1、湖南省五市十校湖南省五市十校 20202020 届高三数学上学期第二次联考试题届高三数学上学期第二次联考试题 文文 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目
2、要求的。 1.已知集合 Ax|x1，Bx|x0)，直线 yx1 与 C 交于 A，B 两点，且 AB8。 (1)求 p 的值； (2)如图，过原点 O 的直线l与抛物线 C 交于点 M，与直线 x1 交于点 H，过点 H 作 y 轴的 垂线交抛物线 C 于点 N。证明：直线 MN 过定点。 21.(12 分) 已知函数 f(x)e xcosx。 (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：f(x)在区间( 2 ，)上有且仅有 2 个零点。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22.选修 44：坐标系
3、与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 1 cos sin x y ( 为参数)，以 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)写出圆 C 的极坐标方程； (2)设直线l的极坐标方程为2 sin()3 3 3 ，射线 OM： 3 与圆 C 交于 O、P 两点， 与直线l交于点 Q，求线段 PQ 的长。 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)|x3|2|x|。 (1)求不等式 f(x)2 的解集； (2)设 f(x)的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 abcm，证明：a 2b2c23。 高三文科数学高三文科数学参考答案参考
4、答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 1 2 14.2 15. 7 5 16.1010 三、三、解答题（本大题共解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17.【答案】 （1） 3 A ； （2
5、）2 3. 【解析】 （1）2 sin()coscos 2 cAaBbA ， 2 coscoscoscAaBbA，2 分 由正弦定理得，2sincossincossincossinsinCAABBAABC， 2sincossinCAC，4 分 又0C，sin0C ， 1 cos 2 A，5 分 又0A， 3 A .6 分 （2）设ABC外接圆的半径为R，则1R ，2 sin3aRA，8 分 由余弦定理得 2 222 2cos3 3 abcbcbcbc ，9 分 即3273bc，8bc，10 分 ABC的面积 113 sin82 3 222 SbcA 。12 分 18.【答案】 （1） 1 2n
6、 n a - =； （2） 1 2326 n n 【解】 （1）当1n 时， 1 11 21 1aS ；1 分 当2n时， 111 1 2121222 nnnnn nnn aSS .3 分 1 1a 也适合 1 2n n a - =，因此，数列 n a的通项公式为 1 2n n a - =；5 分 （2） 2 1 282n nnn bba Q，在等式两边同时除以 1 2n得 1 1 2 22 nn nn bb ，且 1 1 2 b . 所以，数列 2 n n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，6 分 12121 2 n n b nn ，7 分 21 2n n bn.8 分 123 1 2
7、3 25 221 2n n Tn L， 231 21 23 223221 2 nn n Tnn L，9 分 上式下式得 1231 22 22 22 221 2 nn n Tn L 31 11 2 1 2 221 23226 1 2 n nn nn ，11 分 因此， 1 2326 n n Tn 。12 分 19.【解析】【解析】 （1）在平面ABCD内，因为90BADABC ， 所以/BC AD.1 分 又BC 平面PAD，AD 平面PAD， 故/BC平面PAD。4 分 （2）取AD的中点M，连接PM，CM. 由 1 2 ABBCAD，及/BC AD，90ABC， 得四边形ABCM为正方形，则
8、CMAD。5 分 因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以PMAD，6 分 因为PM 平面PAD，所以PM 平面ABCD. 因为CM 平面ABCD，所以PMCM.7 分 设BCx，则2ADx，CMx，2CDx，3PMx，2PCPDx. 因为四棱锥PABCD的体积为4 3， 所以 111 234 3 332 ABCD VSPMxx xx，所以2x ，9 分 取CD的中点N，连接PN，则PNCD， 所以 14 14 2 PNx.10 分 因此PCD的面积 11 2 2142 7 22 SCDPN。12 分 20.【解析】(1)由 2 2 1 ypx yx
9、 ，消去x可得 2 220ypyp，1 分 设 A（x1，y1）,B（x2，y2）,则y1y22p，y1y22p，2 分 AB 11 2 y1y2 24y 1y2 2 4p 28p8，4 分 解得p2 或p4(舍去)，p2。5 分 (2)证明：由(1)可得y 24x，设2 00 1 , 4 Myy ，6 分 直线OM的方程为y4 y0x。7 分 当x1 时，yH4 y0，则 yNyH4 y0， 代入抛物线方程y 24x，可得 xN4 y 2 0， 2 00 44 ,N yy ，8 分 直线MN的斜率k y04 y0 y 2 0 4 4 y 2 0 4y0 y 2 04，9 分 直线MN的方程为
10、 2 0 00 2 0 41 44 y yyxy y ，整理可得 0 2 0 4 1 4 y yx y 11 分 故直线MN过定点(1,0)。12 分 21.【解析】 （1） cos x f xexQ，则 sin x fxex，1 分 00f， 01 f .2 分 因此，函数 yf x在点 0,0f处的切线方程为y x ，即0xy；4 分 （2）当0x 时，1cos x ex ，此时， cos0 x f xex，5 分 所以，函数 yf x在区间0,上没有零点；6 分 又 00f，下面只需证明函数 yf x在区间 ,0 2 上有且只有一个零点. sin x fxex，构造函数 sin x g
11、xex，则 cos x gxex， 当0 2 x 时， cos0 x gxex， 所以，函数 yfx 在区间 ,0 2 上单调递增，8 分 第 20 题 2 10 2 fe Q， 010 f ， 由零点存在定理知，存在,0 2 t ，使得 0ft ，9 分 当 2 xt 时， 0fx，当0tx时， 0fx。10 分 所以，函数 yf x在xt处取得极小值，则 00f tf， 又 2 0 2 fe ，所以 0 2 ff t ，由零点存在定理可知，函数 yf x在区 间 ,0 2 上有且只有一个零点.11 分 综上所述，函数 yf x在区间, 2 上有且仅有两个零点.12 分 22.【解析】 （1
12、）圆C的普通方程为 2 2 11xy ，又 cosx ， siny 所以圆C的极坐标方程为2cos.4 分 （2）设 11 , ，则由 2 3 cos 解得 1 1， 1 3 ，得1, 3 P ；7 分 设 22 Q, ，则由 2 sin3 3 3 3 解得 2 3 ， 2 3 ，得3, 3 Q ；9 分 所以Q2。10 分 23.【解析】 （1）当0x时， 32323f xxxxxx，由 2f x ，得 32x ， 解得1x ，此时10x ； 当03x时， 32323 3f xxxxxx ，由 2f x ，得3 32x， 解得 1 3 x ，此时 1 0 3 x； 当3x 时， 323236f xxxxxx ，此时不等式 2f x 无解. 综上所述，不等式 2f x 的解集为 1 1, 3 ；5 分 （2）由（1）可知 3,0 3 3 ,03 3,3 xx f xxx xx . 当0x时， 33f xx ；当03x时， 3 36,3f xx ；当3x 时， 36f xx . 所以，函数 yf x的最大值为3m ，则3abc . 由柯西不等式可得 2 222 1 1 1abcabc ，即 2222 33abc， 即 222 3abc，当且仅当1abc时，等号成立. 因此， 222 3abc。10 分
