1、第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用导语同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系一、二倍角的正弦、余弦、正切公式问题1请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式提示si
2、n()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().问题2当时，你能写出sin 2，cos 2，tan 2的表达式吗？提示sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ；cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2；tan 2tan().知识梳理1二倍角的正弦公式sin 22sin cos ，其中R，简记作S2.2二倍角的余弦公式cos 2cos2sin22cos2112sin2，其中R，简记作C2.3二倍角的正切公式tan 2，简记作T2.注意点：(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“
3、三”字等不可省去(2)倍角公式不仅可运用于2是的二倍的情况，还可运用于4作为2的二倍，作为的二倍，3作为的二倍，作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想(3)正切二倍角的范围：且k(kZ)(4)常见二倍角公式的变形：cos 2(cos sin )(cos sin )；1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2；降幂公式：sin cos sin 2；cos2；sin2.升幂公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2.例1求下列各式的值：(1)sin2cos2；(2)；(3)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式cos coscos.(2)原式222.
4、(3)原式.反思感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪训练1求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)；(3)cos4sin4.解(1)原式2sincossin.(2)原式tan 45.(3)原式cos2sin2cos.二、给值求值例2(教材221页例5改编)已知cos，02，求sin，cos，tan的值解由02，得02
5、恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(B)4cos Bcos 2B2cos B2cos B(1sin B)cos 2B2cos B2cos Bsin Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sin，因为f(B)2，所以2sin2，即sin1.所以2B2k，kZ.又因为0B2恒成立，即2sin2m恒成立因为0B，所以2B，所以2sin2,2，所以2m2，所以m4，故实数m的取值范围是(，4)反思感悟要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不
6、一定为正跟踪训练3若(0，)，cos ，sin 是一元二次方程x2x0的两个实根，则cos 2等于()A. B C D.答案A解析cos ，sin 是一元二次方程x2x0的两个实根，cos sin ，cos sin .又(0，)，cos sin 0，cos 0，cos sin 0，cos sin ，cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ).1知识清单：(1)二倍角公式的推导(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明2方法归纳：转化法3常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件1下列各式中，值为的是()A2sin 15cos 15 Bcos
7、215sin215C2sin215 Dsin215cos215答案B解析2sin 15cos 15sin 30；cos215sin215cos 30；2sin2151cos 301；sin215cos2151，故选B.2若sin，则cos 等于()A B C. D.答案C解析因为sin，所以cos 12sin2122.3sin 2，则cos2的值为()A B C. D.答案C解析cos2.4设sin 2sin ，则tan 2的值是 答案解析sin 2sin ，2sin cos sin .由知sin 0，cos ，sin ，tan ，tan 2.1cos275cos215cos 75cos 15
8、的值等于()A. B. C. D1答案C解析原式sin215cos215sin 15cos 151sin 301.2若tan 3，则的值等于()A2 B. 3C4 D6答案D解析2tan 6.3已知sin(15)，则sin(2402)等于()A. BC. D答案D解析由已知可得sin(2402)sin270(302)cos(302)2sin2(15)1221.4数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18，则 等于()A4 B.1C2 D.1答案C解析由题意可知2sin 18m，所以m24sin218，则2.
9、5已知是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos ，则tan 2等于()A B.C D.答案D解析因为是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x0，因为|OP|，cos ，所以x3，所以tan ，所以tan 2.6(多选)下列各式中，值为的是()A.Bcos2sin2Ccos 15sin 45sin 15cos 45D.答案AB解析选项A，sin 60；选项B，cos2sin2cos ；选项C，cos 15sin 45sin 15cos 45sin(4515)sin 30；选项D，tan 30.7已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的余弦值是 答案解析设等腰三角形的底角为 ，则
10、顶角为2. cos(2)cos 2(12sin2)2sin21221.8.的值为 答案4解析原式4.9化简：(34)解因为34，所以2，0，cos0.所以原式2cos.10已知为第二象限角，且sin ，求的值解原式.因为为第二象限角，且sin ，所以sin cos 0，cos ，所以原式.11sin 10sin 30sin 50sin 70的值为()A. B C. D答案A解析sin 10sin 30sin 50sin 70cos 20cos 40cos 80.12函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是()A. B1C. D1答案A解析f(x)sin 2xsin.x，2x
11、，f(x)max1.13“2sin xcos x1”是“tan”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由tan，得tan，即2sin x1cos x成立，即必要性成立，当x时，满足2sin xcos x1，但tan无意义，即充分性不成立，则“2sin xcos x1”是“tan”的必要不充分条件14已知(0，)，且sin cos ，则cos 2的值为 答案解析sin cos ，12sin cos ，sin cos .又(0，)，sin 0，cos 0，(sin cos )212sin cos ，sin cos ，cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ).15若sincos，则cos 4x .答案解析sincoscos，cos2，cos，即sin 2x，cos 4x12sin22x.16已知sin2cos0.(1)求tan x的值；(2)求的值解(1)由sin 2cos 0，知cos0，所以tan 2，所以tan x.(2)由(1)知tan x，所以.
