1、第 - 1 - 页 共 22 页 - 1 - 必修 1 数学必修 1 数学知识点知识点 1、 常见集合：正整数集合：或， * N + N 整数集合：Z， 有理数集合： Q， 实数集合：R. 3 、集合的表示方法：列举法、描述法. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有个子 集，个真子集. n 2 2n1 1.2.1、函数的概念、函数的概念 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，则称这两个函数为同一函数. 1.3.1、单调性与最大（小）值、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法
2、： (1)定义法：定义法：设那么 2121 ,xxbaxxmNnma； ()0 1 = n a a n n ； 4、 运算性质： a； ()Qsraaa srsr = + , 0 ( )； ()Qsraaa rs s r =, 0 (). ()Qrbabaab rr r =, 0, 0 2.1.2、指数函数及其性质、指数函数及其性质 1、记住图象： ()1, 0=aaay x 2、性质： 2.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算 1、指数与对数互化式：； log x a aNxN= 2、对数恒等式：. logaN aN= 3、基本性质：，. 01log= a 1log=a a 4、运算性质：
3、当时： 0, 0, 1, 0NMaa ； ()NMMN aaa logloglog+= NM N M aaa logloglog= ； . MnM a n a loglog= 5、换底公式： a b b c c a log log log= ()0, 1, 0, 1, 0bccaa. 6、重要公式：loglog n m a a m bb n = 7、 倒数关系： a b b a log 1 log=()1, 0, 1, 0bbaa. 22.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质 1、记住图象：()1, 0log=aaxy a 01 y=logax 1 ox 第 - 3 - 页 共 22 页 -
4、 3 - 必修 2 数学必修 2 数学知识点知识点 第一章：空间几何体第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有： 圆柱、圆锥、圆台、球。 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影 的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表
5、面积与体积 圆柱侧面积；lrS=2 侧面 圆锥侧面积：lrS= 侧面 圆台侧面积：lRlrS+= 侧面 体积公式： hSV= 柱体 ；hSV= 3 1 锥体 ； ()hSSSSV 下下上上台体 += 3 1 球的表面积和体积： 32 3 4 4RVRS= 球球 ，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系第二章：点、直线、平面之间的位置关系 9、线面平行线面平行： 判定：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行（简称该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行线线平行，则线面平行） 。） 。 性质：性质：一条直线与一个平面平行
6、，则过这条直线的任一一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行（简称平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线面平行，则 线线平行线线平行） 。） 。 10、面面平行面面平行： 判定：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行（简称则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行线面平行，则面面平行） 。） 。 性质：性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行（简称它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行面面平行，则线线平行） 。）
7、 。 11、线面垂直线面垂直： 定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定：判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直（简称则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直线线垂直，则线面垂直） 。） 。 性质：性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直面面垂直： 定义：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 判定：判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个一个平面经过另一
8、个平面的一条垂线，则这两个 平面垂直（简称平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直线面垂直，则面面垂直） 。） 。 性质：性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平面。 （简称直线垂直于另一个平面。 （简称面面垂直， 则线面垂直面面垂直， 则线面垂直） 。） 。 第三章：直线与方程第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率： 12 12 tan xx yy k = 2、直线方程： () 00 xxkyy= 点斜式： 斜截式：bkxy+= 一般式：0=+CByAx 3、对于直线： 222111 :,:bxkylbxkyl+=+=
9、有： ； = 21 21 21/ bb kk ll 和相交 1 l 2 l 12 kk； 和重合； 1 l 2 l = = 21 21 bb kk 1 2121 =kkll. 4、对于直线： 0: , 0: 2222 1111 =+ + CyBxAl CyBxAl= 有： 第 - 4 - 页 共 22 页 - 4 - ； = 1221 1221 21/ CBCB BABA ll 和相交； 1 l 2 l 1221 BABA 和重合； 1 l 2 l = = 1221 1221 CBCB BABA . 0 212121 =+BBAAll 5、两点间距离公式： ()()2 12 2 1221 yy
10、xxPP+= 6、点到直线距离公式： 22 00 BA CByAx d + + = 7、两平行线间的距离公式： 1 l：与：平行， 则 0 1 =+CByAx 2 l0 2 =+CByAx 22 21 BA CC d + = 第四章：圆与方程第四章：圆与方程 1、圆的方程： 标准方程：标准方程： ()() 2 22 rbyax=+ 其中圆心为圆心为( ,，半径为，半径为r. )a b 一般方程：一般方程：. 0 22 =+FEyDxyx 其中圆心为圆心为(, 22 ) DE ， 半径为半径为 22 1 4 2 rDE=+ F. 2、直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关系有三种: 0=+CBy
11、Ax 222 )()(rbyax=+ 0相离rd; 0=相切rd; 0； 四条切线 外切：rRd+=； 三条切线 相交：rRdrR+有：振幅 A，周 期 2 T =， 初相， 相位+x， 频率 2 1 = T f. 2、能够讲出函数的图象与 xysin= ()sinyAxB=+的图象之间的平移伸缩变 换关系. 先平移后伸缩：先平移后伸缩： sinyx= 平移|个单位 ()sinyx=+ （左加右减） 横坐标不变 ()sinyAx=+ 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 ()sinyAx=+ 横坐标变为原来的 1 |
12、倍 平移|B个单位 ()sinyAxB=+ （上加下减） 先伸缩后平移：先伸缩后平移： sinyx= 横坐标不变 sinyAx= 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 sinyAx= 横坐标变为原来的 1 | 倍 平移 个单位 ()sinyAx=+ （左加右减） 平移|B个单位 ()sinyAxB=+ （上加下减） 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数sin()yx=+， xR 及函数cos()yx=+， xR(A,为常数，且 A0)的周期 2 | T =；函 数tan()yx=+，, 2 xkkZ +(A,为
13、 常数，且 A0)的周期 | T = . sin()yAx=对 于+和cos()yAx=+来 说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()yAx=+图像的对称轴与对称中心， 只需令只需令() 2 xkk +=+Z与与()xkkZ+= 解出解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征： maxmin 2 yy A =， maxmin 2 yy B + =. 要根据周期来求,要用图像的关键点来求. 1.6、三角函数模型的简单应用 1.6、三角函
14、数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 3.1.1、两角差的余弦公式 3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15的三角函数值： sin cos tan 12 4 26 4 26+ 32 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()sincoscossinsin=+ 2、()sincoscossinsin= 3、()sinsincoscoscos=+ 4、()sinsincoscoscos=+ 5、() tantan 1 tantan ta n + +=. 6、() tantan 1 tantan ta n + =.
15、 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cossin22sin=， 变形变形： 1 2 sincossin2=. 2、cos 22 sincos2= 1cos2 2 = 2 sin21=. 第 - 3 - 页 共 22 页 - 3 - 降幂公式降幂公式： 2 2 1 cos(1 cos2 ) 2 1 sin(1 cos2 ) 2 =+ = 3、 2 tan1 tan2 2tan = . 2、辅助角公式、辅助角公式 )sin(cossin 22 +=+=xbaxbxay （ 其 中 辅 助 角（ 其 中 辅 助 角所 在 象 限 由
16、点的 象 限 决所 在 象 限 由 点的 象 限 决 定,定, ( , )a b tan b a = ). ). 第二章：平面向量第二章：平面向量 2.2.2、向量减法运算及其几何意义 2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 2.3.1、平面向量基本定理 2.3.1、平面向量基本定理 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()yxjyi xa,=+=. 2.3.3、平面向量的
17、坐标运算 2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()( 2211 ,yxbyxa=)，则： () 2121 ,yyxxba+=+， () 2121 ,yyxxba=， () 11, y xa=， 1221 /yxyxba=. 2、 设，则： ()( 2211 ,yxByxA) () 1212 ,yyxxAB=. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示 2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()() 332211 ,yxCyxByxA，则 线段 AB 中点坐标为() 22 2121 , yyxx+ ， ABC 的重心坐标为( ) 33 321321 , yyyxxx+ . 2.4.1、平面
18、向量数量积的物理背景及其含义 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 cosbaba=. 2、 a在b方向上的投影为：cosa. 3、 2 2 aa =. 4、 2 aa=. 5、 0=baba. 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()() 2211 ,yxbyxa=，则： 2121 yyxxba+= 2 1 2 1 yxa+= 1212 00aba bx xy y=+= ? ? 1221 / /0ababx yx y= ? 2、 设()() 2211 ,yxByxA，则： ()()2 12 2 12 yyxxA
19、B+=. 3、 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 1212 222 1122 2 x xy ya b a b cos xyxy + = + ? ? ? ? 1、1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量： 若 A、 B 是直线l上的任意两点， 则AB ? ? 为直线l的 一个方向向量； 与AB ? ? 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. 平面的法向量： 若向量n ? 所在直线垂直于平面，则称这个向量 第 - 4 - 页 共 22 页 - 4 - 垂直于平面，记作n ? ，如果n ? ，那么向量n ? 叫做平面的法向量. 平面的法
20、向量的求法（平面的法向量的求法（待定系数法）待定系数法）： 建立适当的坐标系 设平面的法向量为 ( , , )nx y z= ? 求出平面内两个不共线向量的坐标 123123 ( ,),( ,)aa a abb b b= ? 根据法向量定义建立方程组. 0 0 n a n b = = ? ? ? ? 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图） 1、1、 用向量方法判定空间中的平行关系用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明 ，只需证明b，即. 12 ,l la b ? 、 1 l 2 la ? ()akb kR= ?
21、即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行线面平行 （法一）设直线l的方向向量是，平面a ? 的法向 量是u， 则要证明l ? ， 只需证明， 即au ? 0a u= ? ? . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 （法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. 面面平行面面平行 若平面的法向量为u，平面 ? 的法向量为v ? ，要 证，只需证u，即证uv ? v ? = ? . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系用向量方法判定空间的垂直关系
22、线线垂直线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明 12 ,l l 2 a b ? 、 1 ll，只需证明ab ? ，即. 0a b= ? ? 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 线面垂直线面垂直 设直线 的方向向量是， 平面la ? 内的两个相交向 量分别为mn ? ? ? 、，若 0, . 0 a m l a n = = ? ? ? ?则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的 法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 面面垂直面面垂直 若平面的法向量为u ? ，平面的法向量为v ? ，要 证，只需证uv ? ，即证. 0u v = ? ? 即：两平面垂直两平
23、面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角利用向量求空间角 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 已知为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 上的任意两点，所成的角为 , a b, a b , a b， 则cos. AC BD AC BD = ? ? ? ? ? ? 求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角 定义：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 奎屯 王 新疆 新敞 求法：求法： 设直线l的方向向量为， 平面a ? 的法向量 为u ? ，直线与平面所成的角为，与的夹角为a ? u ? ， 则为的余角或的补角 的余角.即有：
24、 coss.in a u a u = ? ? ? 求法：求法：设二面角l 的两个半平面的法向量分 第 - 5 - 页 共 22 页 - 5 - 别为，再设的夹角为m n ? 、m n ? 、，二面角l 的平面角为， 则二面角为m n ? 、的夹角或其补角 . 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 如果是锐角，则coscos m n m n = ? ? ? ?， 5、利用法向量求空间距离利用法向量求空间距离 点Q到直线点Q到直线l距离距离 若 Q 为直线l外的一点,在直线 上，a为直线 的 方向向量，b=，则点 Q 到直线l距离为 &
25、nbsp;Pl ? l ? PQ ? ? 22 1 (|)() | ha ba a = ? ? ? b 点点 A 到平面到平面的距离的距离 若点 P 为平面外一点，点 M 为平面内任一点， 平面的法向量为n，则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP ? 在法向量方向上的投影的绝对值. n ? 即cos,dMPn MP= ? n MP MP n MP = ? ? ? ? ? n MP n = ? ? ? 直线直线a与平面与平面之间的距离之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离， 即转化为点面距
26、离。 即. n MP d n = ? ? ? 两平行平面两平行平面, 之间的距离之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平 面间的距离转化为求点面距离。 即. n MP d n = ? ? ? 必修 5 数学必修 5 数学知识点知识点 第一章：解三角形第一章：解三角形 1、正弦定理： b R C c BA a 2 sinsinsin =. （其中R为ABC外接圆的半径） 2sin,2sin,2sin;aRA bRB cRC= sin,sin,sin; 22 ab ABC 2 c RRR = : :sin:sin:sin .a b cABC= 用途：已知三角
27、形两角和任一边，求其它元素； 用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素； 已知三角形两边和其中一边的对角，求其它 已知三角形两边和其中一边的对角，求其它 元素。元素。 2、余弦定理： 222 222 222 2cos , 2cos , 2cos . abcbcA bacacB cababC =+ =+ =+ 222 222 222 cos, 2 cos, 2 cos. 2 bca A bc acb B ac abc C ab + = + = + = O A B l 用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素； 用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素； 已知三角形三边，求其它元素。
28、已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = 4、三角形内角和定理： A()BCCAB+=+ 在ABC 中， 有 222 CAB+ =)B222(CA=+. 5、一个常用结论： 在ABC中， sinsin;abABAB 若sin2sin2 ,. 2 ABABAB =+则或= B 特别注意，特别注意， 在三角函数中，在三角函数中，si不成立。不成立。 nsinABA 第 - 6 - 页 共 22 页 - 6 - 第二章：数列 第二章：数列 1、数列中 n
29、 a与 n S之间的关系： 1 1 , (1) ,(2). n nn Sn a SSn = = 注意通项能否合并。 2、等差数列： 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，即=d ， （n 2，nN ） ， n a 1n a + 那么这个数列就叫做等差数列。 等差中项：若三数aA成等差数列b、 、 2 ab A + = 通项公式： 1 (1)() nm aandanm d=+=+ 或( n apnq pq=+、 是常数）. 前n项和公式： ()() 1 1 1 22 n n n nn aa Snad + =+= 常用性质： 若() + +=+Nqp
30、nmqpnm, ) ，则 ； qpnm aaaa+=+ 下标为等差数列的项，仍组成 等差数列； (?, 2mkmkk aaa + 单调性：的公差为，则： n ad ）为递增数列； 0d n a ）为递减数列； 形如形如型的递推式：型的递推式： 在原递推式两边取对数得 1 q n apa + = 1 lglglg nn aqa + p=+，令得：lg nn b =a p 1 lg nn bqb + =+，化归为型，求出 之后得（注意：底数不一定要取 10，可根据 题意选择） 。 qpaa nn += +1n b 10 . n b n a = 类型 倒数变换法：类型 &nb
31、sp;倒数变换法： 1nnn aapaa 形如形如 1n =（p为常数且0p ）的递推的递推 式：式：两边同除于，转化为 1n aa n 1 11 nn p aa =+形式， 化归为qpaa nn += +1 型求出 1 n a 的表达式，再求； n a 还有形如还有形如 1 n n n ma a paq + = + 的递推式，的递推式，也可采用取倒数方 法转化成 1 11 nn m aq a + m p =+ 形式， 化归为qpaa nn += +1 型求出 1 n a 的表达式，再求. n a 5、非等差、等比数列前、非等差、等比数列前n项和公式的求法项和公式的求法
32、;错位相减法错位相减法 若数列 n a为等差数列，数列 n b为等比数列， 第 - 8 - 页 共 22 页 - 8 - 则数列 nn ab的求和就要采用此法. 将数列 nn ab的每一项分别乘以 n b的公比， 然后在错位相减，进而可得到数列 nn ab的前项 和. n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方 法. n 裂项相消法裂项相消法 一般地，当数列的通项 1 ()( n c a anbanb = + 2) 时，往往可将变成两项的差， 采用裂项相消法求和. 12 ( ,a b b c为常数） n a 可用待定系数法进行裂项： 设 12 n a anbanb = + ， 通分整理后与
33、原式相 比较，根据对应项系数相等得 21 c bb = ，从而可得 12211 11 =( ()()() cc anbanbbbanbanb + 2 ). 常见的拆项公式有： 111 (1)1n nnn = + ； 1111 () (21)(21)2 2121nnnn = + ; 11 ()ab abab = + ; m n 1 1 ; mm nn CCC + = !(1)!.n nnn=+ 分组法求和分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常 见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两 步：找通向项公式由通项公
34、式确定如何分组. 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 n a， 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为 倒序相加法。特征： 121 . nn aaaa +=+= 记住常见数列的前项和： n (1) 123.; 2 n n n + + += 2 1 35.(21);nn+ + += 2222 1 123.(1)(21). 6 nn nn+=+ 第三章：不等式第三章：不等式 3.1、不等关系与不等式 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 abba（对称性） （传递性）,ab bcac （可加
35、性）abacbc+ （同向可加同向可加性）dbcadcba+, （异向可减异向可减性）dbcadcba, （可积性） bcaccba0, bcaccba （异向正数异向正数可除性） 0,0 ab abcd cd （平方法则） 0(, nn ababnNn且1) （开方法则） 0(, nn abab nNn且1) （倒数法则） ba ba ba ba 11 0; 11 0 2、几个重要不等式 () 22 2abab abR+，,（当且仅当ab=时取 “=号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab + （基本不等式）（基本不等式） 2 ab ab + ( ) abR+，
36、,（当（当 且仅当且仅当ab=时取到等号）. 时取到等号）. 第 - 9 - 页 共 22 页 - 9 - 变形公式： 2abab+ 2 . 2 ab ab + 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最 大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”“一正、二定、三相等”. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0(0)axbxc+解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：规律：当二次项系数为正时，当二次项系数为正时， 小于取中间，
37、大于取两边.小于取中间， 大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿 （奇穿偶切奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x x当时, 01a 当时, 01a 且含参数的不等式时，要 对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论与 0 的大小； a 讨论与 0 的大
38、小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 2 0axbxc+不等式+的解集是全体实数（或恒成 立）的条件是： 当0a =时 0,0;bc= 当0a 时 0 0. a 不等式 2 0axbxc+ ( )f xa恒成立 min ( ).f xa 常见的目标函数的类型： “截距”型：“截距”型：;zAxBy=+ “斜率”型：“斜率”型： y z x =或; yb z xa = “距离”型：“距离”型： 22 zxy=+或 22; zxy=+ 第 - 10 - 页 共 22 页 - 10 - 22 ()(zxayb=+ )或或 2 ()()zxayb=+ 2. 若pq且，则q pp是的充要条件； q
39、若 且q ，则是的既不充分也不必要 条件. pqppq 在求该“三型”“三型”的目标函数的最值时，可结合线 性规划与代数式的几何意义几何意义求解， 从而使问题简单化. 选修数学选修数学知识点知识点 专题一：常用逻辑用语专题一：常用逻辑用语 1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词： “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑 联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题; 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母，表示命 题. pqrs 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： 、两个命题互为逆否命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
40、有相同的真假性； 、两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题，它们的真假性真假性 没有关系没有关系 3、充分条件、必要条件与充要条件 、一般地，如果已知pq，那么就说：是的 充分条件，q是的必要条件； pq p 若pq， 则是的充分必要条件， 简称充要条件 pq 、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区 分命题的条件与结论q之间的关系： p 、从逻辑推理关系上看： 若pq， 则是充分条件，q是的必要条件； pqp 若pq， 但q ， 则是q充分而不必要条件; pp 若 q， 但q， 则是q必要而不充分条件; ppp 、从集合与集合之间的关系上看： 已知Ax x=满足条件p，Bx x=满足
41、条件q： 若 A B，则是充分而不必要条件; pq 若 B A，则是必要而不充分条件; pq 若AB=，则p是的充要条件； q 若AB且BA， 则是的既不充分也不必要 条件. pq 4、复合命题 复合命题有三种形式：或（） ；且q （ pqpqp pq） ；非（pp）. 复合命题的真假判断 “或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真一真必真； pq “且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假一假必假； pq “非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对真假相对. p 5、全称量词与存在量词 全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称全称 量词量词，并用符号“
42、”表示.含有全称量词的命题，叫 做全称命题. 存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词存在量词， 并用符号 “” 表示.含有存在量词的命题， 叫做特称命题. 全称命题与特称命题的符号表示及否定 全称命题：p, ( )xp x ，它的否定p： 0 ,() 0 .xp x 全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题 特称命题p： 0 , (), 0 xp x，它的否定p： ,( ).xp x 特称命题的否定是全称命题.特称命题的否定是全称命题. 第 - 2 - 页 共 22 页 - 2 - 专题二：圆锥曲线与方程专题二：圆锥曲线与方程 1椭圆
43、1椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 () 22 22 10 xy ab ab += () 22 22 10 yx ab ab += 第一定义 到两定点的距离之和等于常数 2，即| 21 F F、aM 21 | 2FMFa=|（） 21 2|aFF+ 范围 axa 且byb () 1 ,0a、() 2 ,0a () 1 0, b、() 2 0,b bxb 且 aya 顶点 长轴长 短轴长2a=2b= () 1 0, a、 () 2 0,a () 1 ,0b、() 2 ,0b 轴长 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦点
44、 () 1 ,0Fc、() 2 ,0F c 焦距 222 12 2(FFccab=) () 1 0,Fc、 () 2 0,Fc 离心率 2222 222 1(01) ccabb ee aaaa = 第一定义 到两定点 21 FF、的距离之差的绝对值等于常数，即2a 21 |2MFMF= a（） 21 02|aFF 1122 ( ,)(,)A x yB xy、AB的倾斜角为，则 2 2 1212 , 4 p ;x xy y= p 2 2 ; sin p AB = 以AB为直径的圆与准线相切； 焦点对FA B、在准线上射影的张角为 2 ； 11 . |FAFBP +=
45、2 图形 标准方程 2 2ypx= ()0p 2 2ypx= ()0p 2 2xpy= ()0p 2 2xpy= ()0p 定义 与一定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线l上) FlF 对称轴 x轴 范围 0x 焦点 , 0 2 p F y轴 准线方程 2 p x = 0x 0y 0y 焦半径 0,0 ()M x y 0 2 p MFx=+ , 0 2 p F 0, 2 p F 0, 2 p F 通径 过抛物线的焦点且垂 直于对称轴的弦称为 通径：2HHp = 2 p x = 2 p y = 2 p y = 焦点弦长 公式 12 ABxxp=+ 0 2 p MFx=
46、 + 0 2 p MFy=+ 0 2 p MFy= + 参数的几 何意义 p 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔 第 - 2 - 页 共 22 页 - 2 - 专题五：数系的扩充与复数专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 虚数单位i； 复数的代数形式； ( ,)zabia bR=+ 复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数() ,zabia bR=+ ) (0) (0,0) (0) (0,0 b ab b ab = = 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 3、相关公式 a dcbadicbi=+=+且, 00=+babia 22 babiaz+=+= zabi= zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共 轭复数）. 4、复数运算 复数加减法：() () () (idbcadicbia)+=+； 复数的乘法： ； ()()() ( abicdiacbdbcad i+=+) 复数的除法：复数的除法： ()( ()( ) ) abicdiabi cdicdicdi + = + () (
