1、第二节第二节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法一、不定积分的第一类换元法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法三、基本积分表三、基本积分表(2)问题问题 xxd2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性.解解 xxd2cos.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法 xxxd)2(2cos21 )2(d2cos21xx?在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)(d)(CuFuuf如果如果)(xu （可微）可微）xxxfxFd)()()(d CxFxxxf)(d)()()(d)
2、(xuuuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理定理定理1 设设 f(u)具有原函数具有原函数 F(u),u=(x)有连续有连续 导数导数,则有换元公式：则有换元公式：xxxfd)()()(d)(xuuuf .)(CxF 不定积分的第一类换元法不定积分的第一类换元法 凑微分法凑微分法.说明说明 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 xxgd)(化为化为.d)()(xxxf 例例1 1 求求下列不定积分下列不定积分.d)21(1)12 xx.d531)2 xx.d)312xex 一般地一般地 xbaxfd)()0(d)(1 auufa baxu令令.)21(21Cx 原积分原积分.53
3、ln51Cx 原积分原积分.2112Cex 原积分原积分例例1 1 (1)求求.d)21(12 xx解解xxd)21(12 xxxd)21()21(1212 xu21令令Cu 21.)21(21Cx uud1212(2)求求.d531xx 解解xxd531 xxxd)53(53151 uud151 Cu ln51.53ln51Cx xu534)解解xxxd12 .)1ln(212Cx )1(d112122 xx.d1)42xxx 5)解解 xxxd12)1(d112122xx .12Cx .d1)52xxx 例例 求求.d2sin xx解法解法1 xxd2sin )2(d2sin21xx;2c
4、os21Cx 解法解法2 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx ;sin2Cx 解法解法3 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx .cos2Cx 观察重点不同，所得结论形式可能不同观察重点不同，所得结论形式可能不同.例例2 2 求求解解 xxxdcossin.dtan xx xxdtan )cos(dcos1xx.coslnCx 同理可得同理可得 )(cosdcos1xx(使用了三角函数恒等变形使用了三角函数恒等变形).sinlndcotCxxx .coslndtanCxxx 例例3 3 求求.d)ln21(1 xxx解解xxxd)ln2
5、1(1 )(lndln211xx )ln21(dln21121xx .ln21ln21Cx 例例4 4 求求.d122xxa 解解xxad122 xaxad11122 )(d)(112axax .arcsinCax .arcsind122Caxxxa 例例5 5 1)求求.)0(d122 axxa.)0(arctan1d122 aCaxaxxa.d2581)22xxx .34arctan31Cx 原积分原积分例例5 5 1)求求.)0(d122 axxa解解xxad122 xaxad111222 axaxad1112.arctan1Caxa .)0(arctan1d122 aCaxaxxa例例
6、5 5 2)求求.d25812 xxx解解xxxd25812 xxd9)4(12 .34arctan31Cx 例例6 6 1)求求.d122 xax.ln21d122Caxaxaxax 2)求求.d2312xxx .12lnd2312Cxxxxx 思考：求不定积分思考：求不定积分).0(d12 axcbxax例例6 6 1)求求.d122 xax解解xaxd122 xaxaxad1121 )(d1)(d121axaxaxaxa Caxaxa lnln21Caxaxa ln21.ln21d122Caxaxaxax 例例6 6 2)求求.d2312xxx 解解xxxd2312 xxxd)2)(1(
7、1 xxxd1121 )1(d11)2(d21 xxxxCxx 1ln2lnCxx 12ln求求),(12为常数为常数badxbaxx .42的符号确定的符号确定可由可由ba ,042 badxnmxdxbaxx 22)(11,042 badxmxdxbaxx 22)(11,042 badxnxmxdxbaxx )(112例例7 7 (1)求求.d1arctan2xxx .)(arctan212Cx 原积分原积分(2)求求.d11arctanxxxx .)(arctan2Cx 原积分原积分例例7 7 (1)求求.d1arctan2xxx 解解xxxd1arctan2 )(arctandarct
8、anxx .)(arctan212Cx (2)求求.d11arctanxxxx 解解xxxxd11arctan )(arctandarctan2xx.)(arctan2Cx 例例8 8 求下列不定积分求下列不定积分.d1)2 xeexx.d11)3 xex.)1ln(Cex 原积分原积分.)1ln(Cex 原积分原积分1)1).)11(12dxexxx 例例8 8 3)求求.d11xex 解解xexd11 xeexxd1 xxee1)(d.)1ln(Cex 例例8 8 3)求求.d11xex 解解xexd11 xeeexxxd11 xeexxd11 xeexxxd1d )1(d11xxeex
9、.)1ln(Cexx 例例9 9 求求.d111 xxx原式原式 xxxxd121d121 )1(d)1(21)1(d)1(212121xxxx.)1(31)1(312323Cxx xxxd211解解例例1010 求求解解.dsin12sin2 xxx xxxdsin12sin2 xxxxdsin1cossin22.)sin1ln(2Cx )(sindsin1122xx(使用三角函数恒等变形使用三角函数恒等变形)例例1111 求下列不定积分求下列不定积分.dcos)12 xx.dcos)23 xx.dcos)34 xx.2sin4121Cxx 原积分原积分.sin31sin3Cxx 原积分原积
10、分.4sin3212sin4183Cxxx 原积分原积分例例1 11 (1)求求解解.dcos2 xx xx dcos2 xxd22cos1.2sin4121Cxx )2(d)2cos1(41xx(2)求求.dcos3 xx解解 xx dcos3 xxxdcoscos2 )(sind)sin1(2xx.sin31sin3Cxx 例例1111 (3)求求.dcos4 xx解解 xx dcos4 xxd22cos12.4sin3212sin4183Cxxx xxxd)2cos2cos21(412例例1212 求求解解.d2cos3cos xxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3co
11、s.5sin101sin21Cxx ),cos()cos(21coscosBABABA 例例13 13 求求解解.dcossin52 xxx xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1414 (1)求求.dsec xx.tanseclndsecCxxxx 类似地可推出类似地可推出.cotcsclndcsc Cxxxx(2)求求
12、.dsec4 xx.tantan31dsec34Cxxxx 例例1 13 (1)求求解解.dsec xx xxdcos1 xxdsec xxxdcoscos2 )(sindsin112xxxusin uud112 uuud111121Cuu 11ln21Cxx sin1sin1ln21.tanseclnCxx 类似地可推出类似地可推出.cotcsclndcsc Cxxxx例例1313 (2)求求解解.dsec4 xx xxdsec4（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）xxxdsecsec22 )(tand)1(tan2xxCxx tantan313小结小结:第一类换元积分第一类换
13、元积分(凑微分凑微分)是把被积函数是把被积函数中的某个函数看做一个新变量中的某个函数看做一个新变量.;d)(.11 xxxfnn;d)(.2 xxxf;d)(ln.3 xxxf;d1)1(.42 xxxf;dcos)(sin.5 xxxf;d)(.6 xaafxx凑微分法常见类型凑微分法常见类型:;dsec)(tan.72 xxxf;d1)(arctan.82 xxxf练习：练习：求下列不定积分求下列不定积分.d2arcsin41.12 xxx.d2sec1.22 xx.d)4(1.3 xxx.d)1(1.4 xxexxx.d)1(1.5322 xxxx.dsin2sin12sin.622 x
14、xxx解解.d2arcsin41.12xxx )2(d2arcsin2112xxx 原积分原积分)2(arcsind2arcsin1xx .2arcsinlnCx 解解.d2sec1.22 xxxxd2sec12 xxxdcos21cos2 21d(sin)32sinxxCx )sin32arcsin(21解解.d)4(1.3 xxx 原积分原积分.2arcsin2Cx 原积分原积分.22arcsinCx xxd)(2222 xxd)2(2122 .d)1(1.4 xxexxx解解 xxexeexxxxd)1()1(原积分原积分 )(d)1(1xxxxexexe xxeu令令 uuud)1(1
15、 uuu)d111(Cuu 1ln.1lnCxexexx 解解 xxxxd11122原积分原积分 21xu令令 uud11Cu 12.1122Cx .d)1(1.5322 xxxx解解 )(sindsin2sin1222xxx原积分原积分 xu2sin令令 uuud21Ctt arctan22.dsin2sin12sin.622 xxxx ut1令令 tttd1222.sin12sin1222Cxx 问题问题?d125 xxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,dcosdttx xxxd125 ttttdcossin1)(sin25 tttdc
16、ossin25(应用应用“凑微分凑微分”即可求出结果即可求出结果)二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法定理定理2 设设 x=(t)是单调可导函数是单调可导函数,且且 (t)0 连续连续,则有换元公式：则有换元公式：xxfd)()(1d)()(xttttf .)()(1的反函数的反函数是是其中其中txxt 不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法.证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t)()(ttf 令令)()(1xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf )(1t CxFxxf )(d)(,)(1Cx )(1d)()(d)(xttttfxxf 即即)(tf ).(
17、xf 说明说明 F(x)为为 f(x)的原函数的原函数,例例1 1 求求解解.)0(d22 axxa 2,2,sin ttax令令,dcosdttax xxad22 ttatadcoscos ttad22cos12tax22xa ttadcos22Ctta )2sin21(22.21arcsin2222Cxaxaxa 例例 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos3
18、1(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例2 2 求求解解.)0(d122 axax 2,2,tan ttax令令,dsecd2ttax xaxd122 ttatadsecsec12 ttdsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22ln.ln)ln(22Caaxx .)ln(22Caxx 例例3 3 求求解解.)0(d122 axax 2,0,sec ttax令令,dtansecdtttax xaxd122 tttatadtansectan1 ttdsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22lnCaaxx ln)ln(22.)ln(
19、22Caxx 2,0,sec ttax再令再令,dtansecdtttax xaxd122 ttattadtantansec ttdsecCtt tanseclnCaaxax 22lnCaxax lnln22.ln22Caxx .lnd12222Caxxxax 例例4 4 解解.d112xxx xxxd112ttttdsectansec2 ttdtansectt1x12 x ttdsin1 tt dcsc.cotcsclnCtt .11ln2Cxx 2,2,tan ttx令令,dsecd2ttx 说明说明(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目
20、的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有,)1(22xa 可令可令,sintax ,)2(22xa 可令可令,tantax ,)3(22ax 可令可令,sectax 2,2t 2,2t 2,0 t说明说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定来定.例例5 5 求求xxxd125 （三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,ddttxx 解解xxxd125 ttttd)1(22 tttd)12(24 Cttt 353
21、251.1)348(151242Cxxx 例例6 6 求求解解.d11 xexxet 1令令,12 tex,d12d2tttx xexd11 ttd122 tttd1111 Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式 时，可采用令时，可采用令 (其中其中 n 为各为各根指数的根指数的最小公倍数最小公倍数).lkxx,ntx 例例7 7 求求.d)1(13 xxx解解令令6tx ,d6d5ttx xxxd)1(13 ttttd)1(6235 tttd1622 ttd11162Ctt arctan 6.
22、arctan 666Cxx 说明说明(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例8 8 求求.d)2(17 xxx令令tx1,d1d2ttx xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解说明说明(5)积分中为了化掉根式除采用三角代换积分中为了化掉根式除采用三角代换 外还可用外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式.例例 中中,令令xaxd122 taxsinh ttaxdcoshd xaxd122 ttata
23、dcoshcosh CttdCax arsinh.ln22Caaxax .)ln(22Caxx 三、基本积分表基本积分表(2)P182ln cos;xCln sin;xCln sectan;xxC(16)tandx x(17)cotdx x(18)sec dx x(19)csc dx x 221(20)dxaxln csccot;xxC1arctan;xCaa221(22)dxax221(23)dxax221(24)dxxa221(21)dxxa221(25)dxxa1ln;2xaCaxa1ln;2axCaaxarcsin;xCa22ln();xxaC22ln.xxaC四、小结四、小结1.两类
24、积分换元法：两类积分换元法：(一一)凑微分凑微分(二二)三角代换、根式代换三角代换、根式代换2.基本积分表基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、填空题：填空题：1 1、若若CxFdxxf )()(而而)(xu
25、则则 duuf)(_；2 2、求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、dxx_)1(2xd；5 5、dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、xdx_ _ _ _ _)ln53(xd；练练 习习 题题7 7、291xdx=_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd；9 9、dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _
26、_ _ _ _ _ _ _ .二、二、求下列不定积分：求下列不定积分：（第一类换元法）（第一类换元法）1 1、dxxaxa；2 2、)ln(lnlnxxxdx；3 3、221.1tanxxdxx；4 4、xxeedx；5 5、dxxx321；6 6、dxxxx4sin1cossin；7 7、dxxxxx3cossincossin；8 8、dxxx2491；9 9、dxxx239；10 10、)4(6xxdx；1111、dxxxx)1(arctan ；12 12、dxxexxx)1(1；1313、dxxx2arccos2110；14 14、dxxxxsincostanln.三、三、求下列不定积分
27、：求下列不定积分：（第二类换元法）（第二类换元法）1 1、21xxdx；2 2、32)1(xdx；3 3、xdx21；4 4、dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan,求证：求证：21tan11 nnnIxnI ,并求并求 xdx5tan.练习题答案练习题答案一一、1 1、CuF)(;；2 2、taxsec 或或taxcsc；3 3、t1；4 4、21；5 5、-2 2；6 6、51；7 7、31；8 8、；9 9、Ct cos2；1 10 0、Cxaaxaxa )(arcsin22222.二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin；2 2、Cx lnlnln；3 3、Cx )1ln(
28、cos2；4 4、Cex arctan；5 5、Cx 233)1(92；6 6、Cx )arctan(sin212；7 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2；1 14 4、Cx 2)tan(ln21.三、三、1 1、Cxxx )1ln(arcsin212；2 2、Cxx 21；3 3、Cxx )21ln(2；4 4、)2(22arcsin32xaxaaxa +Cxaxxa )2(2.
