1、5.4.3正切函数的性质与图象学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题导语三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究请同学们思考学案上的几个问题一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性问题1请同学们回忆角的正切是如何定义的？提示ta
2、n .问题2由以上，你能定义正切函数吗？提示ytan x，xR，xk，kZ.问题3你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？提示tan()tan ，tan()tan .知识梳理1周期性：由诱导公式tan(x)tan x，xR，且xk，kZ，可知正切函数是周期函数，周期是.2奇偶性：由诱导公式tan(x)tan x，xR，xk，kZ，可知正切函数是奇函数注意点：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T.例1(1)函数ytan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由xk，kZ，得xk，kZ.(2)函数f(x)tan的最小正周期为()A. B. C D2答案A解析方法
3、一T.方法二f(x)tantantanf，T.反思感悟(1)判断函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(x)与f(x)的关系跟踪训练1函数f(x)costan x为()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数答案A解析因为f(x)sin xtan x，定义域关于原点对称，
4、f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，故函数为奇函数二、正切函数的图象问题4你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？提示可以先考察函数ytan x，x的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展问题5如何画出函数ytan x的图象？提示如图，先画出ytan x，x内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的ytan x，x的图象，再根据函数的周期性，只要把函数ytan x，x的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数ytan x，xR，xk，kZ的图象，我们把它叫做正切曲线知识梳理正切函数的对称中心为(kZ)注意点：正切
5、函数只有对称中心，没有对称轴，例2函数ytan的一个对称中心是()A(0,0) B. C. D(，0)答案C解析令x，kZ，得x，kZ，所以函数ytan的对称中心是，kZ.令k2，可得函数的一个对称中心为.反思感悟正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键跟踪训练2(1)ya(a为常数)与ytan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为()A B. C. D.答案C解析ytan 3x的周期为，所以ya(a为常数)与ytan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为.(2)与函数ytan的图象不相交
6、的一条直线是()Ax By Cx Dy答案C解析令2xk(kZ)，得x(kZ)令k0，得x.三、正切函数的单调性与最值知识梳理1单调性：正切函数在每一个区间(kZ)上都单调递增2值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.例3已知函数f(x)3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f()与f的大小解(1)因为f(x)3tan3tan，所以T4.由kk(kZ)，得4kx4k(kZ)因为y3tan在(kZ)上单调递增，所以f(x)3tan在(kZ)上单调递减且原函数的最小正周期为4.单调递减区间为(kZ)(2)f()3tan3tan3tan，f3tan3
7、tan3tan，因为0，且ytan x 在上单调递增，所以tanf.反思感悟(1)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系(2)求函数ytan(x)的单调区间的方法ytan(x)(0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间跟踪训练3比较下列各组数的大小：(1)tan与tan；(2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4.解(1)tantan，tantan，又0，ytan x在上单调递增，tantan，即tantan.(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)
8、，tan 4tan(4)又2341且ytan x在上单调递增，tan(2)tan(3)tan(4)tan 1，即tan 2tan 3tan 4tan 1.四、正切函数图象与性质的综合应用例4设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)，得x2k(kZ)，所以f(x)的定义域是.因为，所以最小正周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)，无单调递减区间由(kZ)，得xk(kZ)，故函数f(x)的对称中心是(kZ)(2)由1tan，得kk(kZ)，解得2kx2k(k
9、Z)所以不等式1f(x)的解集是.反思感悟解答正切函数图象与性质问题的注意点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每一个区间(kZ)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增跟踪训练4画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性解由y|tan x|，得y其图象如图，由图象可知，函数y|tan x|的定义域为，值域为0，)，是偶函数函数y|tan x|的周期T，函数y|tan x|的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.1知识清单：(1)正切函数图象的画法(2)正切函数的性质2方法归纳：整体代换、换元法
10、3常见误区：最小正周期T，在定义域内不单调，对称中心为(kZ)1函数ytan的最小正周期为()A2 BC. D.答案C解析根据周期公式计算得T.2函数y2tan的单调递增区间是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案A解析由kxk，kZ，得2kx解析因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.1函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ.函数f(x)2tan的定义域是.2函数y的值域为()A1,1 B(，11，)C(，1 D1，)答案B解析因为x，且x0，所以1tan x0或0tan x1
11、，则1或1.3由正切函数的图象可知，“tan x0”是“x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析由正切函数的图象可知，当tan x0时，不一定有x0；当x0时，不一定有tan x0，所以“tan x0”是“x0”的既不充分也不必要条件4tan x1的解集为()A.B.C.D.答案D解析tan x1，由图象知，kx0)的图象上的相邻两支曲线截直线y1所得的线段长为，则的值是()A1 B2 C4 D8答案C解析由题意可得f(x)的最小正周期为，则，又0，4.6(多选)下列关于函数ytan的说法不正确的是()A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于
12、点对称D图象关于直线x对称答案ACD解析令kxk，kZ，解得kxk，kZ，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B正确；令x，kZ，解得x，kZ，任取k值不能得到x，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误7函数ytan2x2tan x2的最小值为_答案1解析y(tan x1)21，由于tan xR，所以当tan x1时，函数取最小值1.8已知函数f(x)tan(x)的图象的一个对称中心为且|，则_.答案或解析由题意得(kZ)，即(kZ)，又|，所以或.9求函数ytan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间，内的图象解由2x
13、k，kZ，得x，kZ， 即函数的定义域为，值域为(，)，最小正周期为T，对应图象如图所示10求函数y3tan的单调递减区间解y3tan可化为y3tan，由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，故单调递减区间为，kZ.11下列图形分别是y|tan x|；ytan x；ytan(x)；ytan|x|在x内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是()A BC D答案D解析ytan(x)tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应.12已知函数ytan(2x)的图象过点，则可以是()A B. C D.答案A解析因为函数的图象过点，所以tan0，所以k，kZ，所以k，kZ.结合选项，令k0，可得.1
14、3已知函数ytan x在区间内单调递减，则()A01 B10C1 D1答案B解析ytan x在内单调递减，0且T，1”或“”填空)：(1)tan_tan；(2)tan_tan.答案(1)(2)解析(1)tantan，且0，又ytan x在上单调递增，所以tantan，即tantan.(2)tantan，tantan，因为0，又ytan x在上单调递增，所以tantan，则tantan.15函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是()答案D解析当x时，tan xsin x，y2tan x0；当x时，y0；当xsin x，y2sin x，且2y0，所以，则f(x)Atan，又它的图象过点，所以tan0，即tan0，所以k，kZ，得k，kZ，又|，所以，则f(x)Atan，又它的图象过点(0，3)，所以Atan3，得A3.所以f(x)3tan.(2)因为3tan，所以tan，则kxk，kZ，解得x，kZ，所以满足f(x)的x的取值范围是，kZ.
