1、习题课反比例函数、对勾函数学习目标1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.2.能通过构造函数解决实际问题一、反比例函数的图象和性质问题1反比例函数的一般形式是什么？提示y，其中x为自变量且x0，k为常数问题2反比例函数的图象会过坐标原点吗？提示不会，因为x0.例1画出反比例函数y的图象(1)求函数的定义域和值域；(2)判断函数的单调性和奇偶性解(1)函数的定义域为x|x0，函数的值域为y|y0(2)令yf(x)，当k0时，f(x)的单调递减区间为(，0)和(0，)，没有单调递增区间，证明如下：当x0时，x1，x2(0，)且x10，x10，x20，x10，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0
2、，)上单调递减，同理当x0时，f(x)在(，0)上单调递减当k0时，f(x)的单调递增区间为(，0)和(0，)，没有单调递减区间(证明略)f(x)为奇函数反思感悟研究反比例函数的几个方面(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性(4)函数图象关于(0,0)中心对称跟踪训练1作出y(2x1且x0)的图象，并指出其值域和单调区间解由题意知函数y(2x1且x0)的图象为反比例函数图象的一部分，当x2时，y1；当x1时，y2；所以该函数图象如图：由图象可知，函数
3、y(2x0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)解(1)定义域：x|x0；(2)值域：(，22，)；(3)奇偶性：奇函数；(4)单调性：函数f(x)x(a0)在(，)和(，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减，证明如下：任取x1，x2(0，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为0x1x2，所以x1x20,0x1x21，所以10，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，上单调递减任取x1，x2(，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为x1x2a，所以0，所以f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)所以f(x)在(，)上单调
4、递增同理，f(x)在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减其图象如图所示延伸探究当a0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)解(1)定义域：x|x0；(2)值域：R；(3)奇偶性：奇函数；(4)函数f(x)在区间(，0)，(0，)上单调递增，证明如下：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)，因为0x1x2，所以x1x20，又a0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增；同理可知，函数f(x)在区间(，0)上单调递增其简图如图所示跟踪训练2函数f(x)x.(1)x1,3，f
5、(x)的最小值是_；(2)x，f(x)的值域为_；(3)x(0,3，f(x)的值域为_答案(1)2(2)(3)2，)解析(1)f(x)在1,3上单调递增，f(x)的最小值为f(1)2.(2)f(x)在上单调递减，在1,3上单调递增，最小值为f(1)2，f0时，求函数f(x)在2，)上的最小值解(1)当a4时，f(x)x2，当x(0，)时，f(x)x2222，当且仅当x，即x2时等号成立，f(x)的最小值为2.(2)f(x)x2，设0x1x2，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)，0x1x2，x1x20，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上单调递减，同理可证f(x)在(，)上单调递增
6、，当0a4时，04时，2，函数f(x)在2，)上单调递减，在(，)上单调递增，f(x)minf()22.设f(x)的最小值为g(a)，g(a)反思感悟求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式跟踪训练3(1)已知x0，求y的最大值，并求此时x的值解y，当且仅当x2时，ymax.(2)已知x2，求yx的最小值(提示：利用图象助解)解作出yx(x0)的图象，可知函数在x2时单调递增，x2时，ymin.1知识清单：(1)反比例函数的图象和性质(2)对勾函数的图象和性质2方法归纳：分类讨论、数形结合3常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域1函数y，当x0时，y随x的增
7、大而增大，那么m的取值范围是()Am3Cm3答案A解析在反比例函数y中，若k0，在x0时，y随x的增大而减小，若k0时，y随x的增大而增大，所以由题意得m30，m0时，y随x的增大而减小D当x1时，y3答案ABC解析反比例函数y，当x3时，y1，故A正确；因为y分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；因为在(0，) 上，y单调递减，所以当x1时，0y0)在(，a)和(a，)上单调递增，在(a，0)和(0，a)上单调递减若对勾函数f(x)x(t0)在整数集合Z内单调递增，则实数t的取值范围为_答案(0,2)解析根据题意得f(x)在(，)，(
8、，)上单调递增，要使f(x)在整数集合Z内单调递增，则即解得0t0，xR，x0)的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D无法判断答案A5函数g(x)x的单调递减区间为()A(2,0)(0,2) B(2,2)C(2,0)和(0,2) D(，2)和(2，)答案C6(多选)下列函数中，满足对任意x1，x2(1，)，有0的是()Af(x)x Bf(x)Cf(x)1 Df(x)x答案CD解析对任意x1，x2(1，)，有0，则函数在区间(1，)上单调递减对于A，f(x)x，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故A不满足题意；对于B，f(x)，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，)上单调递增
9、，故B不满足题意；对于C，f(x)1，函数在区间(1，)上单调递减，故C满足题意；对于D，f(x)x ，显然函数在区间(1，)上单调递减，故D满足题意7函数y的对称中心为_答案(1,1)解析y1，故该函数是由y先向左平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到的，对称中心为(1,1)8在平面直角坐标系中，函数yxa与函数y的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 _.答案a2解析联立整理得x2ax10，函数yxa与反比例函数y的图象有两个公共点，则方程组有两个解，即方程有两个不同的解，a240，a2.9作出函数y的图象，并写出函数的单调区间和值域解y1，图象如图所示函数在(，2)和(2，)上单调
10、递减因为0，所以11.故单调递减区间为(，2)和(2，)，无单调递增区间值域为(，1)(1，)10一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x1)成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元记两项费用之和为w.(1)求w关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值解(1)每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，可设y1，每月库存货物费y2(单
11、位：万元)与(4x1)成正比，可设y2(4x1)k2，又在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，k121020，k20.2，y1，y2(4x1)0.20.8x0.2，wy1y20.8x0.2(x0)(2)w0.8x0.220.28.2，当且仅当0.8x，即x5时等号成立，这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元11函数f(x)(xR)的值域是()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1答案B解析令t1x2，则t1，)，又y在t1，)上单调递减，所以f(x)(xR)的值域为(0,112设函数f(x)(x0)，则函数f(x)
12、()A有最小值21B有最大值21C有最小值21D有最大值21答案D解析x0，f(x)2x112121，当且仅当2x，即x时，等号成立f(x)max21.13一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区最少需要()A5 h B10 h C15 h D20 h答案B解析由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路程为400252400，设这批物资全部到达灾区的时间为t h，t210.当且仅当，即v80时，等号成立故这批物资全部到达灾区最少需要10 h.1
13、4函数f(x)x的单调递增区间为_答案(，0)和(0，)解析画出函数图象如图，可知函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(0，)15已知函数f(x)若存在0x1x2x3x4，使得f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是_答案(96,100)解析f(x)可得函数图象如图所示由图可知，当y(4,5)时，存在0x1x2x30，那么该函数在(0，上单调递减，在，)上单调递增(1)已知f(x)2x18，x0,1，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)x2a，若对任意x10,1，总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的值解(1)设t2x1，则f(x)u(t)t8，因为x0,1，则t2x11,3由已知性质可知u(t)在1,2上单调递减，在2,3上单调递增所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.当2x12，即x时，f(x)minf4，又f(0)3，f(1)，所以f(x)max3，所以值域为4，3(2)因为g(x)x2a为减函数，所以当x0,1时，g(x)12a，2a因为对任意x10,1，总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，所以f(x)的值域是g(x)值域的子集，即4，312a，2a，则解得a且a，即a.
