1、51.2弧度制学习目标1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式导语同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变一、弧度制的概念问题1我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？提示不能，比如30211，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值为了能把角和实数建立联系，经过几
2、千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制知识梳理1弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角2弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么.3一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.注意点：一定大小的圆心角所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关例1下列各命题中，真命题是()A1弧度就是1的圆心角所对的弧B1弧度是长度等于半径的弧C1弧度是1的弧与1的角之和D1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小答案D解析根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确反思感悟(1)
3、圆心角与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系跟踪训练1下列说法正确的是()A1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D用弧度表示的角都是正角答案A解析对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误二、角度制与弧度制的相互转化问题2根据公式|，你能得出圆周角的弧度
4、数吗？提示因为半径为r的圆的周长为l2r，故圆周角的弧度数2，而圆周角的角度数是360，于是我们有了弧度与角度的换算关系知识梳理角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数注意点：(1)弧度单位rad可以省略(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.反思感悟角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关
5、键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数一般情况下，省略弧度单位rad.跟踪训练2已知15，1，105，试比较，的大小解1515，105105，1，.三、利用弧度表示角例3将1 125写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？解1 1251 1258，其中2，所以是第四象限角，所以1 125是第四象限角延伸探究若在本例的条件下，在4，4范围内找出与终边相同的角的集合解依题意得，与终边相同的角为2k，kZ，由42k4，kZ，知k2，1,0,1，所以所求角的集合为.反思感悟用弧度制表示终边相同的角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数
6、倍(2)注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练3(1)用弧度制表示与150角终边相同的角的集合为()A.B.C.D.答案D解析150150，故与150角终边相同的角的集合为.(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)_ _答案解析结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是，满足条件的角的集合是.四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式问题3我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？提示初中我们已学习过，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别为l，S，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道.知识梳理设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形
7、的面积公式：SlRR2.例4已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解设扇形圆心角的弧度数为(02 rad，舍去当R4时，l2，此时，(rad)综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.延伸探究已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l2r4，所以l42r，所以Slr(42r)rr22r(r1)21，所以当r1时，S最大，且Smax1，因此，2(rad)反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：面积公式：SlRR2，弧长公式：lR(其中l是扇形的弧长，R是扇形
8、的半径，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解跟踪训练4已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60，求扇形的弧长和面积解已知扇形的圆心角60，半径r10 cm，则弧长lr10(cm)，面积Slr10(cm2)1知识清单：(1)弧度制的概念(2)弧度制与角度制的相互转化(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系(4)扇形的弧长与面积的计算2方法归纳：由特殊到一般、数学运算3常见误区：弧度与角度混用1(多选)下列说法中，正确的是()A半圆所对的圆
9、心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案ABC解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误2若2 rad，则的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C3时针经过一小时，转过了()A. rad B rad C. rad D rad答案B解析时针经过一小时，转过30，30 rad.4周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为_答案解析设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知所以所以Slr.1下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 r
10、ad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题2角的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析2，是第一象限角，故是第一象限角3集合中角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线yx的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线yx的右下部分(包含边界)4将1 485化成2k(02，kZ)的形式是()A8 B.8C.10 D.10答案D解析1 4855360315，化为2k(02，kZ)的形式为10.5在单位圆
11、中，200的圆心角所对的弧长为()A. B. C9 D10答案B解析lR2001.6(多选)下列表示中正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在第二象限的角的集合为C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是答案ABC解析A，B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为|k，kZ，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；对于D，终边在yx上的角的集合为或，其并集为，故D不正确7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为_答案2解析SlR1，又l2，R1，2.8亲爱的考生，本场考试需要2个小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为_答案解析由题意知2，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为.9已知角1 200.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限角；(2)在区间4，0上找出与角终边相同的角解(1)因为1 2001 20032，所以角与的终边相同，又0)，求扇形的最大面积及此时的值；(2)若扇形的面积是定值S(S0)，求扇形的最小周长及此时的值解(1)由题意，可得2rrC，即rC2r，则扇形面积Sr2(C2r)rr2Cr2C2，故当rC时，S取得最大值C2，此时22.(2)由题意，可得Sr2，即r，则扇形周长C2rr2r4，当且仅当2r，即r时取等号，故当r时，C取得最小值4，此时2.
