1、 第第 1 节节 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第第 1 课时课时 坐标系坐标系 最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图 形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位 置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极 坐标方程 知 识 梳 理 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x(0)， y y(0) 的作用 下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系
2、的概念 在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算 角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点 O 称为极点， 射线 Ox 称为极轴.平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点 M 的极坐标. 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角.一般认为 0.当极角 的取 值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应 的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径 0，极角 可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M
3、为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面的 关系式成立： xcos ， ysin 或 2x2y2， tan y x(x0)， 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 r(00） 的作用下的变换方程的求法是将 x x ， yy 代入 yf(x)，得y f x ，整理之后得到 yh(x)，即为所求变换之后的 方程 易错警示 应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x，y)与变换后的点坐标(x， y) 【训练 1】 在同一坐标系中，求将曲线 y1 2sin 3x 变为曲线 ysin x 的伸缩变换
4、 公式. 解 将曲线 y1 2sin 3x经过伸缩变换变为 ysin x，即 ysin x， 设伸缩变换公式是 xx， yy (0，0)， 把伸缩变换关系式代入式得：ysin x 与式的系数对应相等得到 2， 3， 所以，变换公式为 x3x， y2y. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 【例 2】 (2019 德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点，极 轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线 C 的参数方程为 x1 2cos ， y1 2sin ( 为参数)，直线 l 过点(1，0)，且斜率为1 2，射线 OM 的极 坐标方程为 3 4 . (1)求曲线 C
5、 和直线 l 的极坐标方程； (2)已知射线 OM 与曲线 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，则线段 PQ 的 长. 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x1 2cos ， y1 2sin ( 为参数)， 曲线 C 的普通方程为(x1)2(y1)22， 将 xcos ，ysin 代入整理得 2cos 2sin 0， 即曲线 C 的极坐标方程为 2 2sin 4 . 直线 l 过点(1，0)，且斜率为1 2， 直线 l 的方程为 y1 2(x1)， 直线 l 的极坐标方程为 cos 2sin 10. (2)当 3 4 时，|OP|2 2sin 3 4 4 2 2， |OQ| 1 2
6、2 2 2 2 2 3 ， 故线段 PQ 的长为 2 2 2 3 5 2 3 . 规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x cos ，ysin ，2x2y2，tan y x(x0) 2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ， 的取值范围及其影响； 要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法 和平方法等技巧. 【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 2， 4 ，直线的极坐标方程为 cos 4 a， 且点 A 在直线上，求 a 的值及直线的直角坐标方程. (
7、2)把曲线 C1：x2y28x10y160 化为极坐标方程. 解 (1)点 A 2， 4 在直线 cos 4 a 上， a 2cos 4 4 2， 所以直线的方程可化为 cos sin 2， 从而直线的直角坐标方程为 xy20. (2)将 xcos ， ysin 代入 x2y28x10y160， 得 28cos 10sin 160， 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. 考点三 曲线极坐标方程的应用 【例 31】 (2019 太原二模)点 P 是曲线 C1：(x2)2y24 上的动点，以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中点，将点 P
8、 逆 时针旋转 90 得到点 Q，设点 Q 的轨迹为曲线 C2. (1)求曲线 C1，C2的极坐标方程； (2)射线 3(0)与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点，定点 M(2，0)，求MAB 的面积. 解 (1)由曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24可得曲线C1的极坐标方程为 4cos . 设 Q(，)，则 P ， 2 ， 则有 4cos 2 4sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 4sin . (2)M 到射线 3(0)的距离 d2sin 3 3， |AB|BA4 sin 3cos 3 2( 31)， 所以 SMAB1 2|AB|d 1 22( 31) 33 3. 【例 32】
9、 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos 4. (1)设点 M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM| |OP|16，求点 P 的 轨迹 C2的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值. 解 (1)设点 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10). 由题设知|OP|，|OM|1 4 cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0). 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(
10、x0). (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0). 由题设知|OA|2，B4cos ， 于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAOB4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3. 当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 规律方法 求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线 方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法 二 ， 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 ， 设A(1， 1) ， B(2， 2) ， 则 |AB| 2122212cos（21）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之
11、间 的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|1 2|即为所求 【训练 3】 (1)在极坐标系中，求直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长. (2)(2019 衡阳二模)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2cos ， ysin ( 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B 为 C 上两 点，且 OAOB，设射线 OA：，其中 0 2. ()求曲线 C 的极坐标方程； ()求|OA| |OB|的最小值. 解 (1)由 sin 4 2， 得 2 2 (sin cos )2， 可化为 xy2 20.圆 4 可化为 x2y2
12、16， 圆心(0，0)到直线 xy2 20 的距离 d|2 2| 2 2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l2 r2d2242224 3. 故所求弦长为 4 3. (2)()将曲线 C 的参数方程 x 2cos ， ysin ( 为参数)化为普通坐标方程为x 2 2y 2 1. 因为 xcos ，ysin ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 2 1sin2 . ()根据题意：射线 OB 的极坐标方程为 2或 2， 所以|OA| 2 1sin2 ， |OB| 2 1sin2 2 2 1cos2 ， 所以|OA|OB| 2 1sin2 2 1cos2 4 (1sin2 )(1cos2 ) 2 1si
13、n2 1cos2 2 4 3. 当且仅当 sin2 cos2 ，即 4时，|OA| |OB|取得最小值为 4 3. 思维升华 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程： 对于简单的我们可以直接代入公式 cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平 方，两边同时乘以 等 2.直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤： (1)运用 x2y2，tan y x(x0)； (2)在0，2)内由 tan y x(x0)求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象 限(即 的终边位置) 易错防范 1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不 可 2
14、平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的， 但点的极坐标的表示形式不唯一 当 规定 0，02，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然 不包括极点 3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意 ， 的取值范围及其影响 (2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 基础巩固题组 (建议用时：60 分钟) 1.求双曲线 C：x2y 2 641 经过 ： x3x， 2yy 变换后所得曲线 C的焦点坐标. 解 设曲线 C上任意一点 P(x，y)， 由上述可知，得 x1 3x， y2y 代入 x2 y2 641， 得x 2 9 4y 2 64 1，化简得x 2 9 y 2
15、161， 即x 2 9 y2 161 为曲线 C的方程， 可见仍是双曲线，则焦点 F1(5，0)，F2(5，0)为所求. 2.(2018 武汉模拟)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin 4 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆 O：cos sin ，即 2cos sin ， 圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy， 即 x2y2xy0， 直线 l：sin 4 2 2 ， 即 sin cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10. (2)由 x 2y2x
16、y0， xy10， 得 x0， y1， 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1， 2 . 3.以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线 的极坐标方程为 2 1sin . (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线 l 的极坐标方程. 解 (1) x2y2，sin y， 2 1sin 化为 sin 2，得 2(2sin )2， 曲线的直角坐标方程为 x24y4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 0(R)， 根据题意 2 1sin 03 2 1sin(0)， 解得 0 6或
17、0 5 6 ， 直线 l 的极坐标方程 6(R)或 5 6 (R). 4.(2019 安阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x 3y5 3，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4sin . (1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)射线 OP： 6与圆 C 的交点为 O，A，与直线 l 的交点为 B，求线段 AB 的长. 解 (1)因为 xcos ，ysin ，直线 l：x 3y5 3， 所以直线 l 的极坐标方程为 cos 3sin 5 3， 化简得 2sin 6 5 3，即为直线 l 的极坐标方程. 由 4si
18、n ，得 24sin ， 所以 x2y24y，即 x2(y2)24， 即为圆 C 的直角坐标方程. (2)由题意得 A4sin 62， B 5 3 2sin 6 6 5， 所以|AB|AB|3. 5.(2019 福州四校期末联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x2cos ， y2sin ( 为参数)，直线 C2的方程为 y 3x.以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程； (2)若直线 C2与曲线 C1交于 A，B 两点，求 1 |OA| 1 |OB|. 解 (1)由曲线 C1的参数方程为 x2cos ，
19、y2sin ( 为参数)，得曲线 C1的普通方程 为(x2)2(y2)21， 则 C1的极坐标方程为 24cos 4sin 70， 由于直线 C2过原点，且倾斜角为 3，故其极坐标方程为 3(R). (2)由 24cos 4sin 70， 3 得 2(2 32)70，设 A，B 对应的极 径分别为 1，2， 则 122 32，127， 1 |OA| 1 |OB| |OA|OB| |OA| |OB| 12 12 2 32 7 . 6.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x 2cos ， ysin (其中 为参数)，曲 线 C2：x2y22y0.以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
20、轴建立极坐标系，射线 l：(0)与曲线 C1，C2分别交于点 A，B(均异于原点 O). (1)求曲线 C1，C2的极坐标方程； (2)当 0 2时，求|OA| 2|OB|2 的取值范围. 解 (1) x 2cos ， ysin ， x 2 2y 21，由 xcos ， ysin ， 得曲线 C1的极坐标方程为 2 2 1sin2 ； x2y22y0， 曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)设 A，B 对应的极径分别为1，2，则由(1)得 |OA|221 2 1sin2，|OB| 22 24sin2 ， |OA|2|OB|2 2 1sin24sin 2 2 1sin2 4(1sin 2
21、)4， 0 2，11sin 22， 6 2 1sin24(1sin 2)9， |OA|2|OB|2的取值范围为(2，5). 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 7.在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 x 32cos ， y12sin ( 为参数).以平面 直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)过原点 O 的直线 l1， l2分别与曲线 C 交于除原点外的 A， B 两点， 若AOB 3， 求AOB 的面积的最大值. 解 (1)曲线 C 的普通方程为(x 3)2(y1)24， 即 x2y22 3x2y0， 所以，曲
22、线 C 的极坐标方程为 22 3cos 2sin 0，即 4sin 3 . (2)不妨设 A(1，)，B 2， 3 ， 2， 2 . 则 14sin 3 ，24sin 2 3 ， AOB 的面积 S1 2|OA| |OB|sin 3 1 212sin 3 4 3sin 3 sin 2 3 2 3cos 2 33 3. 所以，当 0 时，AOB 的面积取最大值 3 3. 8.(2018 厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x1cos ， ysin ( 为参数)；在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 si
23、n . (1)求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)若射线 l：ykx(x0)与曲线 C1，C2的交点分别为 A，B(A，B 异于原点)，当 斜率 k(1， 3时，求|OA| |OB|的取值范围. 解 (1)曲线 C1的直角坐标方程为(x1)2y21，即 x22xy20，将 xcos ， ysin 代入并化简得曲线 C1的极坐标方程为 2cos . 由 cos2 sin 两边同时乘 ，得 2cos2 sin ，结合 xcos ， ysin 得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y. (2)设射线 l：ykx(x0)的倾斜角为 ，则射线的极坐标方程为 ，且 ktan (1， 3. 联立 2cos ， ， 得|OA|A2cos ， 联立 cos2 sin ， ， 得|OB|B sin cos2 ， 所以|OA| |OB|A B2cos sin cos2 2tan 2k(2，2 3，即|OA| |OB|的取值 范围是(2，2 3.
