1、第第 2 课时课时 不等式的证明不等式的证明 最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分 析法 知 识 梳 理 1.基本不等式 定理 1：如果 a，bR，那么 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立. 定理 2：如果 a，b0，那么ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立，即两个正 数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理 3：如果 a，b，cR，那么abc 3 3abc，当且仅当 abc 时，等号成 立. 2.不等式的证明方法 (1)比较法 作差法(a，bR)：ab0ab；ab0)：a b1ab； a b0，所以 ab0，ab0，2ab0
2、， 从而(ab)(ab)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b. 答案 MN 3.(选修 45P25T3 改编)已知 a，b，c(0，)，且 abc1，则1 a 1 b 1 c的 最小值为_. 解析 把 abc1 代入1 a 1 b 1 c得 abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229， 当且仅当 abc1 3时等号成立 答案 9 4.(2019 聊城模拟)下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|1)，正确； ab0 时，|ab|a|b|，不正确； 因为 ab0，b a与 a b同号， 所以 b a a b b a a
3、 b 2，正确； 由|x1|x2|的几何意义知， |x1|x2|1 恒成立，也正确， 综上正确 答案 C 5.(2017 全国卷)已知 a0，b0，且 a3b32.证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24. (2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab) 23(ab) 2 4 (ab)23(ab) 3 4 ， 所以(ab)38，因此 ab2. 考点一 比较法证明不等式 【例 1】 设 a，b 是非负实数，求证：a2b2 a
4、b(ab). 证明 因为 a2b2 ab(ab) (a2a ab)(b2b ab) a a( a b)b b( b a) ( a b)(a ab b) (a 1 2b 1 2)(a 3 2b 3 2). 因为 a0，b0，所以不论 ab0，还是 0ab，都有 a 1 2b 1 2与 a 3 2b 3 2同号， 所以(a 1 2b 1 2)(a 3 2b 3 2)0， 所以 a2b2 ab(ab). 规律方法 比较法证明不等式的方法与步骤 1作差比较法：作差、变形、判号、下结论 2作商比较法：作商、变形、判断、下结论 提醒 (1)当被证的不等式两端是多项式、 分式或对数式时， 一般使用作差比较法
5、 (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 【训练 1】 (1)(2019 锦州模拟)设不等式|2x1|1 的解集为 M. 求集合 M； 若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小. (2)若 ab1，证明：a1 ab 1 b. (1)解 由|2x1|1 得12x11， 解得 0x1.所以 Mx|0x1. 由和 a，bM 可知 0a1，0b1， 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故 ab1ab. (2)证明 a1 a b1 b abba ab (ab)(ab1) ab . 由 ab1 得 ab1，ab0， 所以(ab)(ab1) ab 0. 即 a1
6、 a b1 b 0， 所以 a1 ab 1 b. 考点二 综合法证明不等式 【例 2】 (1)已知 a， b， cR， 且它们互不相等， 求证 a4b4c4a2b2b2c2c2a2； (2)已知 x，y，z 均为正数，求证： x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z. 证明 (1)a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2， 2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即 a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a，b，c 互不相等， a4b4c4a2b2b2c2c2a2. (2)因为 x，y，z 都为正数， 所以 x yz y zx 1 z x y y
7、x 2 z， 同理可得 y xz z yx 2 x， z xy x yz 2 y， 当且仅当 xyz 时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z. 规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两 端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键 2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这 些性质时，要注意性质成立的前提条件 【训练 2】 已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0，且 abc1. (1)证明：(1a)(1b)(1c)8； (
8、2)证明： a b c1 a 1 b 1 c. 证明 (1)1a2 a，1b2 b，1c2 c， 相乘得：(1a)(1b)(1c)8 abc8. (2)1 a 1 b 1 cabbcac， abbc2 ab2c2 b， abac2 a2bc2 a， bcac2 abc22 c， 相加得 a b c1 a 1 b 1 c. 考点三 分析法证明不等式 【例 3】 已知函数 f(x)|x1|. (1)解不等式 f(x1)f(x3)6； (2)若|a|ba|， 只需证(ab1)2(ba)2. 而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不
9、等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来 寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 2分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 【训练 3】 已知 abc，且 abc0，求证：b2acbc 且 abc0，知 a0，c0， 只需证(ab)(ac)0. abc，ab0，ac0， (ab)(ac)0 显然成立， 故原不等式成立. 思维升华 证明不等式的方法和技巧： (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的 命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证 法；如果
10、待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等 (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和 证明 尤其是对含绝对值不等式的解法或证明， 其简化的根本思路是去绝对值号， 转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐 个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据 易错防范 在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用 时，要求分析每次使用时等号是否成立. 基础巩固题组 (建议用时：60 分钟) 1.设 a，b0 且 ab1，求证： a1 a 2 b1 b 2 25 2 . 证明 因为(1212
11、) a1 a 2 b1 b 2 a1 a b1 b 2 1 1 a 1 b 2 1 1 ab 2 25 因为ab1 4 . 所以 a1 a 2 b1 b 2 25 2 . 2.设 a0，b0，ab1，求证1 a 1 b 1 ab8. 证明 a0，b0，ab1， 1ab2 ab， 即 ab1 2， 1 ab4， 1 a 1 b 1 ab(ab) 1 a 1 b 1 ab2 ab 2 1 ab 1 ab448. 当且仅当 ab1 2时等号成立， 1 a 1 b 1 ab8. 3.(2019 大理一模)已知函数 f(x)|x|x3|. (1)解关于 x 的不等式 f(x)5x. (2)设 m，ny|
12、yf(x)，试比较 mn4 与 2(mn)的大小. 解 (1)f(x)|x|x3| 32x，x3. f(x)5x，即 x3， 2x3x5，解得 x 2 3或 x或 x8. 所以不等式的解集为 ，2 3 8，). (2)由(1)易知 f(x)3，所以 m3，n3. 由于 2(mn)(mn4)2mmn2n4(m2)(2n). 且 m3，n3，所以 m20，2n0， 因此只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3. 而 abbcca1， 故只需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而这可以由 abbccaa 2b2 2 b
13、2c2 2 c 2a2 2 a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)证得. 所以原不等式成立. (2) a bc b ac c ab abc abc . 在(1)中已证 abc 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明 1 abc a b c， 即证 a bcb acc ab1， 即证 a bcb acc ababbcca. 而 a bc ab acabac 2 ， b acabbc 2 ，c abbcac 2 ， 所以 a bcb acc ababbcca 当且仅当abc 3 3 时等号成立 . 所以原不等式成立. 6.(2019 百校联盟联考)已知函数 f(x)|2x3|2x1|的最小值
14、为 M. (1)若 m，nM，M，求证：2|mn|4mn|； (2)若 a，b(0，)，a2bM，求2 a 1 b的最小值. (1)证明 f(x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，M2. 要证明 2|mn|4mn|， 只需证明 4(mn)2(4mn)2， 4(mn)2(4mn)24(m22mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)， m，n2，2，m2，n20，4， (m24)(4n2)0， 4(mn)2(4mn)20， 4(mn)2(4mn)2，可得 2|mn|4mn|. (2)解 由(1)得，a2b2， 因为 a，b(0，)， 所以2 a 1 b 1 2 2 a 1 b (
15、a2b) 1 2 22a b 4b a 1 2 42 a b 4b a 4， 当且仅当 a1，b1 2时，等号成立. 所以2 a 1 b的最小值为 4. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 7.已知函数 f(x)x1|3x|，x1. (1)求不等式 f(x)6 的解集； (2)若 f(x)的最小值为 n，正数 a，b 满足 2naba2b，求证：2ab9 8. (1)解 根据题意，若 f(x)6，则有 x13x6， 1x0， 2ab1 8 1 b 2 a (2ab)1 8 2a b 2b a 5 1 8 52 2a b 2b a 9 8，当且仅当 ab 3 8时取等号. 原不等式得证. 8.(2015 全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明： (1)若 abcd，则 a b c d； (2) a b c d是|ab| c d，只需证明( a b)2( c d)2， 也就是证明 ab2 abcd2 cd， 只需证明 ab cd，即证 abcd. 由于 abcd，因此 a b c d. (2)若|ab| c d. 若 a b c d，则( a b)2( c d)2， ab2 abcd2 cd. abcd，所以 abcd. 于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab| c d是|ab|cd|的充要条件.
