数学答案文科数学答案 一 选择题 1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD 二填空题 13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4 三解答题 17解： （） 31 ( )sin2cos21sin(2) 1 226 f xxxx 2 分 0, 2 x ， 7 2 666 x， 4 分 1 sin(2) 12 26 x 函数( )f x的值域为 1 ,2 2 ； 6 分 （） 3 ( )sin(2) 1 62 f AA 1 sin(2) 62 A 0A， 13 2 666 A， 5 2 66 A，即
2、3 A 8 分 由余弦定理， 222 2cosabcbcA， 2 642cc，即 2 220cc 又0c， 13 c 10 分 133 sin 22 ABC SbcA 12 分 18. 解： （）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件M 设每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 为学生分别为 A,B,C,D,其中 A 表示近视 的学生, 随机抽取 2 名,所有的可能有 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种情况, 其中事件M共有 3 种情况, 即 AB,AC,AD, 所以 31 62 P M 故 随 机 抽 取2名 ， 其 中 恰 有 一 名 学 生 不 近 视 的
3、 概 率 为 1 2 4 分 （）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 8 分 所以 2 K的观测值 2 200 (40 4060 60) 8.0006.635 (4060)(6040)(4060)(6040) k ， 所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 12 分 19. 解:（） （方法一） ：由已知 11 18 33 23 P BCGBCG VSPGBG GC PG 4PG 2 分 PG平面ABCD，BG平面ABCD，PGBG 11 2 44 22 PBG SBG PG 1
4、 3 AGGD 333 2 442 BDGBCG SS 4 分 设点D到平面PBG的距离为h, D PBGP BDG VV 11 33 PBGBDG ShSPG , 11 3 44 33 2 h 3 2 h 6 分 K M F G D C B A P （方法二） ：由已知 11 18 33 23 P BCGBCG VSPGBG GC PG 4PG 2 分 PG平面ABCD，PG平面PBG 平面PBG平面ABCD 平面PBG平面ABCDBG 在平面 ABCD 内，过D作DKBG，交BG延长线于K， 则DK平面PBG DK的长就是点D到平面PBG的距 离 4 分 2 2 3 4 3 4 3 22B
5、CADGDBC 在DKG中，DK=DGsin45= 2 3 点D到平面PBG的距离为 2 3 6 分 （）在平面ABCD内，过D作DMGC于M，连结FM，又因为DFGC, DMDFD GC平面FMD，FM平面FMD GCFM PG平面ABCD，GC平面ABCD PGGC FMPG 由GMMD 得： 3 cos45 2 GMGD 10 分 3 2 3 1 2 PFGM FCMC 12 分 20. 解： （） 2 4yx焦点为(1,0)F，则 1( 1,0) F ， 2(1,0). F 12 22 2.aPFPF 解得2,1 ,1acb，所以椭圆E的标准方程为 2 2 1. 2 x y 4 分 （
6、）由已知，可设直线l方程为1xty， 1122 ( ,),(,).A x yB xy 联立 22 1 3 xty xy 得 22 (1)220,tyty 易知0. 则 12 2 12 2 2 , 1 2 . 1 t yy t y y t .6 分 1112121212 11(2 ) (2 )F AF Bxxy yt yt yy y = 2 2 1212 2 22 (1)2 ()4 1 t ty yt yy t 因为 11 1F A FB， 所以 2 2 22 1 t t 1， 解得 2 1 3 t 8 分 联立 2 2 1 1 2 xty x y ，得 22 (2)210tyty ， 2 81
7、0t 设 3344 (,),(,)C xyB xy，则 34 2 34 2 2 , 2 1 . 2 t yy t y y t .10 分 1 2 1234 2 4 8 8 1 14 6 3 7 227 3 FCD t SFFyy t .12 分 21. 解： （）当ea 时，( )ee x t xx，( )ee x t x ， .1 分 令( )0t x 则1x 列表如下： x ,1 1 1, tx 0 t x 单调递减 极小值 单调递增 3 分 所以 ()(1)ee0 极小值 txt. .5 分 （）设( )( )( )lneelne x F xf xg xxaaxxa ，(1)x 1 (
8、)exF xa x ，(1)x 设 1 ( )exh xa x ， 2 22 1e1 ( )e x x x h x xx ， .7 分 由1x 得， 2 1,x 2e 10 x x，( )0h x，( )h x在(1,)单调递增， 即( )F x在(1,)单调递增，(1)1Fea ， 当10ea ，即1ae 时，(1,)x时，( )0F x，( )F x在(1,)单调递增, 又(1)0F，故当1x 时，关于x的方程( )lne= ( )f xxg xa有且只有一个实数 解. 9 分 当10ea ，即1ae 时，由（）可知exex， 所以 11 ( )e,( )0 x aaee F xaexa
9、Fea xxeeaa ，又 1 1 a ee 故 00 (1,),()0 a xF x e ，当 0 (1,)xx时，( )0F x，( )F x单调递减，又(1)0F， 故当 0 1,xx时，( )0F x ， 在 0 1,x内，关于x的方程( )lne= ( )f xxg xa有一个实数解 1. 又 0 (,)xx时，( )0F x，( )F x单调递增， 且 22 ( )ln1 aa F aeaaaeea，令 2 ( )1(1) x k xexx， ( )( )2 x s xk xex,( )220 x s xee,故 ( ) k x在1,单调递增，又 (1) 0k 1当时，x ( )
10、0，k x ( )k x在1,单调递增，故( )(1)0k ak，故( )0F a ， 又 0 a ax e ，由零点存在定理可知， 101 (, ),()0xx a F x， 故在 0, x a内，关于x的方程( )lne= ( )f xxg xa有一个实数解 1 x. 又在 0 1,x内，关于x的方程( )lne= ( )f xxg xa有一个实数解 1. 综上，1ae . 12 分 22.解： （） 22 3cos2 410 3sin x xxy y 2 分 所以曲线C的极坐标方程为 2 4 cos10 . .4 分 （）设直线l的极坐标方程为 11 (,0,)R ，其中 1 为直线l的
11、倾斜角， 代入曲线C得 2 1 4 cos10, 设,A B所对应的极径分别为 12 , . 2 121121 4cos,10,16cos40 .7 分 1212 2 3OAOB .8 分 1 3 cos 2 ， 满足0 1 6 或 5 6 ， l的倾斜角为 6 或 5 6 ， 则 1 3 tan 3 k或 3 3 . .10 分 23解： （）因为axaxxaxxf444)(， 所以 aa4 2 ，解得 44a. 故实数a的取值范围为4 , 4. .4 分 （）由（）知，4m，即424xyz. 根据柯西不等式 222 )(zyyx 222222 1)2(4)( 21 1 zyyx 2116 4()2 2121 xyyz .8 分 等号在z yyx 24 即 884 , 72121 xyz 时取得。 .9 分 所以 222 )(zyyx的最小值为 21 16 . .10 分
