1、第第 2 课时课时 参数方程参数方程 最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆 和椭圆的参数方程 知 识 梳 理 1.曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 xf(t)， yg(t)，并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y) 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的 关系，例如 xf(t)，把
2、它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)， 那么 xf(t)， yg(t) 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 圆 x2y2r2 xrcos ， yrsin ( 为参数) 椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0) xacos ， ybsin ( 为参数) 温馨提醒 直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义且 几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y
3、)到 M0(x0，y0)的距离 微点提醒 1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围. 2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元 等，经常用到公式 cos2 sin2 1，1tan2 1 cos2 . 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)参数方程 xf(t)， yg(t) 中的 x，y 都是参数 t 的函数.( ) (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy
4、0tsin (t 为参数). 参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x，y)为终点的有 向线段M0M 的数量.( ) (3)方程 x2cos ， y12sin ( 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆.( ) (4)已知椭圆的参数方程 x2cos t， y4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t 3， 点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( ) 解析 (4)当 t 3时，点 M 的坐标为 2cos 3，4sin 3 ，即 M(1，2 3)，OM 的 斜率 k2 3. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 4
5、4P22 例 1 改编)已知曲线 C 的参数方程为 x3t， y2t21(t 为参数)， 点 M( 6，a)在曲线 C 上，则 a_. 解析 由题意得 63t， a2t21， t2， a9. 答案 9 3.(选修 44P26 习题 A4 改编)在平面直角坐标系中，曲线 C： x2 2 2 t， y1 2 2 t (t 为 参数)的普通方程为_. 解析 消去 t，得 xy1，即 xy10. 答案 xy10 4.(2014 湖北卷)已知曲线C1的参数方程是 x t， y 3t 3 (t为参数).以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2，则 C1与 C2交
6、点的直角坐标为_. 解析 将曲线 C1的参数方程化为普通方程为 y 3 3 x(x0)，将曲线 C2的极坐标 方程化为直角坐标方程为 x2y24， 联立 y 3 3 x（x0）， x2y24， 解得 x 3， y1. 故曲 线 C1与 C2交点的直角坐标为( 3，1) 答案 ( 3，1) 5.(2015 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )2，曲线 C2的参数方 程为 xt 2， y2 2t(t 为参数)，则 C 1与 C2交点的直角坐标为_. 解析 曲线 C1：cos sin 2 的直角坐
7、标方程为 xy2， 曲线 C2： xt 2， y2 2t的普通方程为 y 28x， 由 xy2， y28x 解得 x2， y4，则 C1 与 C2交点的直角坐标为(2，4) 答案 (2，4) 6.(2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos ， ysin ( 为 参数)，直线 l 的参数方程为 xa4t， y1t (t 为参数). (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解 (1)a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30. 曲线 C 的标准方程是x 2 9y 21， 联立方程 x4y30，
8、 x2 9y 21， 解得 x3， y0 或 x21 25， y24 25. 则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和 21 25， 24 25 . (2)直线 l 的普通方程是 x4y4a0. 设曲线 C 上点 P(3cos ，sin ). 则 P 到 l 距离 d|3cos 4sin 4a| 17 |5sin()4a| 17 ， 其中 tan 3 4. 又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17， 所以|5sin()4a|的最大值为 17. 若 a0，则54a17，a8. 若 a0， 得1m0， 4. 6.(2019 茂名二模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半
9、轴 为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 1cos2 ，直线 l 的参数方 程为 x2tcos ， y1tsin (t 为参数，0). (1)若3 4 ，求 l 的普通方程，直接写出 C 的直角坐标方程； (2)若 l 与 C 有两个不同的交点 A，B，且 P(2，1)为 AB 的中点，求|AB|. 解 (1)由直线 l 的参数方程 x2tcos ， y1tsin (t 为参数)及 3 4 可得其直角坐标方 程为 xy30， 由曲线 C 的极坐标方程 2cos 1cos2 ， 得其直角坐标方程为 y22x. (2)把直线 l 的参数方程 x2tcos ， y1tsin (t
10、 为参数)， 代入抛物线方程 y22x 得 t2sin2 2t(sin cos )30(*)， 设 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t22(sin cos ) sin2 . P(2，1)为 AB 的中点， P 点所对应的参数为t 1t2 2 sin cos sin2 0， sin cos 0，即 4. 则(*)变为1 2t 230，此时 t26，t 6， |AB|2 6. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 7.(2019 衡水中学模拟)在极坐标系中， 曲线 C1的极坐标方程是 24 4cos 3sin ， 在以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长
11、度)的直角坐标 系 xOy 中，曲线 C2的参数方程为 xcos ， ysin ( 为参数). (1)求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程； (2)将曲线 C2经过伸缩变换 x2 2x， y2y 后得到曲线 C3，若 M，N 分别是曲线 C1 和曲线 C3上的动点，求|MN|的最小值. 解 (1)C1的极坐标方程是 24 4cos 3sin ， 4cos 3sin 24， 4x3y240， 故 C1的直角坐标方程为 4x3y240. 曲线 C2的参数方程为 xcos ， ysin ， x2y21， 故 C2的普通方程为 x2y21. (2)将曲线 C2经过伸缩变换 x2 2x， y
12、2y 后得到曲线 C3，则曲线 C3的参数方程为 x2 2cos ， y2sin ( 为参数). 设 N(2 2cos ，2sin )，则点 N 到曲线 C1的距离 d|42 2cos 32sin 24| 5 |2 41sin()24| 5 242 41sin() 5 其中满足tan 4 2 3 . 当 sin()1 时，d 有最小值242 41 5 ， 所以|MN|的最小值为242 41 5 . 8.(2018 全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 xcos ， ysin ( 为 参数)，过点(0， 2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点. (1)求 的取值范
13、围； (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 解 (1)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 2时，l 与O 交于两点. 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2. l 与O 交于两点当且仅当 2 1k2 1， 解得 k1，即 4， 2 或 2， 3 4 . 综上， 的取值范围是 4， 3 4 . (2)l 的参数方程为 xtcos ， y 2tsin (t 为参数， 4 3 4 ). 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP， 则 tPt AtB 2 ，且 tA，tB满足 t22 2tsin 10. 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点 P 的坐标(x，y)满足 xt Pcos ， y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2， y 2 2 2 2 cos 2 ( 为参数， 4 3 4 ).
